第6章-梁的内力

1、1建筑力学建筑力学 梁的计算简图梁的计算简图 梁的内力及其求法梁的内力及其求法 梁的内力图梁的内力图 弯矩、剪力与荷载集度间的关系弯矩、剪力与荷载集度间的关系 叠加法作剪力图和弯矩图叠加法作剪力图和弯矩图2建筑力学建筑力学起重机大梁起重机大梁3建筑力学建筑力学镗刀杆镗刀杆4车削工件车削工件建筑力学建筑力学5建筑力学建筑力学火车轮轴火车轮轴弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。6建筑力学建筑力学 工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，如图所示。工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，如图所示。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面。对称轴与梁的轴

2、线构成的平面称为纵向对称面。若作用在梁若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲平面弯曲。9.1 9.1 弯曲的概念弯曲的概念7建筑力学建筑力学9.2 9.2 梁的类型梁的类型 根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静静定梁定梁和和超静定梁超静定梁。静定梁又可分为。静定梁又可分为单跨静定梁单跨

3、静定梁和和多跨静定梁多跨静定梁。 （1 1） 简支梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座。简支梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座。（2 2） 外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出 支座之外。支座之外。（3 3） 悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。v 单跨静定梁按支座情况分三种类型：单跨静定梁按支座情况分三种类型：8建筑力学建筑力学9.3 9.3 梁的内力及其求法梁的内力及其求法v 剪力与弯矩剪力与弯矩1 1、计算梁支座反力、计算梁支座反力求解梁横截面内力的步骤如下：求解梁横截面内力的步骤如下：

4、以简支梁受集中荷载为例以简支梁受集中荷载为例( (如右图所如右图所示示) )，由平衡方程，由平衡方程 得得 ： 0AMaABFbLxlFaFB同理可得：同理可得：lFaFB9建筑力学建筑力学2 2、用截面法求剪力及弯矩、用截面法求剪力及弯矩 假想用截面假想用截面将梁截开，研究左段，由将梁截开，研究左段，由 ，得截面内必有竖向力得截面内必有竖向力Fs，且，且Fs=FA。再由。再由 得，横得，横截面上必有弯矩截面上必有弯矩M，且，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面。当左段梁若平衡，横截面上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位以及位于荷载作用

5、面的内力偶于荷载作用面的内力偶M。内力。内力Fs称梁横截面内的称梁横截面内的剪力剪力，而内力偶而内力偶M称为梁横截面内的称为梁横截面内的弯矩弯矩。0yF 0CMFAFsCAxM 若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，右段梁横截面上的内力值仍为右段梁横截面上的内力值仍为Fs和和M，指向与左段梁横截，指向与左段梁横截面上的内力指向相反。面上的内力指向相反。10建筑力学建筑力学v 剪力与弯矩的正负号规定剪力与弯矩的正负号规定正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动；正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动；负剪力：截面上的

6、剪力使研究对象作逆时针方向的转动。负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动。1、剪力的正负号、剪力的正负号正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状；正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状；负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状。负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状。2、弯矩的正负号、弯矩的正负号MMFsFsFsFsMM正剪力正剪力负剪力负剪力正弯矩正弯矩负弯矩负弯矩11建筑力学建筑力学v 计算指定截面的剪力、弯矩值计算指定截面的剪力、弯矩值（1） 计算支座反力。计算支座反力。（2） 用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一用假想的截

7、面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一 段为研究对象。段为研究对象。（3） 画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正 方向假设。方向假设。（4） 建立平衡方程，求解剪力和弯矩。建立平衡方程，求解剪力和弯矩。利用利用截面法截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：12例例简支梁如图所示，已知简支梁如图所示，已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面，试求截面上的剪上的剪力和弯矩。力和弯矩。解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力(以整个梁为研究对象以整个梁为研究对象)kNFB26kNFA40 0FMA 0F

8、MB041621PPFB062521AFPP解之得：解之得：FAFBFAFs（2）计算截面的内力）计算截面的内力(取左段为研究对象取左段为研究对象)kNFs4mkNM 441 0yF 0FM01sAFPF0211AFPM解之得：解之得：13l/2qABFBFAMMl/2C例例简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q和集中力偶和集中力偶M=ql2/4的作用，如图所示。求截面的作用，如图所示。求截面C的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力(以整个梁为研究对象以整个梁为研究对象) 0FMA 0FMB02MlqllFB022qlMlFA解之得：解之得：qlFB41qlFA43

9、 在求截面在求截面C的内力时，由于截面的内力时，由于截面C处有集中力偶，故截面处有集中力偶，故截面C稍左和稍左和稍右两截面的内力可能不同，故分别计算截面稍右两截面的内力可能不同，故分别计算截面C处左、右两个截面处左、右两个截面的内力值。的内力值。14FAFsLAMCLl/2CFAFsRAMCRl/2CM（2）计算截面）计算截面C稍左处的剪力稍左处的剪力FsL、弯矩、弯矩MCL。 0yF 0FMC02qlFFAsL0422lqllFMACL解之得：解之得：4qlFsL42qlMCL（3）计算截面）计算截面C稍右处的剪力稍右处的剪力FsR、弯矩、弯矩MCR。 0yF 0FMC02qlFFAsR04

10、22lqllFMMACR解之得：解之得：4qlFsR0CRM15建筑力学建筑力学(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧或右侧)梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等于该截面左侧于该截面左侧(或右侧或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和。代数和。(2) 外力对内力的符号规则：外力对内力的符号规则：左上右下左上右下(顺时针顺时针)，剪力为正；，剪力为正；左顺右逆左顺右逆(上凹下凸上凹下凸)，弯矩为正。，弯矩为正。(3) 代数和的正负，就

11、是剪力或弯矩的正负。代数和的正负，就是剪力或弯矩的正负。 v 计算剪力和弯矩的规律计算剪力和弯矩的规律169.4 9.4 梁的内力图梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图建筑力学建筑力学v 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的，如果将而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左端，端，x表示截面位置，则剪力和弯矩就随截面位置表示截面位置，则剪力和弯矩就随截面位置x的变化的变化而变化，剪力和弯矩是关于而变化，剪力和弯矩是关于x的函数，这个函数表达式就

12、是的函数，这个函数表达式就是剪力方程和弯矩方程，即：剪力方程和弯矩方程，即： xFFss xMM v 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 为了形象地表示剪力和弯矩随着截面位置的变化规律，为了形象地表示剪力和弯矩随着截面位置的变化规律，从而找出最大弯矩、最大剪力在梁上的位置，仿照轴力图从而找出最大弯矩、最大剪力在梁上的位置，仿照轴力图或扭矩图的做法，绘制出剪力、弯矩图。或扭矩图的做法，绘制出剪力、弯矩图。17建筑力学建筑力学绘制剪力图和弯矩图的步骤：绘制剪力图和弯矩图的步骤：(1)求支座反力：求支座反力：以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力

13、平衡方程求出支座反力。由静力平衡方程求出支座反力。(2)将梁分段：将梁分段：以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程：列出各段的剪力方程和弯矩方程：各段列剪力方程和弯矩方程时，各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一的正向可视计算方便而定，不必一致。致。(4) 画剪力图和弯矩图：画剪力图和弯矩图：先根据剪力方程先根据剪力方程(或弯矩方程或弯矩方程)判断剪力图判断剪

14、力图(或或弯矩图弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方或弯矩方程程)计算其相应截面的剪力值计算其相应截面的剪力值(或弯矩值或弯矩值)，然后描点并画出整个，然后描点并画出整个全梁的剪力图全梁的剪力图(或弯矩图或弯矩图)。18例例qFAFB下图为梁结构，在全梁上受分布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。下图为梁结构，在全梁上受分布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力 由于荷载对称，支座反力也对称，就有由于荷载对称，支座反力也对称，就有2qlFFBA （2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 坐

15、标原点取在左端坐标原点取在左端A点处，距原点处，距原点点A点处为点处为x处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为：处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为： 102xqxqlqxFxFAs 1022222xqxxqlqxxFxMA19（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图 由上式可见，由上式可见，Fs(x)是是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 M(x)是是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。如下图所示。的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。如下图所示。剪力图剪力图l/2l/2弯矩图弯矩图 从所作的剪力图和弯矩图可知，最大剪力发生在梁端而最大弯矩发生从

16、所作的剪力图和弯矩图可知，最大剪力发生在梁端而最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值分别是在剪力为零的跨截面，其值分别是Fmax=ql/2， Mmax=ql2/8。20下图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载下图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载P作用，试作此梁的剪力图和作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。例例解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力 由静力平衡方程求出支座反力，可得由静力平衡方程求出支座反力，可得PFAPlMA （2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 坐标原点取在左端坐标原点取在左端B点处，其剪点处，其剪力方程和弯矩方程为：力方程和弯矩方程为： lxPxFs0 lxPxx

17、M0（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图剪力图剪力图弯矩图弯矩图剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力；弯矩的最大值发生在固定端剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力；弯矩的最大值发生在固定端.21FAFB例例简支梁受集中力简支梁受集中力P作用如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。作用如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力 由静力平衡方程求出支座反力，可得由静力平衡方程求出支座反力，可得 0FMB0PblFA 0yF0PFFBAlPbFAlPaFB （2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程 梁在梁在C点处有集中荷载点处有集中荷载P作

18、用，作用，AC和和BC两段所受力不同，故需分段考虑，取梁两段所受力不同，故需分段考虑，取梁A端为坐标原点，端为坐标原点，解之得：解之得：22AC段：段：0AsFFlPbFFAs0 xFMAaxxlPbxFMA0 0FMC 0yF解之得：解之得：BC段：段： 0FMC 0yF0PFFAs0axPxFMAlPaPFFAslxaxlPaPaM解之得：解之得：（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图剪力图剪力图弯矩图弯矩图239.5 9.5 弯矩、剪力与荷载集度间的关系弯矩、剪力与荷载集度间的关系建筑力学建筑力学0yF 0dxxqxdFxFxFsss 设梁上有任意分布的荷载设梁上有任意分布的荷载 q(

19、x)，规定向上为正，规定向上为正，x轴坐标轴坐标原点取在梁的左端，在原点取在梁的左端，在x截面处取一微段梁截面处取一微段梁dx。由于梁整体。由于梁整体处于平衡状态，则微段梁也处于平衡状态。处于平衡状态，则微段梁也处于平衡状态。 由平衡方程由平衡方程 得，得， 几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。集度的大小。 xqdxxdFs（9-1）24建筑力学建筑力学 由平衡方程由平衡方程 得，得， 0CM 02dxdxxqdxxFxMxdMxMs略去二阶微量，得略去二阶微量，得 xFdxxdMs 几何意义：弯矩图上某点处的切线斜率等于

20、该点处剪力的大小几何意义：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。（9-2） 将式（将式（9-1）两端在）两端在AB梁段上积分，得梁段上积分，得 dxxqAFBFBAss 将式（将式（9-2）两端在）两端在AB梁段上几分，得梁段上几分，得 dxxFAMBMBAs 上式表明，若上式表明，若AB段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上弯矩段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上弯矩之差等于该段梁上剪力图的面积。之差等于该段梁上剪力图的面积。 上式表明，若上式表明，若AB段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上剪力段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上剪力之差等于该段梁上分布荷载的图形的面积。之差等

21、于该段梁上分布荷载的图形的面积。25建筑力学建筑力学 梁的荷载图、剪力图及弯矩图之间的规律：梁的荷载图、剪力图及弯矩图之间的规律：上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线载荷载荷0)(xq0Cq0CqFoM水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角oM斜直线斜直线无荷载无荷载剪力图剪力图弯矩图弯矩图(突变突变)26建筑力学建筑力学快速绘制剪力图和弯矩图快速绘制剪力图和弯矩图BDCAqabclFAFBFAFB剪力图剪力图结构图结构图弯矩图弯矩图FB cFA a27建筑力学建筑力学aaFF aFql结构图结构图剪力图剪力图弯矩图弯矩

22、图FFql-FF aM28qFAFB例例如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：以整梁为研究对象，由平衡方程得： 0FMA02454aaqaqaaFBqaFB43 0FMB0424aFaqaaaqAqaFA49解之得：解之得：（2）画剪力图）画剪力图 从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为A端、端、AB段、段、B端、端、BC段和段和C端。端。29A端有集中力端有集中力FA作用，剪力图向上突变：作用，剪力图向上突变：FA=9/4

23、qa；AB段有向下的均布荷载段有向下的均布荷载q作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负值，作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负值，FB左左=FA-q4a= - 7/4qaB端有向上的集中力端有向上的集中力FB作用，剪力图向上突变：作用，剪力图向上突变：FB=3/4qa；BC段没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：段没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC= - qa。（3）画弯矩图）画弯矩图从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为AB段和段和BC段。段。AB段：有向下的均布荷载段：有向下的均布荷载q作用，弯矩图为一条下凸的二次抛物线。作用，弯

24、矩图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有由于该段内有Fs=0的截面，需确定的截面，需确定MA、MB和极值弯矩。和极值弯矩。0AM2qaaqaMB 为计算极值弯矩，首先确定为计算极值弯矩，首先确定F=0的截面位置，距离左端的截面位置，距离左端A为为x的任的任意截面意截面F(x)=FA-qx，令，令F(x)=0，有：，有：9/4qa-qx=0，可得：，可得：x=9/4a；该；该截面上的弯矩，即为极值弯矩：截面上的弯矩，即为极值弯矩：Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和和MC。0CM3

25、0剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图31例例如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。F=20kNM=40kNFAFB解解：（：（1）计算支座反力）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：以整梁为研究对象，由平衡方程得： 0FMA06428qFMFBkNFB30 0FMB08246AFqMFkNFA30解之得：解之得：（2）画剪力图）画剪力图从左向右作图，全梁分为从左向右作图，全梁分为A端、端、AC段、段、C端、端、CD段、段、DB段和段和B端。端。32FA=30kNAC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左

26、左=FA右右=30kNC端：有向下的集中力端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变作用，剪力图向下突变F=20kNFC右右=(30-20)kN=10kNCD段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FD=FC右右=10kNDB段：有向下的均布荷载段：有向下的均布荷载q作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负，作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负，FB左左= - FB= - 30kNB截面：有向上的集中力截面：有向上的集中力FB作用，剪力图向上突变：作用，剪力图向上突变：FB=30kN。 （3）画弯矩图）画弯矩图AC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确

27、定段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MA和和MC。 MA=0 MC=FA2=302kNm=60kNmCD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和和MD左左。MD左左=FA4-F2=(304-202)kNm=80kNmD截面：有逆时针方向的集中力偶截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变作用，弯矩图向上突变M=40kNm。MD右右=MD左左-M=(80-40)kNm=40kNm33DB段：有向下的均布荷载段：有向下的均布荷载q作用，弯矩图为一条下凸的二次抛物线。由作用，弯矩图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有于该段内有Fs=0的截面，需确定的截面，需确定MD右右、MB和极值弯矩：和极值弯矩：MB=0为计算极值弯矩，首先确定为计算极值弯矩，首先确定F=0的截面位置。设的截面位置。设E截面的剪力截面的剪力Fs=0，由，由F图图中相似三角形的比例关系有：中相似三角形的比例关系有：10 30=DE EB，得，得 EB=3mE截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值 ME=FB3 - q31.5=(303-1031.5)kNm=45kNm剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图349