《现代控制理论》(刘豹-唐万生)

第1章控制系统的状态空间表达式

1-1

试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式

图1-27系统方块结构图

图1-30双输入-双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下:

X1=x2

龙2--^3

=/

*

X5~+K[XG

•降K}K}

KpKpKp

令6(s)=y,则y=

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

r010000i

•

rK

Xib-0-

•00000xr

X770

2%2

•

KpKn1Kp0

%300%3

*—JlJlJl0u

7xA+

X

40010000

x5

00.Ki00Kig

XsL人6」

*Ki&K.

1_义6」p

[Kp0000/J

~xr

x2

43

y=[i00o00]

X4

%5

-％6-

1-2

有电路如图1-28所示。以电压“(t)为输入量,求以电感中的电流和电容上的电

压作为状态变量的状态方程，和以电阻/?2上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1L2

U

图1-28电路图

解：由图，令&=已==%3，输出量丫=/?2%2

有电路原理可知：/?!%14-L1X1+X3=U

力2%2+^2X2=X3

*

%1=X2+

既得=-鲁％1+；比

L1L1L1

2

•R2

X2--一

L2^T2^3

•»1J

X3-c

c-X

R

y2

写成矢量矩阵形式为：

&o1

r

F1

71一

X1G1-

rx2

o-°%+lu

%2=

J3o

lLo

0_-

-X3.c

&mR11

y=[°IX2I

LX3J

有机械系统如图1.29所示,Ml和M2分别受外力fl和f2的作用.求以Ml和M2

的运动速度为输出的状态空间表达式.

/Ki

/

/

/—-WV-

/

/

(

/B2M2------►f2t)Mi>fl(t)

/

/

/——

解：以弹簧的伸长度九y,质量块此.的速率G.必作为状态变量

即X]=y”X2=丫2,X3=c19X4—C2

根据牛顿定律,对Mi有:yD-B.(c-c)

at2

对M?有：M2^=f2+k,(y,y2)+B,(c-c2)-k2y2-B2c2

at

将X1,X2,X3,X4代入上面两个式子，得M1x3=fl-k1(xHx2)-Bt(X3-X.1)

M2X4=f2+ki(x]-x2)+B)(X3-X1)-k2x2-B2x.|

3

整理得与=X3

=

X2x4

为一哈X2缁x胃X4

友育琛出曲啥「喏X4

输出状态空间表达式为y尸CFX3

y2=c2=x^

1-4

两输入％,”2,两输出力，%的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状

态空间表达式和传递函数阵。

图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

解：系统的状态空间表达式如下所示:

U

4

-s-100-

S+0

(s/_A)=«2

-10S-1

.0。4s4-a3-

's-100--10O-

a2s+即0a瓦0

啧⑸=(s/-/尸8=6

-10s-100

.0«5(Z4S+。3,,0%

■s-100--10O-

%y(s)=C(s/—/)TB=[j000-2s+%0%瓦0

01a-10s-100

a

.05(Z4s+a3..0^2.

5-100

a2S+q0。6[X]^2-1_J0。][X21^221_,

-105-1%3X/叫0。6_|%23X2，—/4

0

a5a4s+a3

1-5

系统的动态特性由下列微分方程描述

(l)y+5y+7y+3y=it+2u

(2)y+5y+7y+3y=u+3u+2u

列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。

(1)解：由微分方程得：系统的传递函数为W(s)=-——

S+5s-+7s+3

则状态空间表达式为:

y

02

(2)解：由微分方程得：系统的传递函数为W(s)=3s+.+2

S+5s-+7s+3

则状态空间表达式为：

010'

%200+0u

，3-3-7.1.

Xf

y=[231]%2

"3.

相应的模拟结构图如下:

1-6

已知系统传递函数(l)W(S)=Q)W(s)=:靠;2

,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图

(本题答案方法不对，正确思路：使用教材P41方法，专门用来把传递函数转

化为约旦标准型)

6

Cl乙G

-6十*'对

aj.皿w工

。|二"S(WVfH)£5-)

7点〜g

7

解：（1）由“。）=妥荔可得到系统表达式为

OIOIJL）IOIDI

%1'010'xl'O-

x2001x2+0U

.x3.,0-3-4..x3..1.

xl-

y=[-10100]x2

.x3.

求得A的特征矢量

ri0'

pl=—1,p2=—3,p3=0

Ll.0.

则可构成变换矩阵r

-110'

T=[plp2p3]=-1-30

.190.

求得r的逆矩阵M

31-

o

23

1

M=0

3

1

0

3-

计算得到变换都各矩阵分别为

110'

7=001

.00-3.

1-

~2

1

M义B=

6

1

3-

CxT=[-20-400]

8

Irol

3

⑵")=^&=品+港+总+。

%

1011%2

=卜4-y3-]%3

，4

1-7

给定下列状态空间表达式

%-010'

%2-2-3+1u

33.-11.2.

%一

y=[001]%2

(1)画出其模拟结构图

9

(2)求系统的传递函数

s-10-

(2)"(s)=(s/-4)=2s+30

.1—1s+3.

\sl-A\=s(s+3)2+2(s+3)=(s+3)(s+2)(s+1)

\G+3)2s+30

(si-4)T----------------2(s+3)s(s+3)0

(s+3)(s+2)(s+l)

-s-5s—1(s+l)(s+2)

(s+3)25+300

________1________

眩(s)=(s/-A/8=—2(1v+3)s(s+3)01

(s+3)(s+2)(s+l)

-5-55-1(5+1)(5+2)2

(S+3)

________1________

s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(25+1)(5+3)

G+3)

W"(S)=C(S/-4)TB=[001s(s+3)

(s+3)(5+2)($+1)

(25+1)(5+3)

(2s+1)

=(s+2)(s+l)

1-8

求下列矩阵的特征矢量:

io

(1)A=tlI]

解：A的特征方程：

|A/—川二J卜入2_|_4a+5=0

L1A+ZJ

解之得：『2+j,A2=-2-j;

当『2+j・时，匚;「I册T+J)〉]

ri

解得：Pll=-jP21，令Pll=l，得&=[/

当;l2=-2-j时,

解得：P22=-jP12,令P12=l，得「2=_j

⑵A=[°6:I

解：A的特征方程：

-川二]，1L卜"2+5A+6-0

解之得：Ax=-2,A2=-3;

当『2时，口6

解得：P2i=-2pn，令pu=l,得Pi=[_；卜

当好一3时,二口闿7朗

解得：P22=-3pi2,令P12=1，得02=[)

•010-

(3)A=302

-12-7-6.

■A—10

解：A的特征方程\Xl-A\=-3A—2=A3+6a2+11A+6=0

.127A+6.

解之得：Ai=-1,A2=-2A=-3

ii

-0101FPii'Pll-

当>11=_1时，302P21—P21

lP31.

-12-7一6」.P31.

Pll-

解得：P21=P31="Pll令Pll=1得Pl=P21

*31.

Pll--1-

(或令Pll=-1,得Pi=P211)

P31..1.

010'P12-P12'

当为=-2时,302P22=-2P22

-12-7—6.P32..P32.

rPi2i2

解得：P22=-2P12.P32=|P12令P12=2得「2=P22=-4

P32]1

-pi2ir1'

(或令P12=1，得22=P22=-2)

P32」[I.

0101[P13'P13'

当；11=一3时，302P23-3P23

-12-7一6」辰3.P33.

P13'

解得：P23=-3P13，P33=3pi3令Pl3=1得P3=P23

.P33.

1-

-3

.3.

12-1-

(4)>1=-10-1

.445.

A-1-21-

解：A的特征方程|，一川=1A1=A3-6A2+15A-10=0

.—4—4A-5.

解之得：乙=1,%=哼=书亘

-12-1Pii-P11'

⑴当；U=1时，-10-1P21=P21

.445..P31.*31.

12

Ri「3

解得:令PH=3得Pi=P21-1

.P31..—2.

-12-1P12P12'

⑵当;I?=过，豆时,5+后j

-10P22P22

2

.44P32.P-32.

'3-3x/15；~

P12

2

解得:令P22=1得P22?

「2=1

-P32.

--4-

-12-1P13P13'

⑶当；（3=岑亘S-尺j

,时，—10-1P23P23

2

.445.-P33.*33.

-3+5-/15/

P13'

8

解得:令P23=1得P23?

「3=1

*33.

一4

1-9

试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。

--2

xl

(1)y=[io]x

-x2-1

解:A的特征方程-A\=^+42+3=0

解得a=-i或a=-3

-21匕1

当a=-i时,

1-2P21.

解之得P产P21,令％=1,得Pf]

当.3时『1"伊卜3例

1-2]\.P221俨22]

解之得％=引22,令P2尸1，得P2=[」J

-1

-

2

故T=[：、，L=1

-

2

J

1

则T-1/T=[-10]T'B2,CT=[11],

LU—3」-1

2

故约旦标准型为2=[%1_°]Z,y=[l1]Z

13

xl41-2

20xl31

x2102x2+27u

⑵；11*

.%3.1-13

120xr

x2

01

x3.

解：A的特征方程卬-A\=^-7A2+ISA-9=(A-3)(A-3)(A-1)=0

解得41,2=3，A3=l

41-211一

1rpBl1

当；li=3时特征向量:1021=3/1

1-13一

1'

解之得Pl2=P2尸P31,令Pll=l,得Pi=1

.1.

一41

"R22I

10B-l

当九=3时的广义特征向量,12=32l

1旦2

12

-1

Ll

o

解之得%=P22+1,o

一

"41B33-

-2

B一

当％=1时103一3

333

1-1LP3-

0'

解之得P"0,P23=2P33,令P33=l，的P3=2

.1.

110010

故T=102

.101.

31O--27'

31

LAT=030LB=49CT=

20

.001.-3-15.

-31O--27-

故约旦标准型为2=030X+49u

,001..-3-15.

14]

03i

14

1-10

1

已知两子系统的传递函数阵Wi(s)和W2(s)分别为：Wi(s)=s+1s+2

s+1

0

s+2.

11

“2⑸=£S+4

0

S+1

试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。

解：两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W(s)=W^s)“i(s),得

11jrii1S2+5S+7

(s+l)(s+3)(s+2)(s+3)(s+4)

W(s)=s；35+4s+2=

々00市

.(s+1)2(s+l)(s+2).

Ls+1J

两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W(s)=〃i(S)+02(S),得

11][11]2s+42s+6

(S+l)(S+3)(S+2)(s+4)

W(S)=S+1雷S+4二

1

0——0S+1

S+2」|_s+l.s+1s+2.

串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环

节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。

并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。

1-11

已知如图1-22(见教材47页)所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别

为％⑸=s；J唯⑸=[JJ]

s+2.

求系统的闭环传递函数阵。

解：

■11I

明⑸“21(S)=S+1/riois+i

I。卜。-1

15

11]s+21-

s+1s[1s

1+"1⑸叫⑸=/+s+1

1lo?]=s+3

0—

s+2」s+2一

-5+31s+1s+1-

+1sss+2s(s+3)

[/+〃l(S)〃2(S)]T=+2

+35+2s+2

0-—0

5+1Js+3-

~5+321_

s+15+2ss

W(s)=[/+M%(s)w,G)『WG)=：+1s

J3031

'+s

$+1」_s+2.

-s+31s+1-

_S+1(s+2)(s+1)ss+2s(s+3)

s+3

00

s+Ls+3

1-12

已知差分方程为：y(fc+2)+3y(k+1)+2y(fc)=2u(k+1)+3u(fc)

试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为

「「。

⑴。=I11(2)/7=1

解:由差分方程得传递函数弘(2)=麦三=士+会

1

化为并联型：x(k+1)=[-_02]x(k)+u(fc)

y(fc)=[ii]x(fc)

化为能控标准型:x(k+1)=[_°2，3卜(幻+”]”(♦)

y(k)=[32]x(fc)

16

第2章控制系统状态空间表达式的解

2-1

试证明同维方阵A和B,当AB=BA时，(A+B^、而当ABKBA时，

eAt*eBtH0(0)=

证明：由矩阵指数函数〃(t)=+At+"2t2+.：+^Aktk+…

可得：e(A+B)t=l+(A+B)t+捺(4+5)2产+5(A+8)3t3+…

，+(A4-B)t+-(A2+AB+BA+B2)t2+…

2!

+-(A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B3)t3+­••

3!

eA,eBt=(J+At+-A2t2+-A3t3+…)(/+Bt+-B2t2+-B3t3+…)

'2!3!八2!3!J

=/+(A+B)t+-+AB+BA+B2)t2+…

2!

+-(A3+A2B+ABA+AB2+BA2+BAB+B2A+B3)t3+­••

3!

将以上两个式子相减，得：

e(A+B)t_eAteBt-

11

—(BA-AB)t2+—(BA?+ABA+B2A+BAB-2A2B+2AB2)A3t3+…

e〃+B"-eA'eBt=0,gp

显然，只有当=时，才有e(A+B)t=eAt,eBt.

否则e(A+B)t^eAt.eBto

2-2

试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式(2.17),

式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。

证明：(1)式(2.17)

由矩阵指数函数u(t)=/(0=/+At+/2t2+卷43t3+...

可得:u(t)=/(£)=/+At+^A2t2+^A3t3+…

17

产。白.\心\

=配/纺Je"\

\£连。以J

即得证。

(2)式(2.18)

由矩阵指数函数〃(t)=/(t)=/+At+^A2t2+^A3t3+…

可知，若存在非奇异变换阵T,使得厂以7=71,则/=且汨；12，心…是

特征根

可知

国=。以tk\

V001)hk

eAt-1乙*=。记42°丁-1=

\次=0那"

(e人立\

TIe"tIT-i

即得证。

(3)式(2.19)

(入1

A10

2•・

若4为约旦矩阵，/=/=

,,1

0A1

\A

由矩阵指数函数u(t)=/(t)=/+At+"2t2+《屋t3+...

(入I1,，,0\

4二./.](*%

\oo…入J

18

丸

黑3A?3i1­.D

2AZ1・0、/

/0看3A23Aj--0

0飕2Aj•-0

2_3-00里3戏••0

必00A?..-0，A

.2A000-0

\

000••.A?/

0000•..加

23

/Mn矿nA-nA-o

fni-ni-

12

o翟-A.n-o

ni-nl

A1

oonA花n.n-o

=l

AHoooAIo

・...

将以上所求得的4、瞪、…、就代入(*)式，令武掩产=0,则

KI

第i块的状态转移矩阵:

dtpd2(p

dAi2!dA?

dtpa(m-2)0

00(m-2)!a邛-2

At-dXt

a(m-3)0

000•,(瓶-3)!祖产3

•♦

lo*•

00•­-°/

f.m-1.、

------------?%七\

/(1t：-^―严T\

2(7H-1)!2(m-1)!

f.m-2.

Ait

te...-..........:1产-2

0e4tt1

(m-2)!01:(m-2)!

....F二•1f.m-3

00001：(m-3)!

(m-3)!

I010

000)00oi)

即得证。

(4)式(2.20)

拉式反变换法证明:

(Jl)),得:

由/=Ca

s一(J

(si-A)=

3

s一。-o)

(s/-4尸

0)s—a

19

」一)入^+—一)\

2s-a-ja)y2jKs-a-ja)s—o+js/i

\-(-------------)i(--—+