江苏师范大学结构化学课件 第五章 晶体的点阵结构及X射线衍射法(1)

1、 第五章 晶体的点阵结构与X射线衍射法Chapter 5. Crystal Lattices and X-ray Crystallography固态物质按其原子或基团在空间排列是否长程有序可以分成晶固态物质按其原子或基团在空间排列是否长程有序可以分成晶体和非晶体两类体和非晶体两类： 晶态物质（长程有序）晶态物质（长程有序）1.无定型物质（非长程有序）无定型物质（非长程有序）85.1 晶体的点阵结构和晶体的缺陷晶体的点阵结构和晶体的缺陷一、晶体概述一、晶体概述1.1.晶体及其特征晶体及其特征晶体是由原子（分子、离子）或基团（分子片断）在空间按一晶体是由原子（分子、离子）或基团（分子片断）在空间按

2、一定的规律周期性的重复排列构成的固体物质。定的规律周期性的重复排列构成的固体物质。 对非晶态物质：在它们内部，原子、分子或离子的排列就没有对非晶态物质：在它们内部，原子、分子或离子的排列就没有周期性的结构规律，象液体那样杂乱无章地分布，可以看作过周期性的结构规律，象液体那样杂乱无章地分布，可以看作过冷液体，称为玻璃体，无定型体或非晶态物质。冷液体，称为玻璃体，无定型体或非晶态物质。 晶态结构示意图晶态结构示意图 按周期性规律重复排列按周期性规律重复排列非非晶晶态态结结构构示示意意图图8（4 4）确定的熔点等。）确定的熔点等。晶体的共同性质：晶体的共同性质： （1 1）自发的形成多面体的外形（自

3、范性）自发的形成多面体的外形（自范性）； （2 2）均匀性均匀性；同种晶体内部各部分的同种晶体内部各部分的宏观性质宏观性质，如熔点、，如熔点、 化学性质是相同的。化学性质是相同的。 （3 3）各向异性各向异性；晶体中不同方向具有不同的物理性质。如在晶体中不同方向具有不同的物理性质。如在不同的方向上具有不同的电导率、膨胀系数、折光率以及机不同的方向上具有不同的电导率、膨胀系数、折光率以及机械强度等。械强度等。F（晶面数）（晶面数）+V（顶点数）（顶点数）=E（晶棱数）（晶棱数）+ 29云母薄片上的热导率有异向性云母薄片上的热导率有异向性玻璃片云母片蜡滴产地产地: :甘肃省肃北县甘肃省肃北县晶晶体

4、体的的各各向向异异性性 v石墨在平行于层的方向上电导率高石墨在平行于层的方向上电导率高且为半金属性导电且为半金属性导电; 垂直于层的方向上电导率低垂直于层的方向上电导率低且为半导体性导电且为半导体性导电.图图中中红红、蓝蓝球球均均为为C原原子子1.点阵与结构基元点阵与结构基元 晶体的周期性结构使得人们可以把它抽象成晶体的周期性结构使得人们可以把它抽象成“点点阵阵”来研究来研究. .将晶体中重复出现的最小单元作为结构将晶体中重复出现的最小单元作为结构基元基元( (各个结构基元相互之间必须是化学组成相同、各个结构基元相互之间必须是化学组成相同、空间结构相同、排列取向相同、周围环境相同空间结构相同、

5、排列取向相同、周围环境相同),),用一用一个数学上的点来代表个数学上的点来代表, ,称为点阵点称为点阵点. .整个晶体就被抽象整个晶体就被抽象成一组点成一组点, ,称为点阵称为点阵. .二、晶体的点阵结构理论二、晶体的点阵结构理论 结构基元与点阵点结构基元与点阵点（1 1）点点阵阵的的数数学学定定义义 是一组无限的点，是一组无限的点，按连接其中任意两点按连接其中任意两点的向量将所有的点平移而能复原，这样的向量将所有的点平移而能复原，这样的一组点成为点阵的一组点成为点阵. .（2 2）结结构构基基元元 每个点阵点所代表的具体内容，包括原子每个点阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类、数量及其

6、在空间按一定方或分子的种类、数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。式排列的结构，称为晶体的结构基元。 晶体结构晶体结构=点阵点阵+结构基元结构基元 （3 3）一维周期性结构与）一维周期性结构与直线点阵直线点阵根据晶体结构的周期性，把沿晶棱方向周期性地重复排列的结根据晶体结构的周期性，把沿晶棱方向周期性地重复排列的结构基元，抽象出构基元，抽象出一组分布在同一直线上等距离的点列，称为直一组分布在同一直线上等距离的点列，称为直线点阵。线点阵。连接直线点阵的任何两个邻近点的向量连接直线点阵的任何两个邻近点的向量 称为素向量或周期称为素向量或周期，向量，向量 是直线点阵的单位，矢量长度

7、是直线点阵的单位，矢量长度a=|a=|a a|,|,称为直线点阵称为直线点阵参数参数 直线点阵的代数表示可用平移群直线点阵的代数表示可用平移群 Tm=ma(m=0,1, 2,)2,)aa（4）二维周期性结构与平面点阵）二维周期性结构与平面点阵Cu （111面）密置层（每个原子就是一个结构基元，对应一个点阵点）：面）密置层（每个原子就是一个结构基元，对应一个点阵点）： 在平面点阵中选择一在平面点阵中选择一组不相互平行的平移组不相互平行的平移向量向量 （方法（方法很多），很多），以平移向量以平移向量为边画出的并置平行为边画出的并置平行四边形叫做平面点阵四边形叫做平面点阵的单位。的单位。ba, 净含

8、一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有点阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有无限多种无限多种. 所以需要规定一种所以需要规定一种 “正当平面格子正当平面格子”标准标准.平行四边形单位只包括一个点阵点者，叫平行四边形单位只包括一个点阵点者，叫“素单位素单位”，凡是包，凡是包含含2个或多个点阵点的单位叫个或多个点阵点的单位叫“复单位复单位”，构成素单位的两边的，构成素单位的两边的向量叫素向量。向量向量叫素向量。向量 的长度的长度 =a, =b及其夹及其夹角角称为平面点阵参数。其平移群为称为平面点阵参数。

9、其平移群为Tmn=ma+nb(m，n=0,1, 2,)。ba,ab按照所选择的素向量把全部平面点阵连接起来所得到的图形按照所选择的素向量把全部平面点阵连接起来所得到的图形称为称为“平面格子平面格子”。 平面正当格子的标准平面正当格子的标准1. 平行四边形平行四边形2. 对称性高对称性高3. 含点阵点少的单位即正当单位。含点阵点少的单位即正当单位。具体的说选用的素向量间的夹角最好为具体的说选用的素向量间的夹角最好为9090度，其次为度，其次为6060度，再次为度，再次为其他角度，选用的素向量尽量短，符合上述条件的平面正当格子只其他角度，选用的素向量尽量短，符合上述条件的平面正当格子只有四种形状五

10、种形式，即正方边格子，矩形格子，矩形带心格子，有四种形状五种形式，即正方边格子，矩形格子，矩形带心格子，六方格子和平行四边形格子。六方格子和平行四边形格子。 实例：如何从石墨层抽取出平面点阵实例：如何从石墨层抽取出平面点阵石墨层石墨层 小小黑点为平面点阵黑点为平面点阵. 为比较二者关系为比较二者关系, 暂以暂以石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景石墨层作为背景，其实点阵不保留这种背景. . 为什么不能将每个为什么不能将每个C原子原子都抽象成点都抽象成点阵点？如果这样做，你会发现阵点？如果这样做，你会发现? ?石墨层的石墨层的平面点阵平面点阵 （5）三维周期性结构与空间点阵）三维周期性结构与空

11、间点阵根据晶体结构的周期性，把晶体内部周期性地重复排列的根据晶体结构的周期性，把晶体内部周期性地重复排列的结构基元，抽象出一组分布三维方向上的点列，称为空间点阵。结构基元，抽象出一组分布三维方向上的点列，称为空间点阵。选择选择3个不相个不相平行的单位矢平行的单位矢量量a，b，c，它们将空间点它们将空间点阵划分成并置阵划分成并置的的平行六面体平行六面体，称为，称为空间点空间点阵单位。阵单位。 矢量矢量a，b，c的长度的长度a，b，c及其相互间夹角及其相互间夹角bc= ，ca= ，ab= 称为空间点阵参数称为空间点阵参数 。空间点阵的点阵参数空间点阵的点阵参数 晶体结构的代数表示晶体结构的代数表示

12、平移群平移群正当空间格子的标准正当空间格子的标准: :1. 1. 平行六面体平行六面体 2. 2. 对称性尽可能高对称性尽可能高 3. 3. 含点阵点尽可能少含点阵点尽可能少正当空间格子正当空间格子有有7 7种形状，种形状，1414种型式种型式P220.P220. 空间格子净含点阵点数：空间格子净含点阵点数： 顶点为顶点为1/8（因为八格共用）（因为八格共用） 棱心为棱心为1/4（因为四格共用）（因为四格共用） 面心为面心为1/2（因为二格共用）（因为二格共用） 格子内为格子内为1.正正当当空空间间格格子子空间点阵单位常空间点阵单位常有四种形式：有四种形式：简单点阵（简单点阵（P)，底心点阵底

13、心点阵(C)，体心点阵体心点阵(I)，和面心点阵和面心点阵(F)。14种布拉维格子之一：立方简单（种布拉维格子之一：立方简单（cP）14种布拉维格子二：立方体心（种布拉维格子二：立方体心（cI）14种布拉维格子三：立方面心（种布拉维格子三：立方面心（cF） 14种布拉维格子之四：六方简单（种布拉维格子之四：六方简单（hP)黑色与灰白色点都是点阵点.黑点与蓝线表示一个正当格子14种布拉维格子之五种布拉维格子之五: 四方简单（四方简单（tP）14种布拉维格子之六种布拉维格子之六: 四方体心（四方体心（tI）14种布拉维格子之七：三方晶系的六方种布拉维格子之七：三方晶系的六方R 心心(hR) 14种

14、布拉维格子之八：正交简单（种布拉维格子之八：正交简单（oP) 14种布拉维格子之九：正交体心（种布拉维格子之九：正交体心（oI) 14种布拉维格子之十：正交种布拉维格子之十：正交C心心 oC(或或 oA, oB） 14种布拉维格子之十一：正交面心（种布拉维格子之十一：正交面心（oF) 14种布拉维格子之十二：单斜简单（种布拉维格子之十二：单斜简单（mP) 14种布拉维格子之十三：单斜种布拉维格子之十三：单斜C心（心（mC) 14种布拉维格子之十四：三斜简单种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP) u例如：例如：u四方面心、四方底心？四方面心、四方底心？u立方底心？立方底心？u将立方面心除去相对两

15、个面心？将立方面心除去相对两个面心？u你能否发明更你能否发明更多的点阵型式？多的点阵型式？=（1 1）为什么六方格子选左图而不选右图？）为什么六方格子选左图而不选右图？选择选择正当格子的三条标准次序不能颠倒。正当格子的三条标准次序不能颠倒。试观察下图并想想：试观察下图并想想： 2. 晶胞及晶胞的两个基本要素晶胞及晶胞的两个基本要素（1）晶胞）晶胞对于实际晶体，选择三个不相互平行的能满足周期性的单对于实际晶体，选择三个不相互平行的能满足周期性的单位向量位向量a、b、c，可将晶体分成一个个完全相同的平行六，可将晶体分成一个个完全相同的平行六面体，它代表晶体结构的基本重复单位，叫晶胞。面体，它代表晶

16、体结构的基本重复单位，叫晶胞。 晶胞和空间点阵单位是一一对应的。晶胞和空间点阵单位是一一对应的。晶胞也有素晶胞和复晶胞之分。晶胞也有素晶胞和复晶胞之分。对应于正当单位，晶胞也有正当晶胞。对应于正当单位，晶胞也有正当晶胞。 晶胞参数晶胞参数晶胞参数晶胞参数: : a、b、c、晶胞的大小和形状晶胞的大小和形状 晶胞的大小和形状可由晶胞参数确定晶胞的大小和形状可由晶胞参数确定. 晶胞中晶胞中各个原子的坐标位置各个原子的坐标位置 原子位置要用分数坐标原子位置要用分数坐标.（2）晶胞两要素）晶胞两要素 晶胞中原子晶胞中原子P 的位置用向量的位置用向量OP=xa+yb+zc代表代表. x、y、z就是分数坐

17、标，它们永远不会大于就是分数坐标，它们永远不会大于1. 分数坐标分数坐标所有顶点原子：所有顶点原子： （ 0，0，0） (前前)后面心原子：后面心原子： （0，1/2，1/2）左左(右右)面心原子：面心原子： （1/2，0，1/2）(上上)下面心原子：（下面心原子：（ 1/2，1/2，0） 立方面心晶胞净含立方面心晶胞净含4个原子，所以写出个原子，所以写出4组坐标即可组坐标即可:3 3、晶面和晶面指标、晶面和晶面指标( h( h* *k k* *l l* *) )晶面是平面点阵所处的平面。晶面是平面点阵所处的平面。晶面指标是晶面在三个晶轴上的倒易截数的互质整数之比。晶面指标是晶面在三个晶轴上的

18、倒易截数的互质整数之比。平面点阵的取向就用指标平面点阵的取向就用指标(h*k*l*)表示表示，即平面点阵的指标为即平面点阵的指标为(h*k*l*)。（。（注意注意 h*：k*：l*一定是互质的整数之比一定是互质的整数之比)*:*:*1:1:1lkhtsr 设有一平面点阵和设有一平面点阵和3个坐标轴个坐标轴x,y,z相交相交,在在3个坐标轴上的截数分个坐标轴上的截数分别为别为r,s,t(以以a,b,c为单位的截距数目为单位的截距数目)。截数的倒数之比。截数的倒数之比 3:5:551:31:311:1:1 tsr（h*k*l*)=(010)=(010)平面点阵指标（h*k*l* ) ) (111)

19、晶面晶面 相互平行的一族平面点阵相互平行的一族平面点阵, 其（其（h*k*l*) )相同相同: :(010)(010) 晶面间距公式晶面间距公式 (用于简单格子用于简单格子)2*2*2*lkhadlkh 立立方方晶晶系系：晶体缺陷：点阵理论所描述的晶体结构是理想的晶体结构，晶体缺陷：点阵理论所描述的晶体结构是理想的晶体结构，但在实际晶体中，结构基元或其排列不可能是完美无缺的，会但在实际晶体中，结构基元或其排列不可能是完美无缺的，会存在许多缺陷。存在许多缺陷。三、理想晶体与实际晶体中的缺陷三、理想晶体与实际晶体中的缺陷晶体中一切偏离理想的点阵结构都称为晶体缺陷。晶体缺陷若按晶体中一切偏离理想的点

20、阵结构都称为晶体缺陷。晶体缺陷若按几何形式分类有：点缺陷；线缺陷；面缺陷和体缺陷。几何形式分类有：点缺陷；线缺陷；面缺陷和体缺陷。 一、一、 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 5.2 晶体结构的对称性晶体结构的对称性1晶体的宏观对称元素和对称操作晶体的宏观对称元素和对称操作i, m,1, 2, 3, 4, 6 ，4在分子中在分子中在晶体中在晶体中对称轴对称轴Cn旋转旋转Cn旋转轴旋转轴n旋转旋转L( )对称面对称面 反映反映 反映面或镜反映面或镜面面m反映反映M对称中心对称中心i反演反演i对称中心对称中心i倒反倒反I象转轴象转轴Sn旋转反映旋转反映Sn反轴反轴 旋转倒反旋转倒反L( )In1.

21、 晶体中的对称轴晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋轴旋转轴、反轴、螺旋轴)必与一组直必与一组直线点阵平行线点阵平行, 除一重轴外除一重轴外, 对称轴必与一组平面点阵垂直对称轴必与一组平面点阵垂直; 晶体中的对称面晶体中的对称面(镜面、滑移面镜面、滑移面)必与一组平面点阵平行必与一组平面点阵平行, 而与一组直线点阵垂直而与一组直线点阵垂直. 2. 轴次定理轴次定理: 晶体中的对称轴晶体中的对称轴(旋转轴、反轴、螺旋旋转轴、反轴、螺旋轴轴)的轴次只有的轴次只有1、2、3、4、6.2. 晶体对称性的两个定理晶体对称性的两个定理OABBAaa-nnnBB= maBB/AAnCOSnCOSOBBB 2a

22、222ma 22mnCOS 12 nCOS 12 m 2 m m=0, 1, 2 nCOS 2n 221 32 42 2162 mn-2开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花开普勒的老问题：为什么天上不下五角形雪花? ?从瓷砖铺地的二维问题来联想一下从瓷砖铺地的二维问题来联想一下: :由于点阵结构的制约由于点阵结构的制约,晶体中实际可能存在的独立的宏观对称元晶体中实际可能存在的独立的宏观对称元素仅有有限的八种素仅有有限的八种:i, m,1, 2, 3, 4, 6, 41 i2 m6333 mi二晶体宏观对称性的分类二晶体宏观对称性的分类1宏观对称元素的组合和宏

23、观对称元素的组合和32种点群种点群 对宏观对称元素进行组合时对宏观对称元素进行组合时,必须遵从两个条件必须遵从两个条件:晶体的多面体外形是一种有限的图形晶体的多面体外形是一种有限的图形,因而因而各对称元素组各对称元素组合时必须通过一个公共点合时必须通过一个公共点,否则将产生出无限多个对称元否则将产生出无限多个对称元素来素来,这是与有限外形相矛盾的。这是与有限外形相矛盾的。I.晶体具有周期性的点阵结构晶体具有周期性的点阵结构,任何对称元素组合的结果任何对称元素组合的结果,都都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素不允许产生与点阵结构不相容的对称元素(如如5,7,.等等)。晶体的宏观对称元素只有晶体

24、的宏观对称元素只有8种，种，按照组合程序及其规律进按照组合程序及其规律进行合理的组合行合理的组合,不遗漏也不重复不遗漏也不重复,可得到的对称元素系共可得到的对称元素系共32种，即种，即32个点群。个点群。 晶体学点群可用晶体学点群可用Schnflies符号（即点群符号）表示符号（即点群符号）表示或国际符号表示或国际符号表示.国际符号一般由三个位构成，每个位代国际符号一般由三个位构成，每个位代表一个与特征对称元素取向有一定联系的方向表一个与特征对称元素取向有一定联系的方向(这种联系这种联系是指每个晶系的晶轴选择都有特别的规定是指每个晶系的晶轴选择都有特别的规定) : 2特征对称元素与特征对称元素

25、与7个晶系个晶系根据特征对称元素（一般指尽可能高次的对称轴）及数目的不同根据特征对称元素（一般指尽可能高次的对称轴）及数目的不同，可将，可将32点群分为点群分为7类，正好对应于类，正好对应于7类不同形状的晶胞。对于晶类不同形状的晶胞。对于晶体结构体结构，根据晶胞类型的不同根据晶胞类型的不同，即与其相对应的平行六面体形状即与其相对应的平行六面体形状的差异的差异，可以把可以把32个点群划分为七个晶系。个点群划分为七个晶系。 由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的内部结构的内部结构，而特征对称元素却是晶体结构中的平行六面体晶胞而特征

26、对称元素却是晶体结构中的平行六面体晶胞的类型在整个晶体外形上的反映的类型在整个晶体外形上的反映，是能够直接观察的宏观对称元是能够直接观察的宏观对称元素素，所以可在晶体的宏观对称元素中找出相应的特征对称元素所以可在晶体的宏观对称元素中找出相应的特征对称元素，作为实际划分晶体的依据。作为实际划分晶体的依据。 七大晶系七大晶系晶体学点群可用晶体学点群可用Schnflies符号（即点群符号）表示或国符号（即点群符号）表示或国际符号表示。国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字际符号表示。国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字母，这种排列的先后顺序叫母，这种排列的先后顺序叫“位序位序”，大多记三位。，大多

27、记三位。“位位序序”在不同晶系中代表不同方向。在不同晶系中代表不同方向。“位序位序”上的数字或字上的数字或字母表示与这个方向有关系的对称元素。在某一方向出现的母表示与这个方向有关系的对称元素。在某一方向出现的旋转轴和反轴是指与这一方向平行的，而在某一方向上出旋转轴和反轴是指与这一方向平行的，而在某一方向上出现的反映面则是与这一方向垂直现的反映面则是与这一方向垂直 。如在某一方向同时出。如在某一方向同时出现旋转轴或反轴和反映面是，可用分数的形式表示，将现旋转轴或反轴和反映面是，可用分数的形式表示，将n或或 记在分子的位置，而将记在分子的位置，而将m记在分母的位置。记在分母的位置。 n国际符号中三

28、个位代表的方向国际符号中三个位代表的方向mmOh234 立立方方晶晶胞胞： (1)平移操作平移操作对应的对应的点阵点阵. (2)螺旋旋转操作螺旋旋转操作对应的对应的螺旋轴螺旋轴ni. (3)反映滑移操作反映滑移操作对应的对应的滑移面滑移面.先绕轴旋转先绕轴旋转L (2/n),而后再沿轴向平移而后再沿轴向平移T（ ）相应的微观对称元素是螺旋相应的微观对称元素是螺旋轴轴ni . 其中其中, n=2、3、4、6, i是小于是小于n的的(正正)整数整数.如如31 螺旋轴。螺旋轴。 三、三、 晶体的微观对称性晶体的微观对称性一、微观对称元素和对称操作一、微观对称元素和对称操作: ani轴线滑移动面轴线滑

29、移动面a:对应的操作是反映后对应的操作是反映后,再沿再沿a轴方向平移轴方向平移a/2. 对角线滑移面对角线滑移面n:对应的操作是反映后沿对应的操作是反映后沿a轴方向平移轴方向平移 a/2,再沿再沿b轴方向移动轴方向移动 b/2,即反映后又平移即反映后又平移 ba2121 菱形滑移面菱形滑移面d:对应的操作是反映后又平移对应的操作是反映后又平移 ba4141 2晶体的微观对称类型与晶体的微观对称类型与230个空间群个空间群表示空间群的国际符号与点群的国际符号相似表示空间群的国际符号与点群的国际符号相似，只是在位序之前只是在位序之前增加了点阵型式。基于增加了点阵型式。基于230个空间群是在个空间群

30、是在32点群的基础上增加了平点群的基础上增加了平移操作而派生出来的移操作而派生出来的，故而属于同一点群的各种晶体可以隶属于故而属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干空间群。若干空间群。 5.3 X射线衍射法射线衍射法X X射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构射线衍射使我们了解了蛋白质晶体结构X射线的发生1. 高速电子流冲高速电子流冲击金属阳极击金属阳极,原子原子内层低能级电子内层低能级电子被击出被击出;n=1(K)n=2(L)n=3(M)K1K2K1 一、一、 X射线的产生及晶体对射线的产生及晶体对X X射线的相干散射射线的相干散射2. 高能级电子跃高能级电子跃迁到低能级补充迁到低能级补充空位空位

31、, 多余能量以多余能量以X光放出光放出. X晶体：晶体： 1. 大部分透过大部分透过 2. 非散射能量转换非散射能量转换: 热能热能 光电效应光电效应 3. 散射散射: 不相干散射不相干散射 相干散射相干散射 X射线与晶体的作用晶体的晶体的X射线衍射效应属射线衍射效应属于相干散射，次生射线于相干散射，次生射线与入射线的位相、波长与入射线的位相、波长相同，而方向可以改变相同，而方向可以改变.次生次生X X射线射线( (球面波球面波) )的相互加强形成衍射的相互加强形成衍射衍射方向是指晶体在入射衍射方向是指晶体在入射X射线照射下产生的衍射线偏离入射射线照射下产生的衍射线偏离入射线的角度。线的角度。

32、 二、二、 衍射方向与晶胞参数衍射方向与晶胞参数 1. Laue方程方程 Laue方程是联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程方程是联系衍射方向与晶胞大小、形状的方程. 它的出发点是将晶体的空间点阵分解成三组互不平行的直它的出发点是将晶体的空间点阵分解成三组互不平行的直线点阵线点阵, 考察直线点阵上的衍射条件考察直线点阵上的衍射条件. 每一组直线点阵上每一组直线点阵上得到一个方程，整个空间点阵上就有三个形式相似的方程，得到一个方程，整个空间点阵上就有三个形式相似的方程，构成一个方程组构成一个方程组. Laue 方程组方程组 衍射指标衍射指标h、k 、l为整数（但并不都是互质整数），决定了衍为整数（

33、但并不都是互质整数），决定了衍射方向的分立性，即只有某些特定方向上才会出现衍射射方向的分立性，即只有某些特定方向上才会出现衍射. 与直线点阵成衍射角与直线点阵成衍射角的不只一条衍射线的不只一条衍射线, 而是许多衍射线而是许多衍射线, 围围成一个衍射圆锥成一个衍射圆锥; 不同的衍射角有各自的衍射圆锥不同的衍射角有各自的衍射圆锥: 直线点阵上衍射圆锥的形成直线点阵上衍射圆锥的形成空间点阵中衍射线空间点阵中衍射线S的形成的形成 三个方向直线三个方向直线点阵的衍射圆锥点阵的衍射圆锥交成衍射线交成衍射线S，衍射方向由衍射衍射方向由衍射指标指标hkl表征表征. 2. Bragg方程方程若将空间点阵看成由互

34、相平行且距离相等的一系列平若将空间点阵看成由互相平行且距离相等的一系列平面点阵所组成面点阵所组成,则可得布拉格方程。则可得布拉格方程。 2d h*k*l* sinhkl= n, 衍射级数衍射级数n=1,2,3 衍射强度衍射强度 Ihkl 既与衍射方向既与衍射方向hkl有关有关, 也与晶也与晶胞中原子分布胞中原子分布(由分数坐标由分数坐标xj , yj , zj表示表示)有关有关. 三、三、 衍射强度与晶胞中原子的分布衍射强度与晶胞中原子的分布1电子散射电子散射X射线的强度射线的强度2原子散射原子散射X射线的强度射线的强度 原子实际散射原子实际散射X射线的强度射线的强度Ia 一般都比一般都比Ia

35、小。可令小。可令 f被称为原子的散射因子被称为原子的散射因子,它对于某个给定的原子来说它对于某个给定的原子来说,并不是一个并不是一个常数常数,而是一个与散射方向和而是一个与散射方向和X射线的波长有关的函数。射线的波长有关的函数。22cos1222204 cmRIeIe2 ZIIea 2fIIea 3晶体散射晶体散射X射线的强度射线的强度此式表明晶胞在衍射方向此式表明晶胞在衍射方向 (hkl)散射散射X射线的强度与射线的强度与|Fhkl|2成正成正比。比。Fhkl被称为结构因子被称为结构因子, |Fhkl|则叫做结构振幅。若为素晶胞则叫做结构振幅。若为素晶胞,则则|Fhkl|即相当于原子的散射因

36、子即相当于原子的散射因子f。 故也可理解为晶胞的散故也可理解为晶胞的散射因子，与晶胞中各原子的散射因子射因子，与晶胞中各原子的散射因子fi有关。设晶胞中有关。设晶胞中 A1、A2、.、Aq等等q个原子个原子,原子原子Aj 的散射因子为的散射因子为fj, 式中式中 j=2 (hxj+kyj+lzj)2hklecFII qjijqjlzkyhxijhkljjjjefefF11)(2 21212)(2sin)(2cos qjjjjjqjjjjjhklhkllzkyhxflzkyhxfFI 在体心结构的晶胞中，含有两个相同原子，它们的分数坐标分在体心结构的晶胞中，含有两个相同原子，它们的分数坐标分别为

37、别为(0，0，0)和和(1/2，1/2，1/2）),将其坐标代入公式将其坐标代入公式22222)cos(1 )212121(2sin)000(2sin)212121(2cos)000(2cos lkhflkhflkhflkhflkhfFhkl 21212)(2sin)(2cos qjjjjjqjjjjjhklhkllzkyhxflzkyhxfFI 得：得：若若h+k+l是偶数，则是偶数，则F24f2， 若若h+k+l是奇数，则是奇数，则F20。这就是说在立方体心结构的晶体中，只有这就是说在立方体心结构的晶体中，只有(h+k+l)是偶数如是偶数如110，200，112，220等的衍射才可能产生，

38、而等的衍射才可能产生，而(h+k+l)为奇数时，如为奇数时，如100，111，120等均无衍射，这就是体心的消光规律。等均无衍射，这就是体心的消光规律。 证明面心点阵的消光条件是证明面心点阵的消光条件是h，k，l奇偶混杂。奇偶混杂。22222)cos()cos()cos(1 )02121(2sin)21021(2sin)21210(2sin)000(2sin)02121(2cos)21021(2cos)21210(2cos)000(2cos kllhkhflkhflkhflkhflkhflkhflkhflkhflkhfFhkl 在面心结构中，每个晶胞中含有四个原子，其分数坐标为在面心结构中，每

39、个晶胞中含有四个原子，其分数坐标为: (0，0，0)，(0,1/2,1/2),(1/2,0,1/2)和和(1/2,1/2,0),将其坐标代入公式得：将其坐标代入公式得： 在上式中，若在上式中，若h，k，l均为奇数或均为偶数，则均为奇数或均为偶数，则k+l，h+l，k+h均是偶数，则均是偶数，则|Fhkl|2=f2(1+1+1+1)2=16f2若若h，k，l三个数中，奇偶混杂，则三个数中，奇偶混杂，则k+l，h+l，h+k中，必有二中，必有二奇一偶，则奇一偶，则|Fhkl|2=f2(1-1+1-1)2=0222)cos()cos()cos(1 kllhkhfFhkl 点阵型式与系统消光条件点阵型

40、式与系统消光条件点阵型式点阵型式消光条件消光条件体心点阵体心点阵(I)h+k+l=奇数奇数面心点阵面心点阵(F)h、k、l奇偶混杂奇偶混杂底心点阵底心点阵(C)h+k=奇数奇数A面侧心点阵面侧心点阵(A)k+l=奇数奇数B面侧心点阵面侧心点阵(B)h+l=奇数奇数简单点阵简单点阵(P)无消光现象无消光现象4系统消光系统消光晶体按劳埃方程或布拉格方程应有衍射中部分衍射晶体按劳埃方程或布拉格方程应有衍射中部分衍射,由于晶胞中非由于晶胞中非周期性排列的各原子散射周期性排列的各原子散射X射线间的相互干涉而致系统地消光的现射线间的相互干涉而致系统地消光的现象。象。系统消光现象与晶体的点阵型式有关系统消光现象与晶体的点阵型式有关。四、四、X射线结构分析简介射线结构分析简介 1. 单晶结构分析：回转法单晶结构分析：回转法回旋法采用单晶和单色回旋法采用单晶和单色X射线射线,但使晶体绕某一轴转动但使晶体绕某一轴转动,即保持三即保持三个入射角之一固定个入射角之一固定,另二角发生变化。若使晶体绕另二角发生变化。若使晶体绕c轴转动轴转动,则按则按劳埃方程劳埃方程,一切衍射方向必须满足下式一切衍射方向必须满足下式: c(cos l-cos 0)=l 若入射线与晶体转动轴垂直若入射线与晶体转动轴垂直,即即 0=90 ,则有：则有：ccos l=l 设设R为感光胶片圆筒的半径为感光胶片圆筒的