第一单元常微分方程ppt课件

1、第一单元第一单元 常微分方程常微分方程一、两个实案案例一、两个实案案例引言：微分方程的运用人口增长、自动引言：微分方程的运用人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学控制、市场控制、力学、电学 工程工程1 (1.1)一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法义务义务1-1 微分方程的根本概念微分方程的根本概念引言：微分方程的运用人口增长、自动引言：微分方程的运用人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学控制、市场控制、力学、电学 解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 曲线上恣意点的坐标为曲线上恣意点的坐标为(x , y)，那么，那么案例案例1.3 1.3 列车在平直线路上以列车在平直线路

2、上以20m/s20m/s的速度行驶，的速度行驶，制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度m/s. m/s. 问开场制动后多长问开场制动后多长时间列车才干停住，在这段时间内列车行驶了多时间列车才干停住，在这段时间内列车行驶了多少路程？少路程？ 解解 设列车开场制动的时辰为设列车开场制动的时辰为t=0t=0，制动，制动t t秒行驶了秒行驶了s s米后停顿，由导数的力学意义，米后停顿，由导数的力学意义，列车制动阶段运动规律的函数列车制动阶段运动规律的函数 应满应满足足)(tss ) 1 (4 . 0)( tsS(t)还应满足.20)0(; 0)0(ss1式两边积分得：14.0ctdtdsv两边再积分

3、得：2122.0ctcts.20)0(; 0)0(ss代入以上两式得：将0,2021cc,204.0tvtts202.02令0v得)(504 . 020st)(500 ms 定义定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分或微分)的方程，叫做微分方程的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程.微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数，称为微分方程的阶数，称为微分方程的阶1. 微分方程的定义微分方程的定义2. 微分方程的阶微分方程的阶二、根本概念二、根

4、本概念可不出现可不出现x yyy，yy，y (n) y (n) 特点特点 断定以下等式能否微分方程？假设是，指出断定以下等式能否微分方程？假设是，指出它的阶数。它的阶数。 (1) y+ 2xy = e x (2) y- 5 y= 2 x 2- x +1 (3) 2 y- 3(y)3 + 5y = 8x (4) y 2- x +1 = 0 (5) (sinx) = cosx (1) y= 0 (7) (y) 4 = e x y 定义定义2 假设一个函数代入微分方程后，方程两端假设一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，那么称此函数为微分方程的解。恒等，那么称此函数为微分方程的解。1通解：假设微分方

5、程的解中含有恣意常数，通解：假设微分方程的解中含有恣意常数，且独立的恣意常数的个数与微分方程的阶数一且独立的恣意常数的个数与微分方程的阶数一样，这样的解叫做微分方程的通解。样，这样的解叫做微分方程的通解。3. 微分方程的解微分方程的解2特解：在通解中，给恣意常数以确定的值特解：在通解中，给恣意常数以确定的值而得到的解称为特解。而得到的解称为特解。3初始条件：用来确定通解中恣意常数的条件初始条件：用来确定通解中恣意常数的条件 00yyxx 如案如案案例案例1xedxdydxeyx,Ceyx即通解通解2,0yx时其中初始条件初始条件, 1 C求得求得.1xey所求曲线方程为特解特解解解,cossi

6、n21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是是原原方方程程的的解解故故ktCktCx 4. 指出微分方程的阶、通解或特解指出微分方程的阶、通解或特解一阶微分方程的普通方式为一阶微分方程的普通方式为 Fx，y， y =0下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法及解法那么该微分方程称为可分别变量的微分方程那么该微分方程称为可分别变量的微分方程 义务义务 1-2(

7、1.1.2) 分别变量法分别变量法 假设一个一阶微分方程假设一个一阶微分方程 Fx，y， y =0可化为可化为dxxfdyyg)()(的方式，的方式， dxxfdyyg)()(设设函函数数)( yG和和)(xF分分别别为为 )( yg和和 )(xf的的原原函函数数, CxFyG )()(两边积分，得两边积分，得 那么微分方程的通解为：那么微分方程的通解为：解解分别变量分别变量,2dxxydy 两端积分两端积分,2dxxydy1323121Cxycxy3232C = 2C1)案例案例1.5 1.5 求解微分方求解微分方程程yxdxdy2的通解。132232Cxy即即为方程的通解为方程的通解案例案

8、例1.1 求微分方程求微分方程 xydy + dx =y 2dx + ydy 的通解的通解 解解分别变量分别变量,1112dxxyydy两端积分两端积分,1112dxxyydy),1(1121) 1(22xdxyydCxyln) 1ln() 1ln(2222) 1(1xCy故方程的通解为故方程的通解为案例案例1.7 求微分方程求微分方程 满足初始满足初始条件条件y0= 1的特解的特解 xxeyye)1 (解解分别变量分别变量,1dxeeydyxx两端积分两端积分Ceyx)1ln(212故所求的特解为故所求的特解为由初始条件由初始条件y0= 1，得，得2ln21C2ln21)1ln(22xey)

9、()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的规范方式一阶线性微分方程的规范方式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当案案案案例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.义务义务1-3 (1.1.3)常数变易法常数变易法. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey线性齐次方程线性齐次方程我们先讨论我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的解法一阶齐

10、次线性微分方程的解法(运用分别变量法运用分别变量法)下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解式的根底上来求解非齐次线性方程式的通解，式的根底上来求解非齐次线性方程式的通解，即把齐次线性方程的通解式中的即把齐次线性方程的通解式中的C看作是看作是x的的函数函数Cx.设设是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解dxxPexCy)()(把它代入非齐次方程，由此来确定待定把它代入非齐次方程，由此来确定待定函数函数Cx. 这时这时,)()()()()(dxxPdxxPexPxCexCy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxCdxxP),()(

11、)(xQexCdxxP两边积分得两边积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解案例案例 求微分方程求微分方程 的通的通解解. . 1)(sin)(cosyxyx解一解一 将原方程变形为将原方程变形为 xyxysec)(tan1先求对应齐次方程 0)(tanyxy的通解.xCCeCeCeyxxdxdxxPcoscoslntan)(2把 换成 ，即设 C)(xCxxCycos)(3把它代入方程，化简后得： xxC

12、2sec)(两边积分，得 CxxC tan)(4把C(x代入，即得原方程的通解是： xCxycos)(tan解二解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时我们也可以直接利用通解公式求解，此时 ,tan)(xxPxxQsec)(CdxexQeydxxPdxxP)()()(CdxxeexdxxdxtantansecxCxcos)(tan，得通解 案例案例1.9 求微分方程求微分方程 x2dy+(2xy x+1)dx= 0 满足初满足初始条件始条件y(1) = 0的特解的特解 ,2)(xxP,1)(2xxxQCdxexxeydxxdxx2221解解212xxyxdxdyCdxexxexxln22ln21.21122Cxxx把初始条件把初始条件 y(1) = 0 代入上式，得代入上