理论力学第九章

1、 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理(Theorem of Momentum Moment)第二篇第二篇 动动 力力 学学Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回总目录制作与设计制作与设计 山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 返回首页Theoretical Mechanics 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理目目 录录9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩9.2 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩转动惯量转动惯量9.3 动量矩定理动量矩定理9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程9.5 质点系

2、相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 Theoretical Mechanics 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理 9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 返回首页Theoretical Mechanics9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩r)( vmmOvmF dAB)(FmO动量矩是矢量，称为动量矩矢。动量矩是矢量，称为动量矩矢。 方向垂直于矢径r与动量mv所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为质点动量矩 质点M的动量对于O点的矩，定义为质点对于O点的动量矩，即vrvmmmO)(OABmvdmr

3、mvmO2),sin()(vrvm 面积在国际单位制中，动量矩的单位是kgm2s-1。 Theoretical Mechanics以矩心O为坐标原点，建立直角坐标系O xyz，由矢量积定义zyxOmvmvmvzyxmmkjivrvm)(kjivm)()()()(xyzxyzOymvxmvxmvzmvzmvymvmkjivmmvmmvmmvmmzyxO 质点的动量对固定点的动量矩矢在通过该点的任一固定轴上的投影等于质点的动量对该固定轴的动量矩xyzzxyyzxymvxmvmmxmvzmvmmzmvymvmmvvv动量矩的量纲是 TLFTLMmO12)( vm 返回首页9.1 质点和质点系的动量矩

4、质点和质点系的动量矩Theoretical MechanicsniniiiiiiOOmm11)(vrvML质点系动量矩质点系动量矩 质点系中所有各质点的动量对于固定点O的动量矩矢之和称之为该质点系对O点的动量矩，即vLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO投影形式 质点系对某固定点O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。 对于平面问题，动量矩矢总是垂直于该平面，则可视为代数量，并规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。 返回首页9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩 Theoretical Mechanics 返回首页 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理

5、9.2 定轴转动刚体对转轴的定轴转动刚体对转轴的 动量矩动量矩转动惯量转动惯量9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量一、定轴转动刚体对转轴的动量矩一、定轴转动刚体对转轴的动量矩22iiiiiiizrmrmvmrL2zi iiJmr绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对其转轴的转动惯量与转动角速度的乘积体对其转轴的转动惯量与转动角速度的乘积zzLJ9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量二、转动惯量二、转动惯量 如机器上的飞轮，边缘比较厚实。目的就是增加其转动惯如机器上的飞轮，边缘比较

6、厚实。目的就是增加其转动惯量，以使机器的运转平稳。而仪表中的指针做的比较细，目量，以使机器的运转平稳。而仪表中的指针做的比较细，目的是减少其转动惯量，以使其转动灵敏，提高仪表的精度。的是减少其转动惯量，以使其转动灵敏，提高仪表的精度。9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量zzJm2zzJmCBAlxdxxz9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量CBAlxdxxz222/2112lzlmJx dxmll回转半径为：回转半径为：0.2892 3zzJllmROz222zi iiJmrm RmR回转半径为：回转半径为：z

7、zJRm9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量RO2220122RzmJdmRR 回转半径为：回转半径为：20.70712zzJRRm部分均质刚体的转动惯量及回转半径见附录部分均质刚体的转动惯量及回转半径见附录9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量三、平行轴定理三、平行轴定理222()zCi iiiiJmrm xy22222222()() ()2ziiiiiiiiiiiJmrm xym xydm xydm ydm0iiCim yym2zzCJJmd9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯

8、量转动惯量CBAzCzl221( )23zCzlJJmml例例9.122121122zJm Rm r21mR h 22mr h 44222211()()22()zJhRrRh Rrr空心圆柱体的质量m221()2m Rr例例9.2均质空心圆柱体均质空心圆柱体2112CzJml9.1 定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩 转动惯量转动惯量例例9.3细杆细杆OA对对O轴的转动惯量轴的转动惯量222221()()2OCJmRrmRl空心圆盘空心圆盘C对对O轴的转动惯量轴的转动惯量21113OJml整个钟摆对整个钟摆对O轴的转动惯量轴的转动惯量222211211()()32OOOCJJ

9、JmlmRrRl Theoretical Mechanics 9.3 动量矩定理动量矩定理 返回首页 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理xxyyzzdBOATheoretical Mechanics9.3 动量矩定理动量矩定理质点动量矩定理质点动量矩定理)(FmO)( vmmOF rvmvrvrvrvmmtmtmtmtOdddddddd0ddvvvrmmt FFrvmOOmmtddFv mt ddvrvmmmO)( 质点对固定点的动量质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对于作用于质点上的力对同一点的力矩。同一点的力矩。 返回首页Theoretical M

10、echanicsn个方程的矢量和质系动量矩定理质系动量矩定理 设质点系内有n个质点，作用在第i个质点上的力有内力 和外力 ， 按质点的动量矩定理，有 iiF eiF eiOiiOiiOmtFmFmvmdd i =1，2，n nininieiOiiOiiOmt111ddFmFmvm niiiO10Fm ninieiOiiOmt11ddFmvm nieiieOOt1ddFrML 质点系动量矩定理: 质点系对于某固定点O的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。 返回首页9.3 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics 质系对于 x ，y，z 轴的动量矩等

11、于质系中各质点动量对于 x ，y，z 轴动量矩的代数和。动量矩定理的投影形式动量矩定理的投影形式 质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上的外力对该轴之矩的代数和。 eizezzeiyeyyeixexxmMLtmMLtmMLtFFFddddddvLvLvLmmLmmLmmLzzzOyyyOxxxO 返回首页9.3 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics 内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化使质系的动量矩发生变化。在特殊情况下外力系对O点的主矩为零，则质系对O点的动量矩

12、为一常矢量，即OeOLM, 0)(常矢量 外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数。0)()(exMF= 常量xL动量矩守恒动量矩守恒9.3 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics例例 题题例例 水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结重为W的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD 均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为 。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成 角 ，如图所示。不计各杆重量，求这时系统的角速度。0 解：解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对z轴之矩都等于零

13、。系统对z 轴的动量矩守恒。9.3 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics开始时系统的动量矩为210022zWWLaaagg细线拉断后的动量矩为 022)sin(laa222(sin)zWLalg21zzLL 22022(sin)WWaalgg 返回首页例例 题题9.3 动量矩定理动量矩定理 Theoretical Mechanics 9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 返回首页 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程22iiiiiiizrmrmvmrL2

14、zi iJm r 刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。zzLJ应用质系对z轴的动量矩方程，得 ddezziJmFt zzJM 设刚体在外力作用下绕轴转动，角速度，角加速度 。令 z 轴与转轴重合，刚体对 z 轴的动量矩为 Theoretical Mechanics()zzJM F此式称为刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程由于约束力对由于约束力对z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩22ddzzJMt ddezziJmFt （1）外力矩Mz越大，刚体转动的角加速度也越大。当Mz=0时，角加速度 = 0，刚体作

15、匀速转动或保持静止。 （2）在同样的外力矩作用下，刚体的转动惯量 Jz 越大，角加速度 越小。Jz反映了刚体保持其匀速转动状态能力的大小，转动惯量是刚体转动时的惯性度量。 9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics例例 题题例 已知刚体的质量为m，质心到转轴O的距离OC=a，刚体绕水平轴O作微幅摆动的周期为T，求刚体相对于转轴的转动惯量。 解：建立刚体的转动微分方程式，以摆的平衡位置作为角的起点，逆时针方向为正，即22dsindOJmgat 作微幅摆动时， ，简化为 sin微分方程的通解为0sinOmgatJ2OTJmga2214OJmg

16、aT22d0dOmagtJ9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程其中 及 由运动的初始条件确定，而振动的周期为0Theoretical Mechanics 例 卷扬机的传动轮系如图所示，设轴I 和 各自转动部分对其轴的转动惯量分别为J1和J2，轴I的齿轮C上受主动力矩 M 的作用，卷筒提升的重力为mg。齿轮 A、B 的节圆半径为r1、r2，两轮角加速度之比r2/r1 =i12。卷筒半径为 R ，不计轴承摩擦及绳的质量。求重物的加速度 。例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics解：本题二根固定轴必须拆开，分别以

17、两轴及与其固连的齿轮为研究对象。轴 I 除受主动力矩M 和重力、轴承约束力外，还受有齿轮力 Ft 及Fn，现假设1与M 的方向相同，如图所示。为使方程正负号简单，一般约定以轴I 的转向为正，于是轴 I 的转动方程为 11 1JMF r 再以轴和重物W 为研究对象，画出其受力图。按运动学关系画出 2 ( 1 反向)，以2转向为正，应用质点系的动量矩定理22 2ddJmvRF rmgRt例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics11 1JMF r222 2JmRF rmgR式中有三个未知量1、2和Ft，还需建立补充方程。由运动学12

18、1221rir重物上升的加速度122221 122MimgR RaRJ iJmR122221 122MimgRJ iJmR联立解得例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics 例 均质梁AB长l，重W，由铰链A和绳所支持。若突然剪断联结B点的软绳，求绳断前后铰链A的约束力的改变量。 解：以梁为研究对象，绳未断以前是静力学问题。由静平衡方程可求出绳未断时，铰链A的约束力21WFAy 绳断之后，梁AB将绕A点转动。绳断瞬时， = 0。2132WllWg应用转动方程32gl例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方

19、程Theoretical Mechanics再应用质心运动定理求约束力。图示瞬时，质心C的加速度0nCaxcxFMa于是，绳断前后，铰链A约束力的改变量为44221WWWFFFAyAyAy例例 题题02AxFycyFMaAyFWggW243WWWFAy41432324Clga9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics 例 阿特伍德机的滑轮质量为M，且均匀分布，半径为 r。两重物系于绳的两端，质量分别为 m1和 m2。试求重物的加速度。 解：以整体为研究对象，画受力图。设滑轮有逆时针方向的转动，角速度为，则滑轮对轴O的动量矩、两重物对轴O的

20、动量矩分别为 2112OOLJMr2112rmvrmLO2223rmvrmLO系统对轴O的动量矩为上述三项动量矩之和，即22132121rMmmLLLLOOOO例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics应用动量矩定理grmgrmrMmmt2122121dd2121212mmM rmmgr1212121221222mmgmmgmmMrmmMr重物的加速度1212222mmargmmM例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics例 图中质量m1 = 5 kg，半径r=3

21、0cm的均质圆盘，可绕铅垂轴z 转动，在圆盘中心用铰链 D 连接质量m2 = 4 kg 的均质细杆AB，AB杆长为2r，可绕D 转动。当AB杆在铅垂位置时，圆盘的角速度为= 90 r/min ，试求杆转到水平位置碰到销钉C而相对静止时，圆盘的角速度。 解：以圆盘、杆及轴为研究对象，画出其受力图。由受力分析看出，在AB杆由铅垂位置转至水平位置的整个过程中，作用在质点系上所有外力对z轴之矩为零，即 。因此，质点系对z轴的动量矩守恒。 0Fzm例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程Theoretical Mechanics20114zzLJm r杆在铅垂位置时，只有圆盘对

22、z轴的动量矩杆在水平位置时，设系统的角速度为1，系统包含圆盘及杆对z轴的动量矩。12212112212113141212141rmrmrmrmLz系统动量矩守恒10zzLL12212121314141rmrmrm将有关数值代入 rad/s56. 411211413141mmm例例 题题9.4 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程参阅附录C,3栏令l =0 Theoretical Mechanics 9.5 质点系相对于质心质点系相对于质心 的动量矩定理的动量矩定理 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理Theoretical Mechanics9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系

23、相对于质心的动量矩定理质系对于固定点质系对于固定点O 的动量矩与相的动量矩与相对于质心对于质心C 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系 质系对于固定点O的矩为iiiOm vrLiCirrr iiiiiCiiiCOmmmvrvrvrrLCiiMmvviiiCm vrLCCOmLvrLC建立以质心C为原点的平移坐标系Cxyz，Theoretical Mechanics eiieiCCCCCCttMMtFrFrLvrvrdddddd eiiCCCCMtFrrLvr)()(dd代入质点系对固定代入质点系对固定点的动量矩定理得点的动量矩定理得 CCOmLvrLC eieCtMFFv)(Rdd0ddCCC

24、CMMtvvvr d()deCCiCLt mFM CeiCeiiMFmFr)(相对于质心的动量矩定理：质点系相对于随质心平移坐标系的相对动量矩对时间的一阶导数，等于质点系的外力对质心之矩的矢量和。9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理Theoretical MechanicsiiiCiiiCiiCmmmvrvrvvrL)(质系在相对动坐标系的运动中质系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在绝对运动对质心的动量矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系中对质心的动量矩之间的关系iCivvviiiCm vrL0CCCiimmvrvrrCCLLiiiCm vrLr建立以质心

25、C为原点的平移坐标系Cxyz，9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理Theoretical Mechanics质系相对质心的动量矩定理质系相对质心的动量矩定理：在相在相对随质心平动坐标系的运动中，质对随质心平动坐标系的运动中，质系对质心的动量矩对于时间的一阶系对质心的动量矩对于时间的一阶导数，等于外力系对质心的主矩。导数，等于外力系对质心的主矩。)(ddeCCtML9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理Theoretical Mechanics如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质心的运动，则可分

26、别用质心运动定理和相对质心动心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关，而与内力无关。关，而与内力无关。当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心的动量矩守恒。的动量矩守恒。讨 论9.5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 Theoretical Mechanics 9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程 第九章第九章 动量矩定理动量矩定理Theore

27、tical Mechanics9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程CCyCxCMtIFtymFtxm222222dddddd)(ddeCCtML刚体在相对运动中对质心的动量矩22ddCCJMt应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得刚体平面运动微分方程Theoretical Mechanics例例 题题例 图中均质轮的圆筒上缠一绳索，并作用一水平方向的力 200 N，轮和圆筒的总质量为50 kg，对其质心的回转半径为 70 mm。已知轮与水平面间的静、动摩擦系数分别为f = 0.20和f = 0.15，求轮心O的加速度和轮的角加速度。 N fFF解：假设轮子作纯滚动，有9.6 刚

28、体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程Theoretical Mechanics例例 题题NfFF aR0.1a建立圆轮的平面运动方程，得xCxFMaF 为静滑动摩擦力由于滚动而不滑动，有Fa 20050yCyFMaCCJM80. 950050NF2500.070.12000.06F9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程轮心的加速度为 a ，角加速度为 。Theoretical Mechanics补充方程式为, 0.1CxaaRa解出N490NF210.74rad sN3 .146F轮子不可能只滚不滑。 maxN 0.2490N98NFf F超过了水平面能为园超过了水平面能为

29、园轮提供的最大摩擦力轮提供的最大摩擦力 例例 题题9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程Theoretical MechanicsNFfFFaFMaxCx20050,80. 950050,NFFMayCy2500.070.12000.06CCJMF例例 题题F考虑轮子又滚又滑的情形：考虑轮子又滚又滑的情形：动滑动摩擦力为列平面运动方程为9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程质心加速度a和角加速度 是两个未知量Theoretical Mechanics力的补充方程为NFfF联立解得NN22490N,0.15490N73.6N2.53m s,18.95rad sFFf Fa 例例 题题F9.6 刚体的平面运动微