高中物理竞赛讲义：动量和动量守恒

1、高中物理竞赛讲义：动量和高中物理竞赛讲义：动量和动量守恒动量守恒Ip 0tFtmvmv 动量定理动量定理 动量定理的应用动量定理的应用 (1)遵从矢量性与独立性原理遵从矢量性与独立性原理(3)尽量取大系统与整过程尽量取大系统与整过程iiIp 如图所示，顶角为如图所示，顶角为2、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点，点，中心轴中心轴PO位于竖直方向，一质量为位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度的质点以角速度绕竖直轴沿圆锥内壁做匀绕竖直轴沿圆锥内壁做匀速圆周运动，已知速圆周运动，已知a、b两点为质点两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点运动所通过的圆周一

2、直径上的两点，求质点m从从a点经半周运动到点经半周运动到b点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量分析受力：分析受力：mgFNF向向运动半周动量变化量为运动半周动量变化量为22 pmvm r2cotmgmr 2cotgr 其中轨道半径其中轨道半径r由由 合外力冲量为合外力冲量为2cot Igm重力冲量为重力冲量为 GImgIIGIN弹力冲量为弹力冲量为 222cot NImgmab2OP 如图所示，如图所示，质量为质量为M的小车在光滑水平面上以的小车在光滑水平面上以v0向左匀速运动，一质量为向左匀速运动，一质量为m的小球从高的小球从高h处自由下落，与小车碰撞后，

3、反弹上升的高度仍为处自由下落，与小车碰撞后，反弹上升的高度仍为h设设Mm，碰撞时弹力碰撞时弹力FNmg，球与车之间的动摩擦因数为，球与车之间的动摩擦因数为，则小球弹起后的水平速度为，则小球弹起后的水平速度为A. B. 0 C. D. v02gh22gh Mh 小球与车板相互作用，小球动量发生变化：水平方向动量小球与车板相互作用，小球动量发生变化：水平方向动量从从0mvx，竖直方向动量大小不变，方向反向，对小球分别竖直方向动量大小不变，方向反向，对小球分别在竖直、水平方向运用动量定理。在竖直、水平方向运用动量定理。 设小球与车板相互作用时设小球与车板相互作用时间间t，小球碰板前速度，小球碰板前速

4、度vy，由，由2122yymvmghvgh 得得由动量定理由动量定理FfFNNxFtmv 水水平平方方向向22xvgh 22NFtmghmgh 直直方方向向竖竖mv0 如图所示，如图所示，滑块滑块A和和B用轻线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力用轻线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在作用在B上，使上，使A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动已知滑块一起由静止开始沿水平桌面滑动已知滑块A、B与水平桌与水平桌面之间的动摩擦因数均为面之间的动摩擦因数均为力力F作用时间作用时间t后后A、B连线断开，此后力连线断开，此后力F仍作用于仍作用于B试求滑块试求滑块A刚刚停住时，滑块刚刚停住时，滑块B的

5、速度大小？两滑块质量分别为的速度大小？两滑块质量分别为mA、mB A BF设绳断时设绳断时A、B速度为速度为V，绳断后，绳断后A运运动时间为动时间为T;则在则在t+T时间内对系统有时间内对系统有 ABBBFmmgtTm v 而在而在t时间内对系统有时间内对系统有 ABABFmmgtmmV 其中其中Vg T ABABFmmgTtg mm ABABBBFmmgFtmmvmg ABABFmmgtmm 如图所示，椭圆规的尺如图所示，椭圆规的尺AB质量为质量为2m，曲柄，曲柄OC质量为质量为m，而套管而套管A、B质量均为质量均为M已知已知OC=AC=CB=l；曲柄和尺的重心分别在其中点上；曲柄和尺的重心

6、分别在其中点上；曲柄绕曲柄绕O轴转动的角速度轴转动的角速度为常量；开始时曲柄水平向右，求：曲柄转成竖直向为常量；开始时曲柄水平向右，求：曲柄转成竖直向上过程中，外力对系统施加的平均冲量上过程中，外力对系统施加的平均冲量 CBAO 确定曲柄确定曲柄m、尺、尺2m、套管、套管A、B质质心的速度，确定质点系的动量变心的速度，确定质点系的动量变化，对系统运用动量定理化，对系统运用动量定理曲柄、尺的质心及套管曲柄、尺的质心及套管A、B的速度相关关系如的速度相关关系如示示CBAOt v曲柄质心速度曲柄质心速度2lv Cv尺质心速度尺质心速度cvl 套管套管A速度速度CvAnvAv套管套管B速度速度CvAn

7、v2m lp 动量动量动量动量2cpm l 2ABpMl 系统动量大小不变为系统动量大小不变为522pmMl 0ptp由动量定理，在从水平变成竖直过程中由动量定理，在从水平变成竖直过程中0tIppp 5222mMl 如图所示，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木如图所示，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木球质量为球质量为m，人和车总质量为，人和车总质量为M，已知，已知M m=16 1，人以速率，人以速率v沿水平面将木球沿水平面将木球推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率将球推向挡板设

8、木球与挡板相碰时无动能损失求人经过几次推木球后，再也将球推向挡板设木球与挡板相碰时无动能损失求人经过几次推木球后，再也不能接住木球？不能接住木球？对木球与载人小车这个系统，对木球与载人小车这个系统，动量从初时的动量从初时的0，到最终末动，到最终末动量至少为量至少为（M+m）v，是墙对是墙对木球冲量作用的结果木球冲量作用的结果： 2nmvmM v 172n 经经9次推木球后，再也接不住木球次推木球后，再也接不住木球 一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为l、质量为、质量为M开始时，开始时，绳的两端都固定在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图（甲）某时刻绳的一端松绳的两端都固定

9、在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图（甲）某时刻绳的一端松开了，缆绳开始下落，如图（乙），每个挂钩可承受的最大负荷为开了，缆绳开始下落，如图（乙），每个挂钩可承受的最大负荷为FN（大于缆绳（大于缆绳的重力的重力Mg），为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，），为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，Mg与与FN必须满足什必须满足什么条件？假定下落时，缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动么条件？假定下落时，缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动 甲甲乙乙x x ABC松开左缆绳松开左缆绳, ,自由下落自由下落h时，左侧绳速度为时，左侧绳速度为挂钩所受的力由两部分组成：一是承静

10、止悬挂在挂钩所受的力由两部分组成：一是承静止悬挂在钩下的那部分缆绳的重；一是受紧接着落向静止钩下的那部分缆绳的重；一是受紧接着落向静止部分最下端的绳元段的冲力部分最下端的绳元段的冲力F，挂钩不被拉断，挂钩不被拉断，这两部分力的总和不得超过钩的最大负荷这两部分力的总和不得超过钩的最大负荷 2gh 研究左边绳处于最下端的极小段绳元研究左边绳处于最下端的极小段绳元 x:受右受右边静止绳作用边静止绳作用,使之速度在极短时间使之速度在极短时间 t内减为内减为0,由动量定理由动量定理Ftm v 22ghv 因时间极短内因时间极短内,忽略重力冲量忽略重力冲量,元段的平均速度取元段的平均速度取222ghMFt

11、tghl hFMgl 当左边绳全部落下并伸下时当左边绳全部落下并伸下时, ,h=lFMg 挂钩不断的条件是挂钩不断的条件是2NFMg 0Lxnn 一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为现用手提起链的一端，使之以速度现用手提起链的一端，使之以速度v竖直地匀速上升，试求在从竖直地匀速上升，试求在从一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为L 小试身手题小试身手题3 3 图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长 Fx该段微元质量该段微元质量 mx

12、 设该元段从静止到被提起历时设该元段从静止到被提起历时t，那么竖直上升部分长那么竖直上升部分长x的的链条在手的拉链条在手的拉力力F、重力的冲量作用下，发生了末段、重力的冲量作用下，发生了末段微元动量的变化，由动量定理微元动量的变化，由动量定理: : gFxtm v 2g=xFxvvt 2gFvx2gvtv0,Ltv 力随时间线性变化，故可用算术平均力求整个过程手拉力力随时间线性变化，故可用算术平均力求整个过程手拉力F的总冲量：的总冲量： 212LIvgLv 22gLLvv 如图所示，水车有一孔口，水自孔口射出已知水面如图所示，水车有一孔口，水自孔口射出已知水面距孔口高距孔口高h，孔口截面积为，

13、孔口截面积为a，水的密度为，水的密度为若不计水车与地面的摩若不计水车与地面的摩擦，求水车加于墙壁的水平压力擦，求水车加于墙壁的水平压力 小试身手题小试身手题4 4h先求水从孔口射出的速度先求水从孔口射出的速度v212ghaxax v 对处于孔口的一片水由动能定理对处于孔口的一片水由动能定理: :2vgh 对整个水车，水平方向受墙壁的压力对整个水车，水平方向受墙壁的压力F，在时间，在时间 t内有质量为内有质量为 2ght a 的水获得速度的水获得速度 2gh由动量定理由动量定理: :22Ftght agh 2Fahg 水车加于墙壁的压力是该力的反作用力水车加于墙壁的压力是该力的反作用力 ,大小为

14、大小为2hFa g 逆风行船问题逆风行船问题: 如图如图,帆船在逆风的情况下仍能帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行设风向从只依靠风力破浪航行设风向从B向向A位于位于A点处的帆船要想在点处的帆船要想在静水中最后驶达目标静水中最后驶达目标B点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作用力是如何使船逆风前进达到目标的用力是如何使船逆风前进达到目标的AB风向风向设计如示航线设计如示航线 风向风向F风对帆风对帆F1F2航线航线船帆船帆AB 航向与风向成航向与风向成角角风吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射风吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射角折回风与帆

15、的碰撞，对帆面施加了一个冲量，角折回风与帆的碰撞，对帆面施加了一个冲量，使船受到了一个方向与帆面垂直的压力使船受到了一个方向与帆面垂直的压力F，这个力，这个力沿船身方向及垂直于船身方向的分力沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和和F2，F2正正是船沿航线前进的动力，是船沿航线前进的动力，F1则有使船侧向漂移的作则有使船侧向漂移的作用，可以认为被水对船的横向阻力平衡用，可以认为被水对船的横向阻力平衡风帆与船行方向成风帆与船行方向成角角只要适时地改变只要适时地改变船身走向，同时船身走向，同时调整帆面的方位，调整帆面的方位，船就可以依靠风船就可以依靠风力沿锯齿形航线力沿锯齿形航线从从A驶向驶向B m

16、v设帆面受风面积为设帆面受风面积为S，空气密度为，空气密度为，风速为，风速为v，在，在t时间内到达帆面并被反弹的空气质时间内到达帆面并被反弹的空气质量是量是F2F1F风对帆风对帆mvpm sinmvt S 反弹空气动量变化量反弹空气动量变化量 2sinsinpvt S v 222sinS vt 由动量定理由动量定理,帆帆(船船)对风的冲力对风的冲力 222sinFtS vt 帆帆(船船)受到的前进动力受到的前进动力F2为为 2222sinsinS vF 将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞! ! 船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面船沿航线

17、方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面与船行方向的夹角与船行方向的夹角适当，可使船获得尽大的动力适当，可使船获得尽大的动力设风筝面与设风筝面与水平成水平成角，风对风角，风对风筝的冲力为筝的冲力为F，其中作为风筝升，其中作为风筝升力的分量为力的分量为Fy，风筝面积为，风筝面积为S，右图给出各矢量间关系右图给出各矢量间关系 放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上升力，求风筝平面与水平面的夹角设风被风筝面反射后的方向遵升力，求风筝平面与水平面的夹角设风被风筝面反射后的方向遵守反射定律守反射定律 小试身手题小试身手题2 2mvmvFFysinmvt S

18、 mv风筝截面风筝截面 22sincos 90F tv S 222sincosyFv S 4222sincos22Sv 222222 1coscosSv 根据基本不等式性质根据基本不等式性质2212cos1 cos, cos3 当当时时max24 39yFFSv 由动量定理：由动量定理： 反冲模型反冲模型 Mm系统总动量为零系统总动量为零平均动量守恒平均动量守恒221122kEmvMV在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有 1212mmSSvvtt :11220m vm v21120m vm v11220mmm sm s 常以位移表示速度常以位移表示速度须

19、更多关注须更多关注“同一性同一性”与与“同时同时性性”“同一性同一性”:取同一惯性参考系描述取同一惯性参考系描述m1、m2的动量的动量“同时性同时性”:同一时段系统的总动量守恒同一时段系统的总动量守恒OxS人人 一条质量为一条质量为M、长为、长为L的小船静止在平静的的小船静止在平静的水面上，一个质量为水面上，一个质量为m的人站立在船头如果不计水的人站立在船头如果不计水对船运动的阻力，那么当人从船头向右走到船尾的时对船运动的阻力，那么当人从船头向右走到船尾的时候，船的位移有多大？候，船的位移有多大？设船设船M对地位移为对地位移为x，以向右方向为正，用，以向右方向为正，用位移表速度，由位移表速度，

20、由 0m LxMxxmLmM “”表示船的位移方向向左表示船的位移方向向左人对船的位移人对船的位移向右取正向右取正船对地的位移船对地的位移未知待求未知待求运算法则运算法则 如图所示，质量为如图所示，质量为M、半径为、半径为R的光滑圆环静止的光滑圆环静止在光滑的水平面上，有一质量为在光滑的水平面上，有一质量为m的小滑块从与的小滑块从与O等高处等高处开始无初速下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大开始无初速下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大小为小为_R设圆环位移大小为设圆环位移大小为x，并以向左为正并以向左为正:mMORxR 0m RxMx 有有mxRMm 即即“”表示环位移方向向表示环位移方

21、向向右右mRMm 气球质量为气球质量为M，下面拖一条质量不计的软梯，质量为，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m的人站在软梯上端距地面高为的人站在软梯上端距地面高为H，气球保持静止状态，求人能安全，气球保持静止状态，求人能安全到达地面，软梯的最小长度；若软梯长为到达地面，软梯的最小长度；若软梯长为H，则人从软梯下端到上，则人从软梯下端到上端时距地面多高？端时距地面多高？HL-汽球相对人汽球相对人上升高度即绳上升高度即绳梯至少长度梯至少长度 0mHMLH以向下为正，用位移表速度以向下为正，用位移表速度LMmHM H人上升高度人上升高度h以向上为正，用位移表速度，以向上为正，用位移表速度， 0mhM

22、Hh hMHMm 如图所示浮动起重机（浮吊）从岸上吊起如图所示浮动起重机（浮吊）从岸上吊起m=2 t的重物开始时起重杆的重物开始时起重杆OA与竖直方向成与竖直方向成60角，当转到杆与竖直角，当转到杆与竖直成成30角时，求起重机的沿水平方向的位移设起重机质量为角时，求起重机的沿水平方向的位移设起重机质量为M=20 t，起重杆长，起重杆长l=8 m，水的阻力与杆重均不计，水的阻力与杆重均不计 水平方向动量守恒，设右为正，起重机位移水平方向动量守恒，设右为正，起重机位移x60 30 0sin60sin30Mxm lx0.266mx 重物对起重机水重物对起重机水平位移平位移x设右为正，梯形木块位移设右

23、为正，梯形木块位移x，系统水平方向动量守恒：系统水平方向动量守恒： 1230cos60mM xmhxmhx 0.15mx 如图所示，三个重物如图所示，三个重物m1=20 kg， m2=15 kg，m3=10 kg，直角梯形物块，直角梯形物块M=100 kg三重物由一绕过两个定滑轮三重物由一绕过两个定滑轮P和和Q的绳的绳子相连当重物子相连当重物m1下降时，重物下降时，重物m2在梯形物块的上面向右移动，而在梯形物块的上面向右移动，而重物重物m3则沿斜面上升如忽略一切摩擦和绳子质量，求当重物则沿斜面上升如忽略一切摩擦和绳子质量，求当重物m1下下降降1m时，梯形物块的位移时，梯形物块的位移 小试身手题

24、小试身手题1 1m1m2m3MPQ60 M典型情景：典型情景：vmmvmmMvMMmvmMFmFvm2201122mmtmFsmvmv 2201122MMtMFsMvMv -2222001111()()2222MmmtMtMF ssmvMvmvMv “一对力的功一对力的功”用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算用其中一个力的大小与两物体相对位移的乘积来计算 模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力模型特征：由两个物体组成的系统，所受合外力为零而相互作用力为一对恒力规律种种：规律种种：动力学规律动力学规律 两物体的加速度大小与质量成反比两物体的加速度大小与质量

25、成反比运动学规律运动学规律 两个作匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题两个作匀变速运动物体的追及问题或相对运动问题动量规律动量规律 系统的总动量守恒系统的总动量守恒能量规律能量规律 力对力对“子弹子弹”作的功等于作的功等于“子弹子弹”动能的增量：动能的增量：力对力对“木块木块”作功等于作功等于“木块木块”动能增动能增量：量：一对力的功等于系统动能增量：一对力的功等于系统动能增量：图象描述图象描述vmvmtvMtdtv0t01tanfm 1tanfM tv0vmvMmMmvMvMm 1tanfm 1tanfM d图象描述图象描述vmdtv0t01tanfm 1tanfM tv0vmmmvMm

26、1tanfm 1tanfM smmmvMm t0 v 如图所示，长为如图所示，长为L的木板的木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为总质量为1.5M，静止在光滑水平面上，有一质量为，静止在光滑水平面上，有一质量为M的小木块的小木块B，从木板，从木板A的左端的左端开始以初速度开始以初速度v0在木板在木板A上滑动，小木块上滑动，小木块B与木板与木板A间的摩擦因数为间的摩擦因数为小木块小木块B滑到滑到木板木板A 的右端与挡板发生碰撞已知碰撞过程时间极短，且碰后木板的右端与挡板发生碰撞已知碰撞过程时间极短，且碰后木板B恰好滑到木恰好滑到木板板A的左端就停止滑动

27、求：若的左端就停止滑动求：若 在小木块在小木块B与挡板碰撞后的运动过程中，与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板摩擦力对木板A做正功还是做负功？做多少功？讨论木板做正功还是做负功？做多少功？讨论木板A和小木块和小木块B在整个运动在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的？如果不可能，说明过程中，是否有可能在某段时间里相对地面运动方向是向左的？如果不可能，说明理由；如果可能，求出能向左滑动，又能保证木板理由；如果可能，求出能向左滑动，又能保证木板A和小木块和小木块B刚好不脱离的条刚好不脱离的条件件203,160vLg 这是典型的这是典型的“子弹打木块子弹打木块”模型：模型：

28、A、B间相互作用着一间相互作用着一对等大、反向的摩擦力对等大、反向的摩擦力Ff=Mg而系统不受外力，它的变化在而系统不受外力，它的变化在于过程中发生一系统内部瞬时的相互碰撞小木块于过程中发生一系统内部瞬时的相互碰撞小木块B与挡板碰与挡板碰撞前、后及整个过程均遵从动量守恒规律；撞前、后及整个过程均遵从动量守恒规律；A、B两者加速度两者加速度大小与质量成反比；碰撞前木块大小与质量成反比；碰撞前木块“追追”木板，碰撞后则成木木板，碰撞后则成木板板“追追”木块木块 .LBAv0系统运动系统运动v-t图图t1t1+ t2v0BAVLABL23ABggaa 由系统全过程动量守恒由系统全过程动量守恒 01.

29、5MvMM V 025Vv AV由图象求出由图象求出B与档板碰后时间与档板碰后时间t2: 2222115223ABLttaatg 265tLg 得得碰后板碰后板A的速度的速度VA:223AVVg t 02v 由动能定理由动能定理, ,摩擦力在碰后过程中对木板摩擦力在碰后过程中对木板A做的功做的功2200121.5254fvWMv 2027400Mv B能有向左运动的阶段而又刚好不落下能有向左运动的阶段而又刚好不落下A板应满足两个条件：板应满足两个条件：一是一是B与挡板碰后与挡板碰后B速度为负速度为负: 02205BVvg t 一是一对摩擦力在一是一对摩擦力在2L的相对位移上做的功不大于系统动能

30、的增量，即的相对位移上做的功不大于系统动能的增量，即 : 220011 52222 25mglMvMv 20320vgL 2200231520Lvvgg 当当时时木块木块B可在与挡板碰撞后的一段时间内相对可在与挡板碰撞后的一段时间内相对地面向左运动并刚好相对静止在板地面向左运动并刚好相对静止在板A的左端的左端 推证两光滑物体发生弹性碰撞时，接近速度与分离推证两光滑物体发生弹性碰撞时，接近速度与分离速度大小相等，方向遵守速度大小相等，方向遵守“光反射定律光反射定律”，即入射角等于反射角，即入射角等于反射角. 如图如图，设小球与平板均光滑，小球与平板发生完全弹性碰撞，设小球与平板均光滑，小球与平板

31、发生完全弹性碰撞，木板质量为木板质量为M，小球质量为，小球质量为m，沿板的法向与切向建立坐标系，沿板的法向与切向建立坐标系，设碰撞前，板的速度为设碰撞前，板的速度为V，球的速度为，球的速度为v，碰撞后，分别变为，碰撞后，分别变为Vv 和和xy0Vv两者发生完全弹性碰撞，系统同时满足动量与动能守恒两者发生完全弹性碰撞，系统同时满足动量与动能守恒：xxxxMVmvMVmv 2222222211112222xyxyxyxyM VVm vvM VVm vv yyyyVVvv xxxxM VVm vv 22222222xyxyxyxyM VVVVm vvvv 两式相除两式相除xxxxVVvv xxxxv

32、VvV 球与木板的接近速度与分离速度大小相等球与木板的接近速度与分离速度大小相等 方向方向: tantanyyyyxxxxvVvVvVvV 弹弓效应弹弓效应 如图，质量为如图，质量为m的小球放在质量为的小球放在质量为M的大球顶上，从高的大球顶上，从高h处释放，紧挨着处释放，紧挨着落下，撞击地面后跳起所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴落下，撞击地面后跳起所有的碰撞都是完全弹性碰撞，且都发生在竖直轴上小球弹起可能达到的最大高度？如在碰撞后，物体上小球弹起可能达到的最大高度？如在碰撞后，物体M处于平衡，则质量处于平衡，则质量之比应为多少？在此情况下，物体之比应为多少？在此情况下，物体m升起

33、的高度为多少？升起的高度为多少？h大球刚触地时两球速度大球刚触地时两球速度v均为均为2vgh 大球与地完全弹性碰撞大球与地完全弹性碰撞,速度变为速度变为2vgh 相对大球相对大球, ,小球以小球以2v速度向下接近大球速度向下接近大球,完完全弹性碰撞后以全弹性碰撞后以2v速度向上速度向上与大球分离与大球分离! !小球与大球碰撞后对地速度变为小球与大球碰撞后对地速度变为3 2Vgh 对小球对小球, ,由机械能守恒由机械能守恒 213 22mmghmgH 9mHh Mm当当时时若碰后大球处于平衡若碰后大球处于平衡, 则则2Mvmvmv 3:Mm 212 22mghmgH 由由4Hh 如图所示，如图所

34、示，AB部分是一光滑水平面，部分是一光滑水平面，BC部分是倾角为部分是倾角为（90 ）的光滑斜面（）的光滑斜面（90时为竖直面）一条伸直的、时为竖直面）一条伸直的、 长为长为l的匀质光滑的匀质光滑柔软细绳绝大部分与柔软细绳绝大部分与棱垂直地静止在棱垂直地静止在AB面上，只是其右端有极小部分处在面上，只是其右端有极小部分处在BC面面上，于是绳便开始沿上，于是绳便开始沿ABC下滑下滑. 取取90，试定性分析细绳能否一直贴着，试定性分析细绳能否一直贴着ABC下滑直至绳左端到达下滑直至绳左端到达？事实上，对所给的角度范围（？事实上，对所给的角度范围（90 ），）， 细绳左细绳左端到端到棱尚有一定距离时

35、，细绳便会出现脱离棱尚有一定距离时，细绳便会出现脱离ABC约束（即不全部紧贴约束（即不全部紧贴ABC）的）的现象试求该距离现象试求该距离x小试身手题小试身手题5 5ABC 9090 x1TlxxxxFmgmgllll 细绳贴着细绳贴着ABC下滑，到达下滑，到达B处的绳元水平速度处的绳元水平速度越来越大，这需要有更大的向左的力使绳元的水越来越大，这需要有更大的向左的力使绳元的水平动量减为零，但事实上尚在水平面上的绳段对平动量减为零，但事实上尚在水平面上的绳段对到达到达B处的绳元向左的拉力由力的加速度分配法处的绳元向左的拉力由力的加速度分配法 可知随着下落段可知随着下落段x增大增大,FT先增大后减

36、小先增大后减小!细绳做不到一直贴着细绳做不到一直贴着ABC下滑直至绳左端到达下滑直至绳左端到达BC当当时时, ,24TmlmgxF ABC 设有设有x长的一段绳滑至斜面时绳与棱长的一段绳滑至斜面时绳与棱B B间恰无作用，此时绳的间恰无作用，此时绳的速度设为速度设为v，则由机械能守恒：，则由机械能守恒： xvvFTmgFT21sin22xxmgmvl singxlv 考察处在考察处在B处的微元绳段处的微元绳段m受力受力: coscos1TTvtFFtmvl 微元段微元段 m在水平冲量作用下水平动量由在水平冲量作用下水平动量由 mv变为变为 mvcos sinTlxxFmgll 由动量定理由动量定

37、理 其中其中 2xl 即细绳左端到即细绳左端到B棱尚有一半绳长的距离时，细棱尚有一半绳长的距离时，细绳便会出现不全部紧贴绳便会出现不全部紧贴ABC的现象的现象 ! 质量为质量为0.1 kg的皮球，从某一高度自由下落到水平地板上，皮的皮球，从某一高度自由下落到水平地板上，皮球与地板碰一次，上升的高度总等于前一次的倍如果某一次皮球上升最大高度球与地板碰一次，上升的高度总等于前一次的倍如果某一次皮球上升最大高度为为1.25 m时拍一下皮球，给它一个竖直向下的冲力，作用时间为时拍一下皮球，给它一个竖直向下的冲力，作用时间为0.1 s， 使皮球与使皮球与地板碰后跳回前一次高度求这个冲力多大？地板碰后跳回

38、前一次高度求这个冲力多大？ 小试身手题小试身手题6 6球与地碰撞恢复系数球与地碰撞恢复系数 0.640.81e 某一次，皮球获得的初动能某一次，皮球获得的初动能 22kFtEm 落地时速度由落地时速度由 2221121222FtFtmvmghvghmm起跳时速度起跳时速度 22vgh 则则2222gheFtghm 代入数据得代入数据得 22250.80.1250.1F N N3.75F 一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度一袋面粉沿着与水平面倾斜成角度60的光滑的光滑斜板上，从高斜板上，从高H处无初速度地滑下来，落到水平地板上袋与地板之处无初速度地滑下来，落到水平地板上袋与地板之间的动摩擦因数间的动

39、摩擦因数0. 7，试问袋停在何处？如果，试问袋停在何处？如果H2 m,45，=，袋又将停在何处？，袋又将停在何处？ 小试身手题小试身手题7 7 本题要特别关注从斜板到水平地板的拐点，袋的本题要特别关注从斜板到水平地板的拐点，袋的动量的变化及其所受的摩擦力与支持力冲量情况动量的变化及其所受的摩擦力与支持力冲量情况 在在=0.7 = 60情况下情况下pcos60 xpp sin60ypp 60 2pmgH 到水平板时两个方向动量减为零所需冲量可由动量定理确定：到水平板时两个方向动量减为零所需冲量可由动量定理确定： f xxN yyF tpF tp cos60sin60 xytptp 30.7 3

40、1 竖直分量先减为零竖直分量先减为零! 竖直分量减为竖直分量减为0 0时时, ,水平动量设为水平动量设为px,则由动量定理则由动量定理yxxppp 2sin452cos45xmgHmgHp 2xHpmg 袋将离开斜板底端，在水平地板滑行袋将离开斜板底端，在水平地板滑行S后停止，由动能定理后停止，由动能定理 228xpmgHmgSm m m0.54HS 得得袋将停在水平地板上距斜板底端处袋将停在水平地板上距斜板底端处 一球自高度为一球自高度为h的塔顶自由下落，同时，另一完全的塔顶自由下落，同时，另一完全相同的球以速度相同的球以速度 自塔底竖直上抛，并与下落的球发生正碰自塔底竖直上抛，并与下落的球

41、发生正碰若两球碰撞的恢复系数为若两球碰撞的恢复系数为e，求下落的球将回跃到距塔顶多高处？，求下落的球将回跃到距塔顶多高处？小试身手题小试身手题8 82vgh 两球相对速度（亦即接近速度）两球相对速度（亦即接近速度）2gh到两球相遇历时到两球相遇历时2htgh 此时两球速率相同此时两球速率相同 122ghvv上球下落了上球下落了2112hgt 4h 2121vvevv 由牛顿碰撞定律由牛顿碰撞定律 碰后两球分离速度碰后两球分离速度 212vvegh 两球完全相同两球完全相同212ghvve 设回跳高度距塔顶设回跳高度距塔顶H,由机械能守恒由机械能守恒 2224ghhegH 214Hhe 如图所示

42、，定滑轮两边分别悬挂质量是如图所示，定滑轮两边分别悬挂质量是2m和和m的重物的重物A和和B，从静止开始运动从静止开始运动3秒后，秒后，A将触地将触地(无反跳无反跳)试求从试求从A第一次触地后：经过多少时第一次触地后：经过多少时间，间，A将第二次触地？经过多少时间系统停止运动？将第二次触地？经过多少时间系统停止运动？ 小试身手题小试身手题9 9整个系统一起运动时整个系统一起运动时332mgmgagm 初时质量为初时质量为2m的物块的物块A离地高度离地高度 m m2132151htgA A着地后，绳松，着地后，绳松，B B以初速度以初速度 v1=at1=10m/s竖直上抛竖直上抛经经s s122v

43、g 落回原处并将绳拉紧落回原处并将绳拉紧! !此瞬时此瞬时A、B相互作用，相互作用，B被拉离地面，由动量守恒被拉离地面，由动量守恒 2m11122333vatmvmvv 此后，两者以此后，两者以v2为初速度、为初速度、a=g/3作匀变速运动（先反时针匀减作匀变速运动（先反时针匀减速、后顺时针匀加速），回到初位置即速、后顺时针匀加速），回到初位置即A第二次触地须经时间第二次触地须经时间ms s212223/3vvtag 则则A的第一、二次着地总共相隔的第一、二次着地总共相隔 111224vvvgggs s4 第二次着地时两物块的速度第二次着地时两物块的速度1223vvv A A再次被拉离地面时两

44、物块的速度由再次被拉离地面时两物块的速度由 A A着地后，绳松，着地后，绳松，B B以初速度以初速度 v1/3竖直上抛竖直上抛, ,经经123vg落回原处落回原处并将绳拉紧并将绳拉紧! !11332333vvmmvv 此后，两者以此后，两者以v3为初速度、为初速度、a=g/3作匀变速运动（先反时针匀减作匀变速运动（先反时针匀减速、后顺时针匀加速），速、后顺时针匀加速），A第三次触地须经时间第三次触地须经时间31122223/33vvvtagg 则则A的第二、三次着地总共相隔的第二、三次着地总共相隔 11123224333vvvggg 以此类推，到第以此类推，到第n次着地时次着地时 124lim

45、3nnvTg 21134lim113nn s s6 自开始运动到最终停止共用自开始运动到最终停止共用s s09Tt 如图所示，质量为如图所示，质量为m1、m2的物体，通过轻绳挂在双斜面的两的物体，通过轻绳挂在双斜面的两端斜面的质量为端斜面的质量为m，与水平面的夹角为，与水平面的夹角为1和和2，整个系统起初静止，求放开后斜，整个系统起初静止，求放开后斜面的加速度和物体的加速度斜面保持静止的条件是什么？忽略所有摩擦面的加速度和物体的加速度斜面保持静止的条件是什么？忽略所有摩擦 小试身手题小试身手题1010m1m12m2 设斜面加速度为设斜面加速度为a，而物体对斜面的加速度为，而物体对斜面的加速度为

46、a0 aa0a2a0a1Xa 在所设坐标方向上在所设坐标方向上a 1012020coscosmaamaama 由系统水平方向动量守恒由系统水平方向动量守恒 对对m1、m2分别列出动力学方程分别列出动力学方程m1aTm1gN1m2aTm2gN211111 0sincosT mgmama a 由上三式解得由上三式解得 11221122211221212coscossinsincoscosmmmmgmmmmm mm 22222 0sincosm gT mama 1211220211221212sinsincoscosmmmmmgammmmmmm 而而 221122121122121122121122

47、11122sinsincoscos2coscoscoscoscosmmmmmmmmmm mmgmmmmm mam 22112212112212112222112212122sinsincoscos2coscoscoscoscosmmmmmmmmmm mmgmmmmm mam 当当a=0，即，即 1122sinsin0mm 斜面静止！斜面静止！ 时时1221sinsinmm 小滑块小滑块A A位于光滑的水平桌面上，位于光滑的水平桌面上，小滑块小滑块B处在位于桌面上的处在位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长，并用长L、不可伸长、无弹性的轻绳相连，如、不可伸

48、长、无弹性的轻绳相连，如图开始时图开始时A、B间的距离为间的距离为L/2，A、B间连线与小槽垂直今给滑块间连线与小槽垂直今给滑块A一冲击，一冲击，使其获得平行于槽的速度使其获得平行于槽的速度v0，求滑块，求滑块B开始运动时的速度开始运动时的速度 小试身手题小试身手题1111v0BA当轻绳刚拉直时滑块当轻绳刚拉直时滑块A速度由速度由v0变为变为vA，速度增量沿绳方向，速度增量沿绳方向，滑块滑块B速度设为速度设为vB，沿槽；各，沿槽；各速度矢量间关系如图速度矢量间关系如图, 其中其中vn表表示示A对对B的转动速度的转动速度 vnvAvBvABvB沿槽方向系统动量守恒：沿槽方向系统动量守恒： 0co

49、sBAmvmvmv 又由图示矢量几何关系有又由图示矢量几何关系有 ： 30 30 0sin 30sin30Avv v0 sin60sin 60ABvv 003tan3BBvvvv 0cos3sinAvv 0013tanBvvv 037Bvv 000313BBBvvvvvv 00034BBvvvvv 如图所示，将一边长为如图所示，将一边长为l、质量为、质量为M的正方形平板放在劲度系的正方形平板放在劲度系数为数为k的轻弹簧上，另有一质量为的轻弹簧上，另有一质量为m（mM）的小球放在一光滑桌面上，桌面离）的小球放在一光滑桌面上，桌面离平板的高度为平板的高度为h如果将小球以水平速度如果将小球以水平速度

50、v0抛出桌面后恰与平板在中点抛出桌面后恰与平板在中点O处作完全处作完全弹性碰撞，求弹性碰撞，求: 小球的水平初速度小球的水平初速度v0应是多大？应是多大？ 弹簧的最大压缩量是多大？弹簧的最大压缩量是多大？ 小试身手题小试身手题1212Mkv0Omh设球对板的入射速度设球对板的入射速度v方向与竖直成方向与竖直成，大小即平抛运动末速度大小即平抛运动末速度 v2gh 2cosghv 平抛运动初速度平抛运动初速度 tantan24lh 而而 02tanvgh 则则024lghhv 根据弹性碰撞性质，设球与板碰后速度变为根据弹性碰撞性质，设球与板碰后速度变为v，板速度为板速度为V ，球离开板时对板的速度

51、大小为，球离开板时对板的速度大小为v，方向遵守反射定律，矢量关系如图示：方向遵守反射定律，矢量关系如图示： vxv yv v V sincosxyvvvvV 由图示关系由图示关系 由动能守恒由动能守恒 2222111222xymvm vvMV 222111sincos222m vm vVM V 2cosmVvMm 得得22mghMm 此后板在运动中机械能守恒，可得板向下运动此后板在运动中机械能守恒，可得板向下运动 221122kxMV 22mMghMmxk 则弹簧总压缩量为则弹簧总压缩量为 22MgmMghkM mkl 物体以速度物体以速度v0=10m/s从地面竖直上抛，落地时速度从地面竖直上

52、抛，落地时速度vt=9 m/s，若运动中所受阻力与速度成正比，即，若运动中所受阻力与速度成正比，即f=kmv，m为物体的为物体的质量，求物体在空中运动时间及系数质量，求物体在空中运动时间及系数k 小试身手题小试身手题1313本题通过元过程的动量定理本题通过元过程的动量定理, ,用微元法求得终解用微元法求得终解! ! 本题研究过程中有重力冲量与阻力冲量本题研究过程中有重力冲量与阻力冲量, ,其中阻其中阻力冲量为一随时间按指数规律变化的力力冲量为一随时间按指数规律变化的力! !设上升时间为设上升时间为T,取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了取上升过程中的某一元过程：该过程小球上升了T/n(n )时间，速度从时间，速度从vi减少为减少为vi+1，各元过程中的阻力可视为不变为，各元过程中的阻力可视为不变为fiiFkmv iiFmgkmv 合外力合外力根据动量定理，对该元过程有根据动量定理，对该元过程有 1iiiTmgkmvm vvn 即即1iiivvTgkvn 对该式变形有对该式变形有 1iiigkvgkvkTgkvn 1igkv 11iigkvkTgkvn 11iigkvkTgkvn 在各相同的上