第三章矩阵及其运算

1、第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现矩阵的生成矩阵的生成矩阵的修改矩阵的修改特殊矩阵特殊矩阵矩阵基本运算矩阵基本运算矩阵高级运算矩阵高级运算求解线性方程组求解线性方程组加加/减减/乘乘矩阵有数值矩阵有数值/符号符号/特殊矩阵特殊矩阵生成实数数值矩阵方法生成实数数值矩阵方法: (1) 由命令窗口直接输入由命令窗口直接输入 同一行用，或空格分隔同一行用，或空格分隔(个数不限个数不限) 不同行用；分隔或分行输入；不同行用；分隔或分行输入； 所有元素置于一所有元素置于一 内。内。 %例例3-1 x = 1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6 (2) 由由m文件生成文件生成 调用

2、时调用时 run (3) 由文本文件生成由文本文件生成 txt文件不含变量名称文件不含变量名称 文件名为矩阵变量名文件名为矩阵变量名 每行数值个数必须相等每行数值个数必须相等 调用：调用：load d:.部分扩充部分扩充 D=A;B C 部分删除部分删除 A(:,n)=;A(m,:)= 部分修改部分修改 A(m,:)=a b ; A(:,n)= a b 结构改变结构改变左右翻转左右翻转 fliplr(A) 上下翻转上下翻转 flipud(A) 逆时针旋转逆时针旋转rot90(A,k); 按指定维数翻转矩阵按指定维数翻转矩阵 flipdim(A,dim) 平铺矩阵平铺矩阵 B=repmat(A,

3、m,n) 矩阵的变维矩阵的变维 B(:)=A(:); B = reshape(A,m,n) 矩阵数据变换矩阵数据变换 取整数取整数 floor; ceil; round; fix 有理数有理数n,d=rat(A) 余数余数 B=rem (A, x) 常用特殊矩阵函数常用特殊矩阵函数 特殊矩阵的生成方法特殊矩阵的生成方法 1 单位阵单位阵 eye 2 1矩阵矩阵 ones 3 零矩阵零矩阵 zeros 4 随机阵随机阵 randn 5 魔方阵魔方阵 magic 6 对角阵对角阵 diag 7 三角阵三角阵 triu 8 Hilbert阵阵 hilb 9 托普利茲阵托普利茲阵 toeplitz 除

4、除/乘方乘方逆逆/范数范数/条件数条件数/秩秩除法运算除法运算 1 左除左除(),右除右除(/),点除点除 B./A x=Ab是方程是方程A*x =b的解的解 x=b/A是方程是方程x*A=b的解的解 A=1 0 3;4 13 6;7 4 9; b=4;7;1;C=Ab乘方运算乘方运算 1 矩阵乘方矩阵乘方 2 矩阵的数量乘方矩阵的数量乘方 . 转置转置/方阵方阵/矩阵函数矩阵函数矩阵函数矩阵函数 1 方阵的指数方阵的指数 expm(A) 2 矩阵的对数矩阵的对数 B=logm(A)； 3 方阵的函数方阵的函数 F = funm(A,fun) 4 矩阵的方根矩阵的方根 X = sqrtm(A)

5、 5 矩阵矩阵A的多项式的多项式 polyvalm(P, A)矩阵转置矩阵转置 方阵的运算方阵的运算 1 方阵行列式方阵行列式 d=det(A) 2 方阵的迹方阵的迹 trace 矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆 1 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 inv(A) 2 方阵的伪逆矩阵方阵的伪逆矩阵 pinv(A) 矩阵和向量的范数矩阵和向量的范数 1 向量的范数向量的范数 norm(X) 2 矩阵的范数矩阵的范数 norm(A) 矩阵的条件数矩阵的条件数 cond(A) 矩阵的秩矩阵的秩 rank (A) 矩阵元素个数矩阵元素个数 numel(A) 矩阵分解矩阵分解 1 Cholesky分解分解 chol

6、(X) 2 LU分解分解 lu(X) 3 QR分解分解 qr(A) 4 schur分解分解 schur(A) 5 实实Schur分解转化成复分解转化成复Schur U,T=rsf2csf(u,t) 6 特征值分解特征值分解 eig(A) 7 奇异值分解奇异值分解 svd (X) 8 特征值问题的特征值问题的QZ分解分解 qz(A,B) 9 海森伯格形式的分解海森伯格形式的分解 hess(A) 线性方程组一般求解可分为两类：线性方程组一般求解可分为两类： 求方程组唯一解求方程组唯一解(特解特解) 求方程组无穷解求方程组无穷解(通解通解) 通过系数矩阵的秩通过系数矩阵的秩r(rank)判断判断:

7、(n为未知变量个数为未知变量个数)） r =n，有唯一解；，有唯一解； rn，给出，给出LSM意义上的解。意义上的解。线性方程组无穷解线性方程组无穷解 = 齐次方程组通解齐次方程组通解+ 非齐次方程组非齐次方程组1个特解个特解一般方法一般方法 特殊方法特殊方法唯一解解法唯一解解法 1 矩阵除法解法矩阵除法解法 AX=b =X=Ab (方法方法1) 2 矩阵矩阵LU、QR和和cholesky分解解法分解解法齐次线性方程组通解解法齐次线性方程组通解解法非齐次线性方程组通解的解法非齐次线性方程组通解的解法 1,一般一般: AX=b通解通解: AX=0通解通解+ AX=b特解特解 2,rref法法特殊

8、线性方程组的解法特殊线性方程组的解法 1 LQ法法 2 双共轭梯度法双共轭梯度法 3 广义最小残差法广义最小残差法加、减加、减乘法乘法 1 两个矩阵相乘两个矩阵相乘 2 数乘数乘 3 点乘点乘 .* 4 内积内积dot(A,B) 5 叉积叉积cross(A,B) 6 混合积混合积 7 卷积卷积 conv(u,v) 8 反褶积反褶积deconv 9 张量积张量积kron (A,B) 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现矩阵主要有数值矩阵、符号矩阵、特殊矩阵。矩阵主要有数值矩阵、符号矩阵、特殊矩阵。本节主要介绍生成实数数值矩阵的几种方法。本节主要介绍生成实数数值矩阵的几种方法。3.

9、1.1 由命令窗口直接输入由命令窗口直接输入同一行中不同元素用逗号（，）或用空格符来分隔、同一行中不同元素用逗号（，）或用空格符来分隔、空格个数不限；不同行用分号（；）分隔或者分行输入空格个数不限；不同行用分号（；）分隔或者分行输入；所有元素置于一方括号（；所有元素置于一方括号（ ）内。）内。 %例例3-1 x = 1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6 3.1 矩阵的生成矩阵的生成_1第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.1.2 由由m文件生成文件生成 调用：调用： run 3.1 矩阵的生成矩阵的生成_2第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.1.

10、3 由文本文件生成由文本文件生成 txt文件中不含变量名称，文件名文件中不含变量名称，文件名x为矩阵变量名，每为矩阵变量名，每行数值个数必须相等。行数值个数必须相等。 调用：调用：load d:.第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.2.1 部分扩充部分扩充 3.2 矩阵的修改矩阵的修改_1%例3-4A=1 2 3 4; 5 6 7 8;B=eye(2);C=zeros(2);D=A;B C第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.2.2 部分删除部分删除 A = 1 2 3 4;5 6 7 8;A(:,2)=第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现

11、3.2.3 部分修改部分修改 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.2 矩阵的修改矩阵的修改_2 1 左右翻转左右翻转 fliplr(A) 2 上下翻转上下翻转 flipud(A) 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3 逆时针旋转逆时针旋转rot90(A,k); %例3-9A = 1 2 3 4;5 6 7 8;rot90(A)4 按指定维数翻转矩阵按指定维数翻转矩阵 flipdim(A,dim)%例3-10A = 1 2 3 4;5 6 7 8;B1=flipdim(A,1) B2=flipdim(A,2)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实

12、现5 平铺矩阵平铺矩阵 B=repmat(A,m,n) %例3-11A = 1 2; 3 4;B=repmat(A,3,2)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.2.5 矩阵的变维矩阵的变维1.使用使用“ ：”变维变维 格式：格式：B(:)=A(:) %例3-12A=1 2 5 4; 6 7 0 1 B=ones(4,2)B(:)=A(:)%例3-13A=1:8;B=reshape(A,2,4)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.2.6 矩阵元素的数据变换矩阵元素的数据变换 1 取整数取整数 floor; ceil; round; fix %例3-14A=

13、3*rand(2)B1=floor(A)B2=ceil(A)B3=round(A)B4=fix(A)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现2 有理数形式有理数形式格式：格式：n,d=rat (A) %例3-15A=rand(2)n,d=rat (A)3 余数余数 格式：格式：B = rem (A, x) %例3-16A=rand(2)B = rem (A, 2)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.3 特殊矩阵特殊矩阵3.3.1 常用特殊矩阵函数常用特殊矩阵函数 3.3.2 特殊矩阵的生成方法特殊矩阵的生成方法 1 单位阵单位阵 eye 2 1矩阵矩阵 ones

14、 3 零矩阵零矩阵 zeros 4 随机阵随机阵 randn 5 魔方阵魔方阵 magic 6 对角阵对角阵 diag 7 三角阵三角阵 triu 8 Hilbert阵阵 hilb 9 托普利茲阵托普利茲阵 toeplitz 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.4 矩阵基本运算矩阵基本运算_13.4.1 加、减运算加、减运算3.4.2 乘法运算乘法运算1 两个矩阵相乘两个矩阵相乘 2 矩阵的数乘矩阵的数乘 3 矩阵点乘矩阵点乘 .*4 内积内积dot(A,B)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现5 叉积叉积cross(A,B) 6 混合积混合积7 矩阵的卷积

15、和多项式乘法矩阵的卷积和多项式乘法 conv(u,v)w（k）=1( ) (1)kju j v kj %例3-39w=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1) %求多项式系数向量wP=poly2str(w,s) %将w表示成s的多项式第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现8 反褶积反褶积(解卷解卷)和多项式除法运算和多项式除法运算 q,r=deconv(v,u)表示多项式表示多项式v除以多项式除以多项式u，返回商多，返回商多项式项式q和余多项式和余多项式r 。%例3-40u = 1 2 3 4;v = 10 20 30;c = conv(u,v)q,r = deconv(

16、c,u)第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现9 张量积张量积 C=kron (A,B)%例3-41A=1 2;3 4;B=1 2 3;4 5 6;7 8 9;C=kron(A,B) 1111nmmna Ba BCABaBaB第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.4 矩阵基本运算矩阵基本运算_23.4.3 除法运算除法运算 1 左除（左除（）和右除（）和右除（/） 说明：说明：x=Ab是方程是方程A*x =b的解，而的解，而x=b/A是方程是方程x*A=b的解。的解。若若A非奇异，那么非奇异，那么Ab=inv(A)*b，b/A=b*inv(A)%例3-42A=1

17、 0 3;4 13 6;7 4 9;b=4;7;1;C=Ab第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现2 矩阵点除矩阵点除 B./A 3.4.4 乘方运算乘方运算 1 矩阵乘方矩阵乘方 格式：格式：Ap2 矩阵的数量乘方矩阵的数量乘方 .格式格式1：A.B格式格式2：A.p格式格式3：p.A %例3-43A=1 2 3;4 5 6;B=7 4 9;4 7 1;C=B./A 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.4 矩阵基本运算矩阵基本运算_33.4.5 矩阵函数矩阵函数 1 方阵的指数方阵的指数 expm(A) 2 矩阵的对数矩阵的对数 B=logm(A)； 3 方

18、阵的函数方阵的函数 F = funm(A,fun) 4 矩阵的方根矩阵的方根 X = sqrtm(A) 5 矩阵矩阵A的多项式的多项式 polyvalm(P, A)3.4.6 矩阵转置矩阵转置 3.4.7 方阵的运算方阵的运算 1 方阵的行列式方阵的行列式 d=det(A) 2 方阵的迹方阵的迹 trace 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.5 矩阵高级运算矩阵高级运算_13.5.1 矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆 1 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 inv(A) 2 方阵的伪逆矩阵方阵的伪逆矩阵 pinv(A) 3.5.2 矩阵和向量的范数矩阵和向量的范数 1 向量的范数向量的

19、范数 norm(X) 2 矩阵的范数矩阵的范数 norm(A) 3.5.3 矩阵的条件数矩阵的条件数 cond(A) 3.5.4 矩阵的秩矩阵的秩 rank (A) 3.5.5 矩阵元素个数的确定矩阵元素个数的确定 numel(A) 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.5 矩阵高级运算矩阵高级运算_23.5.6矩阵的分解矩阵的分解 1 Cholesky分解分解 chol(X) 2 LU分解分解 lu(X) 3 QR分解分解 qr(A) 4 schur分解分解 schur(A) 5 实实Schur分解转化成复分解转化成复Schur分解分解 U,T=rsf2csf(u,t) 6 特征值分解特征值分解 eig(A) 7 奇异值分解奇异值分解 svd (X) 8 特征值问题的特征值问题的QZ分解分解 qz(A,B) 9 海森伯格形式的分解海森伯格形式的分解 hess(A) 第第3章章 矩阵线性代数算法实现矩阵线性代数算法实现3.6 求解线性方程组求解线性方程组_1线性方程组的求解可分为两类：线性方程组的求解可分为两类： 求方程组唯一解求方程组唯一解(特解特解) 求方程组无穷解求方程组无穷解(通解通解)通过系数矩阵的秩通过系数矩阵的秩r