数值计算方法chap2 插值法

1、 第第2 2章章 插值法插值法X X1 12 23 3y1？9X X1 11.51.52 22.62.63 34 4y1?4?9?解决实际问题解决实际问题1. 1. 给定函数表如图所示，如何获得给定函数表如图所示，如何获得x=0.25x=0.25时的函数值？时的函数值？2. 2. 非均匀采样时，如何求频谱？非均匀采样时，如何求频谱？2.1 2.1 引言引言问题的提出问题的提出函数解析式未知函数解析式未知, ,通过实验观测得到的一组数据通过实验观测得到的一组数据, , 即在某即在某个区间个区间 a, ba, b上给出一系列点的函数值上给出一系列点的函数值 y yi i= f(x= f(xi i)

2、 )函数表函数表能否根据给定的函数表做一个既能反映函数能否根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)f(x)的特性，的特性，又便于计算的简单函数又便于计算的简单函数P(x)P(x)，用其近似，用其近似f(x)f(x)？y=f(x)y=p(x)xx0 x1x2xnyy0y1y2yn定义定义设函数设函数 在区间在区间a,ba,b上有定义，其已知在点上有定义，其已知在点上的值上的值若存在一简单函数若存在一简单函数P(x)P(x)，使得，使得成立，就称成立，就称P(P(x x) )为为f( f(x x) )的的插值函数插值函数，点，点x xi i称为称为插值节点插值节点，包含插值节点的区间包含插值节点

3、的区间 a a, ,b b 称为称为插值区间插值区间，求插值函数，求插值函数P(P(x x) )的方法称为插值法。若的方法称为插值法。若P(P(x x) )是次数不超过是次数不超过n n的代数多的代数多项式，即项式，即其中其中a ai i为实数，就称为实数，就称P(P(x x) )为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。分段插值分段插值-分段多项式；三角插值分段多项式；三角插值-三角多项式三角多项式插值点在区间插值点在区间 a a, ,b b 之内称为之内称为内插内插、否则为、否则为外插外插( )yf x01naxxxb01,nyyy( ),0,1,

4、iiP xyin01( )nnP xaa xa x几何意义几何意义 y y=P(x) y=f(x) y1 yn x0 x1 xn x 定理定理1 n1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明证明: : 设设n n次多项式次多项式 0111)(axaxaxaxPnnnn是函数是函数 在区间在区间 a a, , b b 上的上的n+1n+1个互异的节点个互异的节点 ( (i=0,1,2i=0,1,2, ,n ),n )上的插上的插值多项式值多项式, ,则求插值多项式则求插值多项式P(x)P(x)的问题就归结为求它的系数的问题就归结为求它的系数 ( (i=0,1,2

5、,i=0,1,2,n ),n )。 )(xfy ixia由插值条件由插值条件: (: (i=0,1,2,i=0,1,2,n),n),可得可得 )()(iixfxp)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnxfaxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa方程组的系数矩阵方程组的系数矩阵称为范德蒙德（称为范德蒙德（VandermondeVandermonde）矩阵，由于）矩阵，由于x xi i互异，互异，因此，方程组的解因此，方程组的解a a0 0,a,a1 1,a,an n存在且唯一。存在且唯一。200021112111nnnnnnxxxxxxAx

6、xx110det()0niijijAxx例例 已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)在节点上满足在节点上满足 x x x x0 0 x x1 1 x x2 2 y y y y0 0 y y1 1 y y2 2 求二次多项式求二次多项式 p p(x) (x) = a= a0 0 + a + a1 1x + ax + a2 2x x2 2 使之满足使之满足 p p(x(xi i) ) = y= yi i i=0, 1, 2i=0, 1, 2解解: : 用待定系数法用待定系数法, , 将各节点值依次代入所求多项式将各节点值依次代入所求多项式, , 得得解上述方程解上述方程, , 将求出的将求出的a

7、 a0 0, a, a1 1, a, a2 2 代入代入p(x) = ap(x) = a0 0 + a + a1 1x + ax + a2 2x x2 2 即得所求二次多项式即得所求二次多项式 201202012120122aa xa xyaa xa xyaa xa xy拉格朗日（拉格朗日（ L LAGRANGEAGRANGE ）插值）插值线性插值线性插值线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数f(x)f(x)在两个互异的点的值，在两个互异的点的值，现要求用线性函数现要求用线性函数 近似地代替近似地代替f(x)f(x)。选。选择参数择参数a

8、a和和b, b, 使使 。称这样的。称这样的线性函数线性函数P(x)P(x)为为f(x)f(x)的线性插值函数的线性插值函数 。kx1kx11(),()kkkkyf xyf xbaxxp)( )( )(,1)iip xf xik k y=f(x) p(x)=ax+b A(x.k,f(x.k) B(x.k+1,f(x.k+1) 11( )()kkkkkkyyp xyxxxx1111( )kkkkkkkkxxxxp xyyxxxx1111( ),( )kkkkkkkkxxxxlxlxxxxx1()1,()0kkkklxlx111()0,()1kkkklxlx 称为线性插值基函数。称为线性插值基函数

9、。于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例：已知例：已知 ， ，求，求)(0)(1)(kikixlkiik( )klx1( )klx11( )( )( )kkkkp xlx ylx y10100 11121 115y 称为线性插值基函数。称为线性插值基函数。于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合 例：已知例：已知 ， ，求，求解：这里解：这里x xk k=100,y=100,yk k=10,x=10,xk+1k+1=121,y=121,yk+1k+1=11=11，利用线性插值，利用线性插值)(

10、0)(1)(kikixlkiik( )klx1( )klx11( )( )( )kkkkp xlx ylx y10100 11121 115y1110012110010121100121)(xxxp714.10)115(115py抛物线插值抛物线插值-二次插值二次插值设已知设已知f(x)f(x)在三个互异点在三个互异点x xk-1k-1，x xk k，x xk+1k+1的函数值的函数值y yk-1k-1，y yk k，y yk+1k+1，要构造次数不超过二次的多项式，要构造次数不超过二次的多项式，使得满足二次插值条件：使得满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过这就是二次插值问

11、题。其几何意义是用经过3 3个点个点 的抛物线的抛物线 近似代替曲线近似代替曲线 , ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。如下图所示。因此也称之为抛物插值。 0122)(axaxaxP( )(1, ,1)iiP xyikk k1111(,),(,),(,)kkkkkkxyxyxy)(xPy )(xfy y y=L2(x) yk-1 yk yk+1 y=f(x) O xk-1 xk xk+1 x 同样采用基函数方法同样采用基函数方法此时基函数此时基函数l l是二次函数。由函数的两个零点，列出是二次函数。由函数的两个零点，列出系数则由第系数则由第3 3个点确定个点确定于是：于是：同理：同理：111

12、111()1,()0,1()1,()0,1,1()1,()0,1,kkkjkkkjkkkjlxlxjk klxlxjkklxlxjkk11( )()()kkklxA xxxx1111()()kkkkAxxxx11111111111111()()( )()()()()( )()()()()( )()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xx xlxxxxxx xx xl xxxxxx xx xlxxxxx11111111111111()()()()( )()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx xx xx xx xP xyyxxxxxxxxx xx

13、 xyxxxx拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式两个插值点可求出一次插值多项式两个插值点可求出一次插值多项式, ,而三而三个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1n+1个时个时, ,也就是通过也就是通过n+1n+1个不同的已知点个不同的已知点来构造一个次数为来构造一个次数为n n的代数多项式的代数多项式P(x)P(x)。与推导抛物插与推导抛物插值的基函数类似值的基函数类似, ,先构造一个特殊先构造一个特殊n n次多项式次多项式 的的插值问题插值问题, ,使其在各节点使其在各节点 上满足上满足 即即由条件 ( )知, 都是n次 的零点,故可设

14、), 1 , 0)(,(niyxii)(xliix0)(, 0)(, 1)(, 0)(, 0)(110nkkkkkkkkxlxlxlxlxl)(0)(1)(kikixlkiik0)(ikxlnkkxxxxx,1110)(xlkki )()()()(1110nkkkkxxxxxxxxxxAxl其中其中 为待定常数。由为待定常数。由条件条件 , ,可求得可求得 kA1)(kkxlkA1)(0nkjjjkkxxA于是于是 nkjjjkkxxA0)(1代入上式代入上式, ,得得nkjjjkjnkjjjknkjjjkxxxxxxxxxl000)()()(称称 为关于基点为关于基点 的的n n次插值基函数

15、次插值基函数( (i=0,1,i=0,1,n),n) )(xlkix以以n+1n+1个个n n次基本插值多项式次基本插值多项式为基础为基础, ,就能直接写出满足插值条件就能直接写出满足插值条件的的n n次代数插值多项式。次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数事实上，由于每个插值基函数都是都是n n次值多项式次值多项式, ,所以他们的线性组合所以他们的线性组合), 1 , 0)(nkxlk), 2 , 1 , 0()()(nixfxPiinnyxlyxlyxlxP)()()()(1100), 1 , 0)(nkxlknkkkyxlxP0)()(是次数不超过是次数不超过n n次的多项式次的多

16、项式 , , 称形称形如上式如上式的插的插值多项式为值多项式为n n次次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式。并记为。并记为 )(xLn(2.10) )()()( 101nnxxxxxxx 引入记号引入记号)()()()( 1101nkkkkkkknxxxxxxxxx 则得则得(2.11) )()()( )( 011 nkknknknxxxxyxL 于是于是例例 已知已知y=f(x)的函数表的函数表 求线性插值多项式求线性插值多项式, 并计算并计算x=1.5 的值的值 X 1 3 y 1 2解解: 由线性插值多项式公式得由线性插值多项式公式得例例 已知已知y=f(x)的函数表的函数表 求线性插

17、值多项式求线性插值多项式, 并计算并计算x=1.5 的值的值 X 1 3 y 1 225.1)5.1()5.1()1(2121311313)(10100101pfxxxyxxxxyxxxxxp解解: 由线性插值多项式公式得由线性插值多项式公式得例例 已知已知x=1, 4, 9 x=1, 4, 9 的平方根值的平方根值, , 用抛物插值公式用抛物插值公式, , 求求 7例例 已知已知x=1, 4, 9 x=1, 4, 9 的平方根值的平方根值, , 用抛物插值公式用抛物插值公式, , 求求 ( (x x0 0 x x1 1)( )(x x0 0 x x2 2) )( (x x x x1 1)(

18、)(x x x x2 2) )y y0 0+ +( (x x1 1 x x0 0)( )(x x1 1 x x2 2) )( (x x x x0 0)( )(x x x x2 2) )y y1 1+ +( (x x2 2 x x0 0)( )(x x2 2 x x1 1) )( (x x x x0 0)( )(x x x x1 1) )y y2 2p p2 2( (7 7) ) = =x x0 0=1, x=1, x1 1=4, x=4, x2 2=9=9y y0 0=1, y=1, y1 1=2, y=2, y2 2=3 =3 (14)(19)(14)(19)(74)(79)(74)(79)

19、* * 1 1+ +(41)(49)(41)(49)(71)(79)(71)(79)* * 2 2+ +(91)(94)(91)(94)(71)(74)(71)(74)* * 3 3= = 2.72.7p p2 2( (x x) ) = =7例例 求过点求过点(0,1)(0,1)、(1,2)(1,2)、(2,3)(2,3)的三点插值多项式的三点插值多项式例例 求过点求过点(0,1)(0,1)、(1,2)(1,2)、(2,3)(2,3)的三点插值多项式的三点插值多项式13) 12)(02 () 1)(0(2) 21)(01 () 2)(0(1) 20)(10 () 2)(1()(xxxxxxxx

20、p解解: :由由Lagrange Lagrange 插值公式插值公式（给定的三个点在一条直线上）（给定的三个点在一条直线上）212021012101200201021)()()()()()()(yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxP例例 已知已知f (x)f (x)的观测数据的观测数据 x 0 1 2 4 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 f (x) 1 9 23 3 构造构造LagrangeLagrange插值多项式插值多项式例例 已知已知f (x)f (x)的观测数据的观测数据 x 0 1 2 4 x 0 1 2 4 f (x) 1 9 23 3 f (

21、x) 1 9 23 3 构造构造LagrangeLagrange插值多项式插值多项式解解 四个点可构造三次四个点可构造三次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式: :基函数为基函数为 1478781) 40)(20)(10() 4)(2)(1()(230 xxxxxxxlxxxxxxxl38231) 41)(21)(01 () 4)(2)(0()(231xxxxxxxl2324541) 42)(12)(02() 4)(1)(0()(xxxxxxxl12181241) 24)(14)(04() 2)(1)(0()(233LagrangeLagrange插值多项式为插值多项式为 )(

22、)(303xlyxLkkk)(3)(23)(9)(3210 xlxlxlxl12144541123xxx为便于上机计算为便于上机计算, ,常将拉格朗日常将拉格朗日插值多项式改写插值多项式改写成成 nknkiiikiknxxxxyxL00)( 例例 已知已知f(x)f(x)的观测数据的观测数据 x 1 2 3 4x 1 2 3 4f(x) 0 -5 -6 3f(x) 0 -5 -6 3构造插值多项式构造插值多项式34)()()()()(2333221100 xxyxlyxlyxlyxlxp 例例 已知已知f(x)f(x)的观测数据的观测数据 x 1 2 3 4x 1 2 3 4f(x) 0 -5

23、 -6 3f(x) 0 -5 -6 3构造插值多项式构造插值多项式 解解: : 四个点可以构造三次插值多项式四个点可以构造三次插值多项式, , 将将数数据代入据代入插值公式，有插值公式，有 这个例子说明这个例子说明p(x)p(x)的项数不超过的项数不超过n+1n+1项，但可以有项，但可以有 缺项。缺项。 ttxxxxjkj j = 0 , ,k -1 ,k + 1 , ,n 输 入 (xi,yi), n i= 0 ,1 , ,n 0 y 0 t 1 = t k = n ? 输 出y y + t yk y k + 1 k n y 拉格朗日插值算法实现拉格朗日插值算法实现 x x0 0 x x1

24、1 x xi ix xi+1 i+1 x xn-1 n-1 x xn ny=f(x)y=f(x)y=Ly=Ln n(x(x) )a ab b在插值区间在插值区间 a, ba, b 上用上用插值多项式插值多项式Ln(xLn(x) )近似代替近似代替f(x), f(x), 除了在插值节点除了在插值节点x xi i上没有误上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。差外，在其它点上一般是存在误差的。若记若记 R Rn n(x(x) = f(x) - ) = f(x) - L Ln n(x(x) ) 则则 R Rn n(x(x) ) 就是用就是用 L Ln n(x(x) ) 近似代替近似代替 f(x)

25、f(x) 时的截断误差时的截断误差, , 或称或称插值余项插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。我们可根据后面的定理来估计它的大小。插值余项与误差估计插值余项与误差估计定理定理2 2 设设f f( (x x) )在在 a,a, b b 有有n n+1+1阶导数，阶导数， x x0 0, , x x1 1, , x xn n 为为 a a, , b b 上上n n+1+1个互异的节点个互异的节点, , L Ln n( (x x) )为满足为满足 L Ln n( (x xi i) = ) = f f( (x xi i) () (i i=1,2, , =1,2, , n n) ) 的的n n

26、次插值多项式，那么对于任何次插值多项式，那么对于任何x x a a, , b b 有有 插值余项插值余项其中其中1010( )()()()(),nnniixxxxxxxxxa bx且依赖于(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn证明：证明：其中，其中，K(K(x x) )是与是与x x有关的待定函数。有关的待定函数。把把x x看成看成 a a, ,b b 上的一个固定点，作函数上的一个固定点，作函数可知可知 在在 a a, ,b b 上连续，上连续， 在在( (a a, , b b) )内存在。内存在。又又 在点在点x x0 0, ,x x1 1,x xn

27、 n及及x x处均为零，故处均为零，故 在在 a a, , b b 上有上有n n+2+2个零点。个零点。根据罗尔根据罗尔(Rolle)(Rolle)定理，定理， 在在 的两个零点间至少有一个的两个零点间至少有一个零点，故零点，故 在在( (a a, , b b) )内至少有一个零点，内至少有一个零点，记为记为 ，使，使 证毕证毕011()0( )( )()()()( )( )nknnnR xR xK x xxxxxxK xx01( )( )( )( )()()()nntf tL tK x txtxtx( )( )nt(1)( )nt( ) t( ) t( ) t( ) t(1)( )nt(

28、, )a b(1)(1)( )( )(1)!( )0nnfnK x(1)( )( )(1)!nfK xn对于线性插值，其误差对于线性插值，其误差为为对于抛物插值（二次插值），其误差为对于抛物插值（二次插值），其误差为1101011( )( )( )( )()(),2R xf xL xfx x x xx x22012021( )( )( )( )()()(),6R xf xL xfx x x xx xx x(1)11n 1max|( )|, |( )|( )|, (1)!nna x bnnfxMMR xxn 若则特别的，当特别的，当 时，由于时，由于当当k=0k=0时，有时，有若被插值函数次数小

29、于等于若被插值函数次数小于等于n n，由于，由于即插值多项式就是即插值多项式就是f(x)f(x)( )()kf xxkn(1)00( )0( )( )0( ),0,1,nnkkniiinkkiiifxR xxx l xx l xxkn0( )1niil x(1)( )0nfx( )( )( )0nnR xf xL x例例 已知已知 =100, =121, =100, =121, 用线性插值估计用线性插值估计 在在x=115x=115时的时的截断误差截断误差xxf)(0 x1x例例 已知已知 =100, =121, =100, =121, 用线性插值估计用线性插值估计 在在x=115x=115时

30、的时的截断误差截断误差xxf)(0 x1x解解: : 由插值余项公式知由插值余项公式知 )()(21)(1xfxR 2341)( xxf)(81)(10231xxxxxR因为因为 )121115)(100115(81)115(231R23121,100max)121115)(100115(81)121115)(100115(1081301125. 010615813例例 已知已知x x0 0=100, x=100, x1 1=121, x=121, x2 2=144,=144,当用抛物插值求当用抛物插值求 在在x=115x=115时的近似值，估计时的近似值，估计其截断误差其截断误差 ( )f

31、xx例例 已知已知x x0 0=100, x=100, x1 1=121, x=121, x2 2=144,=144,当用抛物插值求当用抛物插值求 在在x=115x=115时的近似值，估计时的近似值，估计其截断误差其截断误差 0017. 010)144115)(121115)(100115(161)115()144)(121)(100(161)()()()(61)(52252210) 3(2RxxxxxRxxxxxxfxR解解( )f xx0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()115(115) 10.772756x x x xx x

32、x xx x x xp xyyyxx xxxx xxxx xxp=2583)( xxf例例 设设f f( (x x)=x)=x4 4, , 用余项定理写出用余项定理写出节点节点 - -1, 0, 1, 21, 0, 1, 2的三次插值多项式的三次插值多项式 例例 设设f f( (x x)=x)=x4 4, , 用余项定理写出用余项定理写出节点节点 - -1, 0, 1, 21, 0, 1, 2的三次插值多项式的三次插值多项式 解解: : 根据余项定理根据余项定理(4)0123432( )( )( )()()()()4!( )( 1 )( 1 )(2)( ) 22ff x pxx x x x x

33、 x x xxpx xxxxpxx xx 证明证明 ，其中，其中 是关于点是关于点 的插值基函数。的插值基函数。证明：利用公式证明：利用公式可得可得520()( )0iiixx l x( )il x015,x xx0( ),0,1,nkkiiix l xxkn552220055522000222()( )(2) ( )( )2( )( )20iiiiiiiiii iiiiixx l xxx xx l xx l xxxl xxl xxxx例：设例：设 ，试证：，试证：其中其中证明：通过两点（证明：通过两点（a a,f(,f(a a) )）及（）及（b b,f(,f(b b) )）的线性插值）的线

34、性插值于是于是2 , fC a b22( )( )1max( ) ( )()()8a x bf bf af xf axabaMba 2max( )a x bMfx 1( )( )( )( )()f bf aL xf axaba1222( )( )max( ) ( )()( )max( )( )max()()21max ()()()28a x ba x ba x ba x bf bf af xf axabaff xL xxa xbMxa xbbaM 例：例：P28P28例例2 2 自习自习编程编程例：例：P48-2P48-2解决实际问题解决实际问题根据以下测量值，建立插值多项式，并计算根据以下测

35、量值，建立插值多项式，并计算x x=2.3=2.3时时的函数值。的函数值。拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，使用方便。拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。是否能构造一种具有袭性，还造成计算量的浪费。是否能构造一种具有承袭性承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。能

36、否将一能否将一个不高于个不高于n n次的多项式次的多项式, , 表示成表示成)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx的线性组合的线性组合, , 也就是说也就是说, , 把把满足插值条件满足插值条件p(xi)=yi ( (i=0,1,n)=0,1,n)的的n n次插值多项式次插值多项式, , 写成如下形式写成如下形式)()()()(110102010nnxxxxxxaxxxxaxxaa其中其中a ak k ( (k k=0,1,2,=0,1,2,n n) )为待定为待定系数系数2.3 2.3 均差与牛顿插值多项式均差与牛顿插值多项式插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生

37、成其中其中a a1 1是函数是函数f( f(x x) )的差商（的差商（因变量之差与自变量之差之比叫差商）。）。显然满足显然满足利用利用可得可得a a2 2是函数是函数f f的的“差商的差商差商的差商”0010100010100,( )()()()1,( )()()( )()nP xf xf xf xnP xf xxxP xa xxxx212012( )( )()()nP xP xaxxxx200211()(),()()P xf xP xf x222()()P xf x2010201022122202121()()()()()()()()f xf xf xf xxxxxP xP xaxxxxx

38、x一般化，已知一般化，已知f f在插值点在插值点x xi i上的值上的值f( f(x xi i) )，求，求n n次插值多项式次插值多项式P Pn n( (x x) )满足条件满足条件P Pn n( (x xi i)=f()=f(x xi i), ), i i=1,2,n,=1,2,n,则：则：由线性代数知识，任何一个不高于由线性代数知识，任何一个不高于n n次的函数，可表示为次的函数，可表示为的线性组合。的线性组合。01001( )()()()nnnP xaa xxaxxxx)()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx均差及其性质均差及其性质定义：称定义：称 为函数为函

39、数f f关关于点于点x x0 0，x xk k的一阶均差。的一阶均差。称为称为f( f(x x) )的二阶均差。一般地，称的二阶均差。一般地，称为为f f的的k k阶均差阶均差（差商）。（差商）。000()(),kkkfxfxfxxxx001011,kkkfxxfxxfxxxxx02011011,kkkkkkfxxxfxxxfxxxxx均差表均差表xif(xi)fxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2x0f(x0)x1f(x1)fx0,x1x2f(x2)fx1,x2fx0,x1,x2x3f(x3)fx2,x3 fx1,x2,x3fx0,x1,x2 ,x3fx1,x2

40、- fx0,x1x2 x0例例 求求 f f( (x xi i)= )= x x3 3在节点在节点 x x=0, 2, 3, 5, 6=0, 2, 3, 5, 6上的各阶均差值上的各阶均差值xif(xi) fxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2fxi,xi+1,xi+2 ,xi+200283275125621640208 1923827 493527125 9156125216 503419 10251949 14364991 105510 1261014 例例 求求 f f( (x xi i)= )= x x3 3在节点在节点 x x=0, 2, 3, 5, 6=0, 2, 3, 5,

41、6上的各阶均差值上的各阶均差值解解: : 计算得如下表计算得如下表01100100111() , ,()()()()()()()()()nnknnkkikinki knkkkkkkkkknf xf x xxxxxxf xxxxxxxxxxx其中性质性质1 1 函数函数 f f( (x x) ) 的的 n n 阶均差阶均差 f f x x0 0, , x x1 1 , , , , x xn n 可可由由函数函数值值 f f ( (x x0 0), ), f f ( (x x1 1 ), , ), , f f ( (x xn n ) ) 的的线性组合线性组合表示表示, , 且且均差的性质均差的性质

42、100101100110: . ( )()()( )1 , , .f xf xf xf xkf x xxxxxxx证明数学归纳法当时命题成立mmjjmjjjjjjjmmmjmjjjjjjjmxxxxxxxxxfxxxfxxxxxxxxxfxxfmk10 1102010111010 )()()()(, )()()()(, , ,1和即命题成立时设1102001, mmmmmmxxxxfxxxfxxfm知阶差商定义和上面两式由121011120201211011)()()( 1)()()( 1)()()(11)( mmmmmmmmmmmmmjmmmjjjjjjmjmjjxxxxxxxfxxxxxx

43、xfxxxxxxxxxxxxxxxf. . )()()()(0110归纳法完成时命题成立于是，当mkxxxxxxxxxfmjmjjjjjjjfx0 , x1=fx1 , x0f(x1)- f(x0)x1 x0f(x0)- f(x1)x0 x1=性质性质2 2 均差具有均差具有对称性对称性, ,即在即在k k阶差商中阶差商中 任意交换两个节点任意交换两个节点 和和 的次序的次序, ,其值不变。其值不变。 例如例如kxxxf,10ixjx0110,xxfxxf120021210,xxxfxxxfxxxf01102120, ,kkkf x xxf x x xxf x xx x性质性质3 3 若若f

44、fx, x0, x1 , , xk 是是 x 的的 m 次多次多项式项式, , 则则 fx, x0, x1 , xk , xk+1是是 x 的的 m-1 次多项式次多项式证：由差商定义证：由差商定义 右端分子为右端分子为 m 次多项式次多项式, , 且当且当 x x = = x xk+1 k+1 时时, , 分分子为子为0 ,0 ,故分子含有因子故分子含有因子 x xk+1 k+1 x x，与分母相与分母相消后，右端为消后，右端为mm-1 -1 次多项式。次多项式。011010111, , , , , , , , , ,kkkkkkf x xx xf x xx xf x xx xxxx性质性质

45、4 4 若若 f(x)是是n次多项式次多项式, , 则则f x, x0, x1 , , xn 恒恒为为0 0 证：证： f (x)是是n次多项式次多项式，则则f x, x0 是是 n-1次次多项式多项式, , f x, x0, x1 是是 n-2 次多项式次多项式, , 依次递推依次递推 ，f x, x0, x1 , , xn-1 是是零次多项式，零次多项式，所以所以 fx,x0,x1 ,xn 0若若f( f(x x) )在在 a a, ,b b 上存在上存在n n阶导数，且节点阶导数，且节点则则n n阶均差与导数的关系为阶均差与导数的关系为( )01( ), , , !nnff x xxa

46、bn01, , nx xxa b牛顿插值多项式牛顿插值多项式借助均差的定义借助均差的定义如何一般化？根据均差定义，将如何一般化？根据均差定义，将x x看成看成 a a, ,b b 上一点，上一点，可得可得100100010( )( ),()(),()P xP xf x xxxf xf x xxx2101201001001201( )( ),()()(),(),()()P xP xf x x xxxxxf xf x xxxf x x xxxxx00000101101010( )() ,() , ,() , ,()nnnnf xf xf x xxxf x xf x xf x x xxxf x xx

47、f x xxf x xxxxP Pn n(x)(x)即牛顿均差插值多项式即牛顿均差插值多项式可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，可以看出，牛顿插值公式计算方便，增加一个插值点，只要多计算一项，而只要多计算一项，而P Pn n(x)(x)的各项系数恰好是各阶均的各项系数恰好是各阶均差值，很有规律。差值，很有规律。插值余项插值余项R Rn n(x)(x)与与等价等价00100120101011011( )(),(),()(),()()() ,( )( )( )nnnnnnf xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxf x x xxxP xR x0010012

48、0101011011( )(),(),()(),()()()( )( )( ) ,( )nnnnnnnP xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxR xf xP xf x x xxx(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxn例例 已知已知 x = 1, 4, 9 x = 1, 4, 9 的平方根值，求的平方根值，求7xifxifxi,xi+1fxi,xi+1,xi+2114293P2(7)=1+(7-1)*0.33333+ (7-1)*(7-4)*(-0.01667)= 2.6999233333. 01412 2 . 04923 01667. 019333

49、33. 02 . 0 + (x- x0) (x-x1) fx1,x0,x2+ (x- x0) fx1,x0=f(x0)P(x)例例 已知已知 x = 1, 4, 9 x = 1, 4, 9 的平方根值，求的平方根值，求解：解：7例例 给出函数表，求给出函数表，求4 4次牛顿插值多项式，并计算次牛顿插值多项式，并计算f(0.596)f(0.596)的近似值的近似值解：首先构造均差表解：首先构造均差表4 4阶均差已近似常数，故阶均差已近似常数，故4 4次插值即可次插值即可0.400.400.410750.410750.550.550.578150.578151.116001.116000.650.

50、650.696750.696751.186001.186000.280000.280000.800.800.888110.888111.275731.275730.358930.358930.197330.197330.800.801.026521.026521.384101.384100.433480.433480.213000.213000.031340.031341.051.051.253821.253821.515331.515330.524930.524930.228630.228630.031260.03126-0.00012-0.0001244940155( )0.41075 1

51、.116(0.4)0.28(0.4)(0.55)0.19733(0.4)(0.55)(0.65)0.03134(0.4)(0.55)(0.65)(0.8)(0.596)(0.596)0.63192( ),(0.596)3.63 10P xxxxxxxxxxxfPR xf x xx 例例 已知已知 x x=0, 2, 3, 5 =0, 2, 3, 5 对应的函数值为对应的函数值为 y y=1, 3, 2, 5 =1, 3, 2, 5 , , 作三次作三次NewtonNewton插值多项式。插值多项式。 x xi i f f( (x xi i) ) 一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶

52、差商 0 1 0 1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 2 -1 -1 -2/3-2/3 5 5 5 5 3/2 3/2 5/6 5/6 3/10 3/10 所求的三次所求的三次NewtonNewton插值多项式为插值多项式为3001001201( ),(), ,()()231(2)(2)(3)310Nf xf x xx xf x x xx xx xxx xx xx 例例 已知已知 f f( (x x) = ) = x x7 7+ + x x4 4+ 3+ 3x x+ 1+ 1 求求 f f 220 0, 2, 21 1, , 2 27 7 及及 f f 220 0, 2, 21 1, ,

53、2 27 7, 2, 28 8 分析：本题分析：本题 f f( (x x) )是一个多项式是一个多项式, , 故应利用差商的性质故应利用差商的性质解解: : 由差商与导数之间的关系由差商与导数之间的关系 ()01(7 )(8 )(7 )017(8 )01781,()!()7 !,()0()7 !2 , 2 , 217 !7 !()02 , 2 , 2 , 208!8!nnfxxxfnfxfxffff 及知习题习题P48: 1, 3, 4P48: 1, 3, 4编写拉格朗日插值和牛顿插值程序，计算习题编写拉格朗日插值和牛顿插值程序，计算习题P48P48：2 2。上机实习：上机实习：拉格朗日插值计

54、算习题拉格朗日插值计算习题P48P48：2 2MatlabMatlab程序程序误差分析误差分析阶数的影响阶数的影响内插和外插的影响内插和外插的影响(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn1010( )()()()()nnniixxxxxxxxx差分形式的牛顿插值公式差分形式的牛顿插值公式 当插值节点等距分布时当插值节点等距分布时, , 被插值函数的变化率就可用差被插值函数的变化率就可用差分来表示分来表示, , 这时牛顿插值公式的形式更简单这时牛顿插值公式的形式更简单, , 计算量更小。计算量更小。 h h称为步长称为步长记记 x xk k处以处以h h为步

55、长的一阶（向前）差分为步长的一阶（向前）差分 x xk k处二阶差分处二阶差分NN阶差分阶差分引入算子符号引入算子符号0(0,1, )kxxkhkn()kkff x1kkkfff21kkkfff 111nnnkkkfff 1,kkkkffffhIEIE称为不变算子， 称为步长 的位移算子其中其中上式表示，各阶差分均可由函数值获得，反之，函上式表示，各阶差分均可由函数值获得，反之，函数值也可由各阶差分表示数值也可由各阶差分表示100()()( 1) ( )( 1) ( )kkkkkknnnnjnjjkkkn kjjjffffffnnffffjj EIEIEIE(1)(1)( )!nn nnjjj

56、00()( )( )nnnjn kkkkjnjn kkjnffffjnffjEIxy y 2y 3y 4yx0y0 x1y1x2y2x3y3x4y4y0 = y1 y0y1 = y2 y1y2 = y3 y2y3 = y4 y32y0 = y1 - y02y1= y2 - y12y2= y3 - y23y0= 2y1 - 2y03y1= 2y2 - 2y14y0等距节点插值y0= y1 y0y1= y2 y1y2= y3 y2= y2 2y1 +y02y0= y1 - y03y0= 2y1 - 2y0= y3 2y2 +y1 (y2 2y1 +y0)= y3 3y2 +3y1 y0 2y1=

57、y2 - y1= y3 2y2 +y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0= 3y1 - 3y0= y4 3y3 +3y2 y1 -(y3 3y2 +3y1 y0 )= y4 4y3 +6y2 4 y1 +y0 (a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3结论：各阶差分中函数值的系数正好等于 (a-b)r展开式中的系数例例 计算计算 f f ( (x x) ) = = x x3 3在等距节点在等距节点0 0，1 1，2 2，3, 43, 4上的各阶差分值上的各阶差分值xf f 2f 3f001128327464 4f1719376121

58、8660均差与差分的关系均差与差分的关系差分与导数的关系差分与导数的关系11121211222,1,211,1,2,!kkkkkkkkkkkkkkkkkmkk mkmffff xxxxhf xxf xxf xxxfxxhf xxfmnm h( )( )(,)nnnkkk nfh fxx牛顿插值公式中，以差分代替均差牛顿插值公式中，以差分代替均差称为牛顿前插公式称为牛顿前插公式插值余项为插值余项为200000(1)()2!(1)(1)!nnt tP xthft fft ttnfn 1(1)0(1)()( )( )(,)(1)!nnnnt ttnRxhfx xnx-1 012y-11311例 按下

59、列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5) 的近似值x-1 012y-11311解：建立差分表xy y 2y 3y-1 -10121320211 866hxxt0 5 . 01)1()5 . 0( 30.50.5(0.5 1)( )1*2*01!2!P x 6*!3)25 . 0)(15 . 0(5 . 0 = -1+1+0+0.375= 0.375例 按下列数值表用牛顿前插公式求y(-0.5) 的近似值002000!) 1() 1(! 2) 1()(fnntt tft tftfthxNnn例例 给出给出f(x)=cos(f(x)=cos(x)x)在在x xk k= =khkh ，k k=0,1,

60、5=0,1,5，h h=0.1=0.1处处的函数值，试用的函数值，试用4 4次牛顿前插公式计算次牛顿前插公式计算f(0.048)f(0.048)的近的近似值并估计误差似值并估计误差 x xk kf ff f2f2f3f3f4f4f5f5f0.000.001.000001.000000.100.100.995000.99500-0.00500-0.005000.200.200.980070.98007-0.01493-0.01493-0.00993-0.009930.300.300.955340.95534-0.02473-0.02473-0.00980-0.009800.000130.0001