D6_1定积分概念与性质

1、第六章定积分 积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分第一节一、一、定积分概念的引入定积分概念的引入二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 可积的条件可积的条件定积分的概念及性质 第六六章 四、四、 定积分的性质定积分的性质一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A ( )yf x 矩形面积ahhayOxab砖是直边砖是直边的长方体的长方体烟囱的截面烟囱的截面是弯曲的圆是弯曲的圆“直的砖直的砖”砌砌成了成了“弯的圆弯的圆”局部以直代曲局部以直代曲abxyoab

2、xyo 虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。 （四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）从中可以得到一个什么样的启示？从中可以得到一个什么样的启示？1xix1ixxabyO解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代

3、替相应窄曲边梯形面积,iS 得1()()iiiiiiSfxxxx ),2, 1,nii3) 近似和近似和.1niiSS niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1inix则曲边梯形面积01limniiSS niiixf10)(lim1xix1ixxabyOi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点

4、中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，边梯形面积的思想，F(x)AB 再看一个变力做功的问题。再看一个变力做功的问题

5、。 设设 质点质点 m 受受力力 的作用，在变力的作用，在变力F的作用下，沿直线由的作用下，沿直线由 A 点点运动到运动到 B 点，求变力作的功点，求变力作的功bat 分割分割用任意的一组分点：用任意的一组分点：011nnattttb把把 a, b 分成分成 n 个小区间个小区间 ti-1, ti i=1, 2, , n1itit1t 近似代替近似代替在在 ti-1, ti 上任取一点上任取一点i ，于是在该小区间，于是在该小区间上的力上的力 ( )iiiWFt1iiittti作的功作的功 ix,1ixi, )iF(F 求和求和总功总功1( )niiiWFt 取极限取极限令令1max0ii n

6、t 若极限若极限01lim()niiiFt存在，存在，则定义此极限值为力所做的功则定义此极限值为力所做的功Oab x二、定积分定义二、定积分定义 ( ) , ,f xa b设设函函数数在在上上有有界界的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分

7、下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和AO1. dxxf)(与 badxxf)(的差别 dxxf)(是 )(xf的全体原函数 是 函数族 badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数 注：可积的充分条件可积的充分条件:定理定理1.上连续在函数,)(b

8、axf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 .,)(可积在baxf可积的必要条件可积的必要条件:定理定理.( ) , f xa b函函数数在在上上有有界界.,)(可积在baxf定理定理3.( ) , ,f xa b函函数数在在上上单单调调.,)(可积在baxf121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110Ox1ni 1ni对定积分的对定积分的补充规

9、定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.四、定积分的性质四、定积分的性质(设所列定积分都存在)1.dbax2.( )d( )dbbaak f xxkf xx( k 为常数)3. ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx证证:iiinixgf)()(lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010= 右端ab几何意义4.( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点

10、, 于是,)(baiixf,)(caiixf,)(bciixf0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(abc区间可加性abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(6. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(保号性)保序性推论推论2.xxfbad)(xxfbad)(

11、证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7. 设, )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 估值不等式绝对值不等式绝对值不等式解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx8. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质7 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.Oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念