2021年广东省江门市新会区中考模拟考试（一模）数学试题-含答案

1、内装订线内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线2021年广东省江门市新会区中考模拟考试（一模）数学试题评卷人得分一、单选题12021的绝对值和倒数分别是（       ）A2021，B2021，C2021，D2021，2已知，则A的补角度数是（       ）A35°B65°C145°D155°3下列运算正确的是（       ）ABCD

2、4（       ）ABC10D125某款手机上市时的售价为2000元，半年内经过两次降价后售价降到1620元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ）ABCD6我国古代数学著作增删算法统宗记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ 

3、      ）A B C D7如图，直线ab，将含有45°的三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，若127°，则2的度数是（）A10°B15°C18°D20°8如图，将等边ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则ABC的度数大小由60°变为（ ）A（）°B（）°C（）°D（）°9如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，CD是O的切线，ODBC，OD与半圆O交于点E，则下列结论中不

4、一定正确的是（）AACBCBBE平分ABCCBECDDD=A10一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（          ）ABCD评卷人得分二、填空题11一个不透明的盒子里装有6个红球，3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从盒子里随机摸出一个小球是红球的概率是_12二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式_13化简的结果是_14分解因式：_15计算：_16如图，是的直径，点C在

5、上，D为的中点，P是直径上一动点，则的最小值为_17如图，点A是双曲线上一个动点，连接并延长，交双曲线另一支于点B，把线段绕点B逆时针旋转，得到线段，若点C在另一双曲线上，则_评卷人得分三、解答题18求不等式组的整数解19小慧在课外阅读时遇到了一个与勾股定理有关的故事：古希腊哲学家柏拉图对勾股定理很有研究，曾得到勾股数的一个结论：如果m表示大于1的整数，则，构成勾股数，你能证明柏拉图这个结论吗？并利用这个结论写出两组勾股数（勾股数定义：若三角形三边长a、b、c都是正整数，且满足，那么a、b、c称为一组勾股数）20如图，内接于O，AB为O的直径，过点A作O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长

6、21为更好地落实新型冠状病毒防疫要求，提高学生的卫生安全意识，某校开展了以“科学防疫，健康快乐”为主题的卫生安全知识抽样调查，从全校学生中随机抽取了男、女同学各40名进行调查，并将数据进行整理分析，得到如下信息：女生成绩扇形统计图和男生成绩频数分布直方图如下图：成绩分组：A：；B：；C：；D：女生C组中全部15名学生的成绩为（由小到大排列）：81，82，83，84，85，85，86，86，87，87，88，89，89，89，89；男生、女生相关统计数据如下表（单位：分）平均数中位数众数满分率男生90889815%女生90mn25%(1)扇形统计图中女生A组对应的百分比是多少？女生的中位数m、众

7、数n又是多少？(2)通过以上的数据分析，你认为男生还是女生的成绩更好？并说明你的理由；(3)若成绩在90分（含90分）以上为优秀，请你估计学校1200名学生在此次卫生安全知识调查中获优秀的人数22节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元(1)求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千

8、米？23如图，在中，点D是BC的中点，E、F分别是AD及其延长线上的点，(1)求证：；(2)连接BE、CF，若，四边形BECF是什么特殊的四边形，请证明你的结论24问题背景：在数学探索课上，数学老师拿出两张大小不同的矩形纸片现场演示进行旋转变换探究活动，如图1，在矩形纸片ABCD和矩形纸片EFGH中，且，点E是AD的中点，矩形纸片EFGH以点E为旋转中心进行逆时针旋转，在旋转过程中会产生一些数量关系，同学们分组提了不少问题，最后老师归纳为如下三个问题，请你协助解决：(1)如图1，当EF与AB相交于点M，EH与BC相交于点N时，求证：；(2)在（1）的条件下，当时，AM与BM相等吗？请证明你的结

9、论；(3)若矩形EFGH继续以点E为旋转中心进行逆时针旋转，当时，如图2，求出此时EF将边BC分成的两条线段的长度25如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.试卷第5页，共6页参考答案：1C【解析】【分析】利用绝对值和倒数的定义解答即可【详解】解：2021的绝对值是2021，倒数是故选C【点睛】本题考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义是解题的关键2C【解析】【分析】根

10、据补角的定义即可求出答案【详解】两角和为180°时，两角互为补角，A的补角=180°-A =180°-35°=145°故选C【点睛】本题考查求一个角的补角大小掌握和为180°的两角互为补角是解题关键3D【解析】【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、合并同类项法则进行计算即可【详解】A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选D【点睛】此题主要考查了积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、合并同类项，关键是掌握各计算法则4B【解析】【分析】直接利用平方差公式

11、、二次根式运算法则计算即可求解【详解】解：原式，故选B【点睛】本题考查平方差公式、二次根式运算，解题的关键是熟练运用平方差公式、二次根式运算法则5A【解析】【分析】根据该款手机上市时的售价及半年内经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解【详解】解：依题意，得故选：A【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键6B【解析】【分析】竿长x尺，绳索长y尺，根据“绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”列出方程组，即可求解【详解】解：竿长x尺，绳索长y尺，根据题意得：故选：B【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应

12、用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键7C【解析】【分析】过B作BE直线a，推出abBE，根据平行线性质得出2=ABE，1=CBE=27°，根据ABC=45求出ABE，即可得出答案【详解】解：过B作BE直线a，直线ab，2ABE，1CBE27°，ABC45°，2ABE45°27°18°，故选C【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线8D【解析】【分析】设ABC的度数为n，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可【详解】解：设ABC的度数大小由60变为n，则AC=，由AC=AB，解得n=故选D【点睛】本题考查

13、的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式l=是解题的关键9C【解析】【分析】A可由圆周角定理的推论得到；B选项可由平行及OE=OB证明；C选项无法证明；D选项可连接OC后证明.【详解】解：A，由圆周角定理的推论即可得到，故正确；B选项，由ODBC可得OEB=CBE，再由OE=OB可得OEB=OBE=CBE，则可知BE平分ABC；C选项，无法通过已有条件进行证明；D选项，连接OC，由ODBC且BCA=90°可知ODAC，由CD是O的切线可知OCD=90°，则由OCA+COD=D+COD=90°可知D=OCA，再由OC=OA可得D=OCA=A，故正确；故选

14、择C.【点睛】本题考查了圆周角定理的推论以及切线定理.10D【解析】【分析】根据一次函数和反比例函数图象经过的象限，即可得出，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象依次判断即可得出结果【详解】解：观察已知函数图象可知：，二次函数的图象开口向下，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴，故选：D【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象所经过的象限确定系数的符号，一般形式的二次函数的性质及图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题的关键11【解析】【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可【详解】解：袋子中装有6个红球

15、，3个白球，共有9个球，从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是，故答案为：【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=12（答案不唯一）【解析】【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可【详解】解：的顶点坐标为， 直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上，（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键13#【解析】【分析】根据分式的混合运算进行计算即可【详解】解：原式=b2a故答案为：b2a【点睛】本题考查分式的混合运算，正确的计算是解

16、题的关键14【解析】【分析】利用平方差公式分解，再整理即可【详解】原式故答案为【点睛】本题考查因式分解掌握平方差公式是解本题的关键1511【解析】【分析】利用二次根式的化简、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、分母有理化进行运算，再进行合并即可【详解】解：11故答案为：11【点睛】本题考查了二次根式的化简、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值、分母有理化等知识，熟练掌握运算法则并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键16【解析】【分析】作出D关于AB的对称点D，则PC+PD的最小值就是CD的长度，在COD中根据边角关系即可求解【详解】解：作出D关于AB的对称点D，连接OC，OD，CD又点C在O上

17、，CAB=30°，D为的中点，即，BAD=CAB=15°CAD=45°COD=90°则COD是等腰直角三角形OC=OD=AB=5，CD=故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解题的关键17-12【解析】【分析】设点A坐标为（a，b），则，连接，易证，然后构造相似三角形，过点A作轴，垂足为E，过点C作轴，垂足为D，可证从而得到，设点C坐标为（x，y），从而有，即【详解】解：如图，设点A坐标为（a，b），点C坐标为（x，y），连接、，过点A作轴，垂足为E，过点C作轴，垂足为D， 点A在双曲线上，点C在双曲线上，线段绕点

18、B逆时针旋转，得到线段，为等边三角形，点A与点B关于原点对称，故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用、反比例函数的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，有一定的难度通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键18不等式组的整数解是：2，1，0，1，2，3【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可【详解】解：解得：，解，得：，原不等式组的解集是：，原不等式组的整数解是：2，1，0，1，2，3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键19证明见解析；，答案

19、不唯一【解析】【分析】根据题设条件，证明即可得到答案【详解】证明：2m，构成勾股数答案不唯一，符合条件的两组数都行，如，特别要留意数字较大的答案【点睛】本题属于数学文化类的题目，解题的关键是正确理解题意20【解析】【分析】根据直径所对圆周角是直角的性质，得，从而计算得；结合圆的对称性，得是等边三角形，根据切线、三角函数的性质计算，即可得到答案【详解】AB是O的直径，点C在O上， ，又，是等边三角形，PA是O的切线，在中，【点睛】本题考查了圆、三角函数、等边三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、圆的对称性、切线、三角函数的性质，从而完成求解21(1)百分比为，(2)女生的成绩更好，见解析(3

20、)435人【解析】【分析】（1）先求出C组对应的百分比，再根据百分比之和等于1求出A组的百分比，继而分别求出女生A、B组的人数，即可得中位数，求出女生C组、D组人数，即可求众数；（2）根据男生和女生的平均数相等，但女生的中位数和满分率都高于男生做出判断即可；（3）用总人数乘以样本中男、女生中优秀的人数占被调查人数的比例即可得(1)解：女生C组所占百分比：，所以女生A组所占百分比为：，女生A组有（人），B组：（人），中位数落在C组，将C组15个数据由小到大排列，前面加上9人，第20位、21位的两个数分别是88、89，所以中位数是：，女生C组有15人，其中C组出现次数最多的是89，共4个女生D组人

21、数：（人），其中得满分的有：（人），所以女生众数；(2)女生的成绩更好，因为虽然男生、女生的平均数相等，但女生的中位数、众数和满分率都高于男生(3)学校1200名学生在此次调查中优秀的人数为：（人），所以，学校1200名学生在此次调查中优秀的人数约为435人【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，中位数、众数等；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22(1)每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；(2)至少需要用电行驶60千米【解析】【分析】(1)根据从甲地行驶到乙地的路程相等列出分式方程解答即可；(2)根

22、据所需费用不超过50元列出不等式解答即可【详解】解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x+0.5)元，可得：，解得：x=0.3，经检验x=0.3是原方程的解，汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3=100千米；(2)至少需要用电行驶60千米汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5=0.8元，设汽车用电行驶ykm，可得：0.3y+0.8(100-y)50，解得：y60，所以至少需要用电行驶60千米【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正

23、确列出一元一次不等式23(1)见解析(2)菱形，见解析【解析】【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由（1）知，然后可得四边形BECF是平行四边形，进而问题可求解(1)证明：，点D是BC的中点，；(2)四边形BECF是菱形，证明如下：由（1）知，又，四边形BECF是平行四边形，即，四边形BECF是菱形【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键24(1)见解析(2)；见解析(3)，【解析】【分析】（1）先判断出PEAE，再判断出PENAEM，进而得到PENAEM，即可得出结论；（2）

24、先判断出PNCNPC，进而求出PNCN，再判断出AMPN，即可得出BM，结论得证；（3）在直角三角形PEM中，求出PM，再用线段的和差即可得出结论(1)解：如图1所示，过点E作，垂足为P，则四边形ABPE是矩形，点E是AD的中点，即，；(2)当时，由（1）知：，四边形EPCD是矩形，；(3)当时，设EF与BC交于M，EH与CD交于N，过点E作于P，连接EC，EP把矩形分成两个边长为1的正方形，如图所示：四边形ABCD为矩形，在中，EF将边BC分成的两条线段的长度为：，【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出PEAE，解（2）的关键是得出P

25、NCN，解（3）的关键是求出PM25（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】【详解】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；       （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；       （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x