利用Mathematica求函数极值ppt课件

1、 实验六实验六 利用利用MathematicaMathematica求函数极值求函数极值实验目的：综合利用求导，解方程及确定实验目的：综合利用求导，解方程及确定极值的相关知识求一元及多元函数极值。极值的相关知识求一元及多元函数极值。预备知识：预备知识： ( (一一) )极值概念及确定极值的必要条件、充分极值概念及确定极值的必要条件、充分条件条件( (二二) )最值与极值的关系，最值的确定最值与极值的关系，最值的确定( (三三)Mathematica)Mathematica中求函数极值相关命令中求函数极值相关命令边学边做：边学边做：( (一一) )用命令用命令FindMinimumFindMin

2、imum求极小值：求极小值：FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0（1 1先作图，观察之后求函数先作图，观察之后求函数 在在 -3-3，33内的极值内的极值（2 2作图之后求函数作图之后求函数 的极值的极值( (二用求驻点的方法求函数极值二用求驻点的方法求函数极值(1)(1)求函数求函数 的极值的极值(2)(2)求函数求函数 的最值的最值242)(xxxf1) 1(4)(2xxxfxyxyxyxf933),(2233323),(22 yxxyyxyxf（三（三S

3、olveSolve，WhichWhich，PrintPrint，PlotPlot综合应用综合应用求极值求极值（1 1求函数求函数 的极值、拐点，的极值、拐点，描绘该函数图像描绘该函数图像（2 2设函数设函数 在在 两点处都取得极值，试确定两点处都取得极值，试确定 的值，并问这的值，并问这时时 在在 处是取得极大值还是极小处是取得极大值还是极小值？值？593)(23xxxxfxbxxaxf2ln)(2, 1xx)(xf2, 1xxba,学生实验：学生实验：一、基础部分一、基础部分1 1求函数求函数 在在55，2020上的极值上的极值2 2求函数求函数 的单调区间。的单调区间。3. 3. 求函数求

4、函数 的极值点与极值的极值点与极值. .xxxxflncos)(233xxy32824yxyxz二、应用部分二、应用部分(1)当当a为何值时为何值时, 在在 处处有极值有极值,求此极值求此极值,并说明是极大值还是极小并说明是极大值还是极小值值.(2)若函数若函数 在在x=-1处有极大处有极大值为值为8,在在x=2处有极小值为处有极小值为-19,求求a,b,c,d.(3)把一根直径为把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面高问矩形截面高h与宽与宽b如何选择时如何选择时,才能使梁才能使梁的抗弯截面系数的抗弯截面系数 达到最大达到最大?(4)求表面积为求表面积为a2

5、且体积最大的长方体体积且体积最大的长方体体积.xxaxf3sin31sin)(3xdcxbxaxxf23)(261bhW 实验六内容详解： 一、利用命令一、利用命令FindMinimumFindMinimum求极小值求极小值1 1、命令格式、命令格式一元函数：一元函数：FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,x,x0功能：以功能：以 为初始条件，求函数为初始条件，求函数 的极小值。的极小值。多元函数：多元函数：FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0功能：以功能：以 ， 为初始条件，求函数为初始条件，求函数 的

6、极小值。的极小值。0 xx 0 xx 0yy )(xf),(yxf2 2、边学边做、边学边做（1 1求函数求函数 在在-3-3，33内的极值内的极值解解 自定义函数自定义函数 fx_:=x4-2 fx_:=x4-2* *x2;x2;作函数图像作函数图像 Plotfx,x,-3,3,AxesLabel-x,y Plotfx,x,-3,3,AxesLabel-x,y 因而可确定函数在因而可确定函数在-3-3，33内有两个极小值，相应选内有两个极小值，相应选择初始值求得函数在不同区间内的极小值。择初始值求得函数在不同区间内的极小值。FindMinimumfx,x,-2 FindMinimumfx,x

7、,-2 输出结果为输出结果为-1-1，x-1x-1FindMinimumfx,x,0.5FindMinimumfx,x,0.5输出结果为输出结果为1 1，x-1x-1本题还有一极大值，本题还有一极大值，MathematicsMathematics中没有提供求函数中没有提供求函数极大值的命令，因而需作转化极大值的命令，因而需作转化FindMinimum-fx,x,-0.5 FindMinimum-fx,x,-0.5 输出结果为输出结果为0 0，x-0 x-0242)(xxxf-3-2-1123x-1123y（2 2求函数求函数 的极值的极值解解 作函数图形作法见第二节）作函数图形作法见第二节）F

8、indMinimumx2+y2-xFindMinimumx2+y2-x* *y-3x-y-3x-2y+3,x,0.5,y,0.5 2y+3,x,0.5,y,0.5 输出结果为输出结果为-3.33333,x-2.66667,y-2.33333-3.33333,x-2.66667,y-2.33333323),(22 yxxyyxyxf-4-2241234 二、用求驻点的方法求函数极值二、用求驻点的方法求函数极值 边学边做边学边做(1)求函数求函数 的极值的极值解解 自定义函数自定义函数fx_:=4*(x+1)/(x2+1); Df=fx;Df2x_:=fx; 解方程求驻点解方程求驻点 NSolve

9、Df=0,x 输出结果为输出结果为x1=-2.41421，x2=0.414214 用二阶导数判别极值用二阶导数判别极值 f-2.41421=0.2426430，函数有极小值，函数有极小值 f-2.41421 输出结果输出结果-0.828427 f0.414214=-8.24263-3,y-0,x-3,y-2,x-x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-21,y-0,x-1,y-2比较各点函数值比较各点函数值 fx,y/.% fx,y/.% 输出结果为输出结果为 27 27，3131， -5 -5，-1-1可求得最值为可求得最值为3131xyxyxyxf933),(2233三

10、三SolveSolve，WhichWhich，PrintPrint，PlotPlot综合应用求极值综合应用求极值边学边做边学边做1 1求函数求函数 的极值、拐点，描绘的极值、拐点，描绘该函数图像该函数图像解解 自定义函数自定义函数 fx_:=x3-3 fx_:=x3-3* *x2-9x2-9* *x+5;x+5;画图可观察函数的主要性态画图可观察函数的主要性态Plotfx,x,-5,5Plotfx,x,-5,5解方程求驻点并赋值解方程求驻点并赋值 m=Solvefx=0,x; m=Solvefx=0,x; 找驻点结果为找驻点结果为x-1,x-3x-1,x-3取得取得m m中的数值中的数值 x1

11、=x/.m1;x2=x/.m2; x1=x/.m1;x2=x/.m2;计算二阶导数值以判别能否取得极值计算二阶导数值以判别能否取得极值p1=fx1;p2=fx2;p1=fx1;p2=fx2;判别并输出结果判别并输出结果 Whichp1=0,Print Whichp1=0,Print失效失效 ，p10p10，Print“f-1”Print“f-1”极小值极小值 ，p10p11n= Solvefx=0,x; x-1取得取得n n中的数值中的数值y1=x/.n1y1=x/.n1计算计算x=1x=1近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点近旁两点二阶导数值以判别能否成为拐点 q=fy1-0.1q=fy1-0.1* *fy1+0.1;fy1+0.1;判别并输出结果判别并输出结果 Whichq0 Whichq0，PrintPrint无拐点无拐点 ，p0p0，Print“(“1”,”f1”)”,Print“(“1”,”f1”)”,拐点拐点注：（注：（1 1WhichWhich命令命令格式：格式：WhichWhich条件条件1 1，表达式，表达式1 1，条件，条件2 2，表达式，表达式2 2，条件，条件n n，表达式，表达式nn执行方式为依次检验条件，得到第一个条件为真