第5章图像几何变换

1、第五章第五章 图像的几何变换图像的几何变换 5.1 5.1 几何变换基础几何变换基础 5.2 5.2 图像比例缩放图像比例缩放 5.3 5.3 图像平移图像平移 5.4 5.4 图像镜像图像镜像5.5 5.5 图像旋转图像旋转 我们知道，图像是对三维实际景物的平面投影。为了观测需要，常常需要进行各种不同的几何变换。图像的几何变换是图像处理和图像分析的基础内容之一。注意一点，实际上几何变换不改变注意一点，实际上几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。像素值，而是改变像素所在的位置。5.1 5.1 几何变换基础几何变换基础 5.1 5.1 几何变换基础几何变换基础 5.1.1 5.1.1 概

2、述概述 图像的几何变换图像的几何变换，是指使用户获得或设计的原始图像，是指使用户获得或设计的原始图像，按照需要产生大小、形状和位置的变化。从按照需要产生大小、形状和位置的变化。从图像类型图像类型来分，来分，图像的几何变换有二维平面图像的几何变换和三维图像的图像的几何变换有二维平面图像的几何变换和三维图像的几何变换以及由三维向二维平面投影变换等。几何变换以及由三维向二维平面投影变换等。从从变换的性变换的性质质分，分， 图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、反射和图像的几何变换有平移、比例缩放、旋转、反射和错切等基本变换，透视变换等复合变换，以及插值运算等。错切等基本变换，透视变换等复合变换，以及

3、插值运算等。 数字图像是把连续图像在坐标空间和性质空间离散数字图像是把连续图像在坐标空间和性质空间离散化了的图像。例如，一幅二维数字图像就是把一幅连续化了的图像。例如，一幅二维数字图像就是把一幅连续的二维（的二维（2D2D）图像在坐标空间）图像在坐标空间XOYXOY和性质空间和性质空间F F都离散化都离散化了的图像，它可以用一组二维（了的图像，它可以用一组二维（2D2D）数组）数组f(x, y)f(x, y)来表来表示，其中示，其中x x和和y y表示表示2D2D空间空间XOYXOY中一个坐标点的位置，中一个坐标点的位置，f f代代表图像在点表图像在点(x, y)(x, y)的某种性质的某种性

4、质F F的数值，如果所处理的的数值，如果所处理的是一幅灰度图，这时是一幅灰度图，这时f f表示灰度值。而且此时表示灰度值。而且此时f f、x x、y y都都在整数集合中取值。因此，除了插值运算外，常见的图在整数集合中取值。因此，除了插值运算外，常见的图像几何变换可以通过与之对应的矩阵线性变换来实现。像几何变换可以通过与之对应的矩阵线性变换来实现。5.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 对于对于2D2D图像几何变换及变换中心在坐标原点的比例缩图像几何变换及变换中心在坐标原点的比例缩放、放、 反射、反射、 错切和旋转等各种变换，都可以用错切和旋转等各种变换，都可以用2 22 2的的矩阵表示和实现

5、。但是一个矩阵表示和实现。但是一个2 22 2变换矩阵变换矩阵 却却不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、不能实现图像的平移以及绕任意点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种变换。因此，为了能够用统一的矩阵错切和旋转等各种变换。因此，为了能够用统一的矩阵线性变换形式表示和实现这些常见的图像几何变换，就线性变换形式表示和实现这些常见的图像几何变换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。利用齐次坐标来需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。利用齐次坐标来变换处理，才能实现上述各种变换处理，才能实现上述各种2D2D图像的几何变换。图像的几何变换。 5.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 dcbaT

6、现设点现设点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )进行平移后，移到进行平移后，移到P P( (x, yx, y) )，其中，其中x x方向的平移量为方向的平移量为x x，y y方向的平移量为方向的平移量为y y。那么，点。那么，点P P( (x, x, y y) )的坐标为的坐标为 yyyxxx00如图如图5-15-1所示。这个变换用矩阵的形式可以表示为所示。这个变换用矩阵的形式可以表示为 yxyxyx0010015.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 Oyxy0yxx0P0(x0 , y0)P(x , y)图图5-1 5-1 点的平移点的平移5.1.2 5.1.2 齐次坐

7、标齐次坐标 而平面上点的变换矩阵而平面上点的变换矩阵 中没有引入平移常量，中没有引入平移常量，无论无论a a、b b、c c、d d取什么值，都不能实现上述的平移变换。取什么值，都不能实现上述的平移变换。因此，需要使用因此，需要使用2 23 3阶变换矩阵，取其形式为阶变换矩阵，取其形式为 dcbaTyxT1001此矩阵的第一、二列构成单位矩阵，第三列元素为平移常量。由上述可知，对2D图像进行变换，只需要将图像的点集矩阵乘以变换矩阵即可，2D图像对应的点集矩阵是2n阶的，而上式扩展后的变换矩阵是23阶的矩阵，这不符合矩阵相乘时要求前者的列数与后者的行数相等的规则。5.1.2 5.1.2 齐次坐标

8、齐次坐标 yxT1001 所以需要在点的坐标列矩阵所以需要在点的坐标列矩阵x yx yT T中引入第三个元中引入第三个元素，增加一个附加坐标，扩展为素，增加一个附加坐标，扩展为3 31 1的列矩阵的列矩阵x yx y 1 1T T，这样用三维空间点（这样用三维空间点（x, yx, y, 1, 1）表示二维空间点（）表示二维空间点（x, yx, y），），即采用一种特殊的坐标，可以实现平移变换，变换结果为即采用一种特殊的坐标，可以实现平移变换，变换结果为 yxyyxxyxyxPTP0000011001式式符合上述平移后的坐标位置。通常将符合上述平移后的坐标位置。通常将2 23 3阶矩阵阶矩阵扩充

9、为扩充为3 33 3阶矩阵，以拓宽功能。由此可得平移变换矩阵为阶矩阵，以拓宽功能。由此可得平移变换矩阵为 yyyxxx005.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 111100100100000yxyyxxyxyxPTP 下面再验证一下点下面再验证一下点P P ( (x, yx, y) )按照按照3 33 3的变换矩阵的变换矩阵T T平移平移变换的结果变换的结果 从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第从上式可以看出，引入附加坐标后，扩充了矩阵的第3 3行，行， 并没有使变换结果受到影响。这种用并没有使变换结果受到影响。这种用n n1 1维向量表示维向量表示n n维向量的方法称为维向量的

10、方法称为齐次坐标表示法齐次坐标表示法。 5.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 2D 2D图像中的点坐标图像中的点坐标( (x, yx, y) ) 表示成齐次坐标（表示成齐次坐标（Hx, HyHx, Hy, H, H）, ,当当H H1 1时，则时，则( (x, yx, y, 1), 1)就称为点就称为点( (x, yx, y) )的规范化齐次坐标。的规范化齐次坐标。规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标，规范化齐次坐标的前两个数是相应二维点的坐标， 没有变没有变化，仅在原坐标中增加了化，仅在原坐标中增加了H H1 1的附加坐标。的附加坐标。 由点的齐次坐标（由点的齐次坐标（Hx, Hy

11、, HHx, Hy, H）求点的规范化齐次坐标）求点的规范化齐次坐标( (x, yx, y, 1), 1)，可按如下公式进行：，可按如下公式进行： HHyyHHxx5.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 齐次坐标的几何意义相当于点齐次坐标的几何意义相当于点(x, y)(x, y)落在落在3D3D空间空间H H1 1的的平面上，平面上， 如果将如果将XOY XOY 平面内的三角形平面内的三角形abc abc 的各顶点表示成的各顶点表示成齐次坐标齐次坐标( (x xi i, , y yi i, 1)(, 1)(i i=1, 2, 3)=1, 2, 3)的形式，就变成的形式，就变成H H1 1平面

12、平面内的三角形内的三角形a a1 1b b1 1c c1 1的各顶点。的各顶点。 zxyOabca1b1c1H15.1.2 5.1.2 齐次坐标齐次坐标 齐次坐标在齐次坐标在2D2D图像几何变换中的另一个应用是：如某点图像几何变换中的另一个应用是：如某点S(60 000S(60 000， 40 000)40 000)在在1616位计算机上表示则大于位计算机上表示则大于32 76732 767的最的最大坐标值，大坐标值， 需要进行复杂的操作。但如果把需要进行复杂的操作。但如果把S S的坐标形式变的坐标形式变成（成（Hx, Hy, HHx, Hy, H）形式的齐次坐标，则情况就不同了。在齐次）形式

13、的齐次坐标，则情况就不同了。在齐次坐标系中，设坐标系中，设H H1 12 2，则，则 (60 000(60 000，40 000)40 000)的齐次坐标为的齐次坐标为(1/2(1/2x x, 1/2, 1/2y y, 1/2), 1/2)，那么所要表示的点变为，那么所要表示的点变为(30 000, 20 (30 000, 20 000, 1/2)000, 1/2)，此点显然在，此点显然在1616位计算机上二进制数所能表示的范位计算机上二进制数所能表示的范围之内。围之内。 因此，采用齐次坐标，并将变换矩阵改成因此，采用齐次坐标，并将变换矩阵改成3 33 3阶的阶的 形式后，形式后， 便可实现所

14、有便可实现所有2D2D图像几何变换的基本变换。图像几何变换的基本变换。 5.1.3 5.1.3 二维图像几何变换的矩阵二维图像几何变换的矩阵 利用齐次坐标及改成利用齐次坐标及改成3 33 3阶形式的变换矩阵，实现阶形式的变换矩阵，实现2D2D图图像几何变换的基本变换的一般过程是：将像几何变换的基本变换的一般过程是：将2 2n n阶的二维点集阶的二维点集矩阵矩阵 表示成齐次坐标表示成齐次坐标 的形式，然后乘以相应的的形式，然后乘以相应的变换矩阵即可完成，即变换矩阵即可完成，即变换后的点集矩阵变换后的点集矩阵= =变换矩阵变换矩阵T T变换前的点集矩阵变换前的点集矩阵（图像上各点的新齐次坐标）（图

15、像上各点的原齐次坐标）（图像上各点的新齐次坐标）（图像上各点的原齐次坐标）niiyx200niiyx3001设变换矩阵设变换矩阵T T为为 smlqdcpbaT则上述变换可以用公式表示为则上述变换可以用公式表示为 nnnnnnyyyxxxTHHHHyHyHyHxHxHx3212132121111 图像上各点的新齐次坐标图像上各点的新齐次坐标规范化后的点集矩阵为规范化后的点集矩阵为 nnnyyyxxx32121111 引入齐次坐标后，表示引入齐次坐标后，表示2D2D图像几何变换的图像几何变换的3 33 3矩阵的功矩阵的功能就完善了，可以用它完成能就完善了，可以用它完成2D2D图像的各种几何变换。

16、下面图像的各种几何变换。下面讨论讨论3 33 3阶变换矩阵中各元素在变换中的功能。几何变换阶变换矩阵中各元素在变换中的功能。几何变换的的3 33 3矩阵的一般形式为矩阵的一般形式为 5.1.3 5.1.3 二维图像几何变换的矩阵二维图像几何变换的矩阵 smlqdcpbaT 实现恒等、实现恒等、 比例、比例、 反射、反射、 错切、错切、 旋转变换。旋转变换。实现平移变换实现平移变换实现透视变换实现透视变换实现全比例变换实现全比例变换例如，例如， 将图像进行全比例变换，将图像进行全比例变换， 即即 syxyxsiiii10001000100将齐次坐标将齐次坐标 规范化后，规范化后， 。由此可见，。

17、由此可见， 当当s s1 1时，图像按比例缩小；当时，图像按比例缩小；当0 0s s1 1时，整个图像按比例时，整个图像按比例放大；当放大；当s s1 1时，图像大小不变。时，图像大小不变。 syxii1100iiiiyxsysx5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 图像比例缩放是指将给定的图像在图像比例缩放是指将给定的图像在x x轴方向按比例缩放轴方向按比例缩放fxfx倍，倍， 在在y y轴方向按比例缩放轴方向按比例缩放fyfy倍，从而获得一幅新的图像。倍，从而获得一幅新的图像。如果如果fxfxfyfy， 即在即在x x轴方向和轴方向和y y轴方向缩放的比率相同，称轴方向

18、缩放的比率相同，称这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果fxfxfyfy，图像的，图像的比例缩放会改变原始图像的像素间的相对位置，产生几何畸比例缩放会改变原始图像的像素间的相对位置，产生几何畸变。设原图像中的点变。设原图像中的点P P0 0( (x x0 0, ,y y0 0) )比例缩放后，在新图像中的对比例缩放后，在新图像中的对应点为应点为P P( (x x, , y y) )，则，则P P0 0( (x x0 0, ,y y0 0) )和和P P( (x, yx, y) )之间的对应关系如图之间的对应关系如图5-35-3所示。所示。 5.2 5.2

19、图像比例缩放图像比例缩放 放 大 后缩 放 前xy(x , y)(x0 , y0)O图图5-3 5-3 比例缩放比例缩放5.2 5.2 图像比例缩放图像比例缩放 比例缩放前后两点比例缩放前后两点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )、P P( (x, yx, y) )之间的关系用矩之间的关系用矩阵形式可以表示为阵形式可以表示为 10000000100yxfxfxyx（5-1） 公式（公式（5-15-1）的逆运算为的逆运算为 110001000110000yxfxfxyx5.2 5.2 图像比例缩放图像比例缩放 即即 fyyyfxxx00 比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图

20、像中找不比例缩放所产生的图像中的像素可能在原图像中找不到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。插值处理常到相应的像素点，这样就必须进行插值处理。插值处理常用的方法有两种，用的方法有两种， 一种是直接赋值为和它最相近的像素值，一种是直接赋值为和它最相近的像素值， 另一种是通过一些插值算法来计算相应的像素值。前一种另一种是通过一些插值算法来计算相应的像素值。前一种方法计算简单，方法计算简单， 但会出现马赛克现象；后者处理效果要好但会出现马赛克现象；后者处理效果要好些，但是运算量也相应增加。在下面的算法中直接采用了些，但是运算量也相应增加。在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这也是一种插值算

21、法，前一种做法。实际上，这也是一种插值算法， 称为最邻近称为最邻近插值法（插值法（Nearest Neighbor InterpolationNearest Neighbor Interpolation）。）。 一般地，按比例将原图像放大一般地，按比例将原图像放大k k倍时，如果按照最近倍时，如果按照最近邻域法则需要将一个像素值添在新图像的邻域法则需要将一个像素值添在新图像的k kk k的子块中，的子块中，如图如图6-96-9所示。显然，如果放大倍数太大，所示。显然，如果放大倍数太大， 按照这种方按照这种方法处理会出现马赛克效应。当法处理会出现马赛克效应。当fxfxfyfy( (fx, fyf

22、x, fy0)0)时，图时，图像在像在x x方向和方向和y y方向不按比例放大，方向不按比例放大， 此时，此时， 这种操作由这种操作由于于x x方向和方向和y y方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的畸变。放大的方法是将原图像的一个像素添到新图像的一个一个k k1 1k k2 2的子块中去。的子块中去。5.2 5.2 图像比例缩放图像比例缩放 5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 比例缩放前后两点比例缩放前后两点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )、P P( (x, y

23、x, y) )之间的关系用之间的关系用矩阵形式可以表示为矩阵形式可以表示为 10000000100yxfyfxyxx=fx x0y=fy y05.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 逆运算为逆运算为 1100010001100yxfxfxyx x0=x/fx y0 = y/fy5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 x=x0/2y=y0/2x0, y0 x,yx=fx x0y=fy y0按比例缩小按比例缩小5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列。如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列。 M

24、 M* *N N大小的图像缩小为：大小的图像缩小为：kMkM* *kNkN大小，（大小，（k1k1）。）。 设旧图像是设旧图像是F(x,y)F(x,y)，新图像是，新图像是I(x,y)I(x,y) 则：则：I(x,y)=F(int(cI(x,y)=F(int(c* *x),int(cx),int(c* *y) c=1/ky) c=1/kK=1/35.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 图像不按比例缩小：图像不按比例缩小： 这种操作因为在这种操作因为在x x方向和方向和y y方向的缩小比例不同，一方向的缩小比例不同，一定会带来图像的几何畸变。定会带来图像的几何畸变。5.2.1

25、5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 图像不按比例缩小方法：图像不按比例缩小方法： M M* *N N大小的图像缩小为：大小的图像缩小为：k1Mk1M* *k2Nk2N大小，大小，（k11k11，k21k21）。）。 设旧图像是设旧图像是F(x,y)F(x,y)，新图像是，新图像是I(x,y)I(x,y) 则：则：I(x,y)=F(int(c1I(x,y)=F(int(c1* *x),int(c2x),int(c2* *y) y) c1=1/k1 c2=1/k2 c1=1/k1 c2=1/k25.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 x0=x/fxy0=y/fyx0=2

26、xy0=2yx0, y0 x,y5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 x=fx x0y=fy y0 x=2x0y=2y0 x0, y0 x,y按比例放大按比例放大5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 图像的任意不成比例放大：图像的任意不成比例放大： 这种操作由于这种操作由于x x方向和方向和y y方向的放大倍数不同，方向的放大倍数不同，一定带来图像的几何畸变。一定带来图像的几何畸变。 放大的方法是：放大的方法是： 将原图像的一个像素添到新图像的一个将原图像的一个像素添到新图像的一个 k1k1* *k2k2的子块中去。的子块中去。5.2.1 5.2.1 图

27、像比例缩放变换图像比例缩放变换 x0=x/fxy0=y/fyx0=x/2y0=y/2x0, y0 x,y5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像比例缩放变换 neww = w * xr + 0.5newh = h * yr + 0.5 For j = 0 To newh - 1 For i = 0 To neww - 1 x = i / xr + 0.5: y = j / yr + 0.5 Picture3.PSet (i, j), RGB(pic(x, y, 0), pic(x, y, 1), pic(x, y, 2) Next iNext j5.2.1 5.2.1 图像比例缩放变换图像

28、比例缩放变换 5.3 5.3 图图 像像 平平 移移 5.3.1 5.3.1 图像平移变换图像平移变换 Dx2 , D y1yyyxxx00 利用齐次坐标，变换前后图像上的点利用齐次坐标，变换前后图像上的点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )和和P P( (x x, , y y) )之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为 11001001100yxyxyx5.3.1 5.3.1 图像平移变换图像平移变换 对变换矩阵求逆，可以得到逆变换对变换矩阵求逆，可以得到逆变换 11001001100yxyxyxyyyxxx005.3.1 5.3.1 图

29、像平移变换图像平移变换 这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到这样，平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。例如，对于新图中的（对应的点。例如，对于新图中的（0 0，0 0）像素，代入上面的）像素，代入上面的方程组，方程组， 可以求出对应原图中的像素可以求出对应原图中的像素(-(-x x，-y y) )。如果。如果x x或或y y大于大于0 0， 则点则点(-(-x x，-y y) )不在原图像中。对于不不在原图像中。对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0 0或者或者255255（对于灰度图就是黑色或白色）。同

30、样，若有像素点不（对于灰度图就是黑色或白色）。同样，若有像素点不在原图像中，也就说明原图像中有点被移出显示区域。如果在原图像中，也就说明原图像中有点被移出显示区域。如果不想丢失被移出的部分图像，可以将新生成的图像宽度扩大不想丢失被移出的部分图像，可以将新生成的图像宽度扩大|x x| |， 高度扩大高度扩大|y y| |。 5.3.1 5.3.1 图像平移变换图像平移变换 For j = 0 To h - 1 For i = 0 To w - 1 x = i + xr: y = j + yr Picture3.PSet (x, y), RGB(pic(i, j, 0), pic(i, j, 1)

31、, pic(i, j, 2)Next iNext j5.3.1 5.3.1 图像平移变换图像平移变换 5.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 图像的镜像变换不改变图像的形状。图像的镜像变换不改变图像的形状。 图像的镜像图像的镜像(Mirror)(Mirror)变换分为变换分为水平镜像水平镜像和和垂直镜像垂直镜像。水平镜像水平镜像垂直镜像垂直镜像 设点设点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )进行镜像后的对应点为进行镜像后的对应点为P P( (x, yx, y) )，图像，图像高度为高度为h h，宽度为，宽度为w w，原图像中，原图像中P P0 0( (x x0 0, , y

32、y0 0) )经过水平镜像后坐标经过水平镜像后坐标将变为（将变为（w w- -x x0 0，y y0 0），）， 其矩阵表达式为其矩阵表达式为 110001001100yxwyx5.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 逆运算矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为 110001001100yxwyxyyxwx005.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 同样，同样，P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )经过垂直镜像后坐标将变为经过垂直镜像后坐标将变为( (x x0 0，h-yh-y0 0) )， 其矩阵表表达式为其矩阵表表达式为 110010001100yxhyx5.4 5.4 图图 像

33、像 镜镜 像像 逆运算矩阵表达式为逆运算矩阵表达式为 110010001100yxhyxyhyxx005.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 水平镜像水平镜像For j = 0 To h - 1 For i = 0 To w - 1 x = w - i: y = j P3.PSet (i, j), RGB(pic(x, y, 0), pic(x, y, 1), pic(x, y, 2) Next iNext j5.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 垂直镜像垂直镜像For j = 0 To h - 1 For i = 0 To w - 1 x = i: y = h - j P2.PSet (i

34、, j), RGB(pic(x, y, 0), pic(x, y, 1), pic(x, y, 2) Next iNext j5.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 5.4 5.4 图图 像像 镜镜 像像 图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P P0 0( (x x0 0, , y y0 0) )旋转旋转角后的对应点为角后的对应点为P(x, y)P(x, y)。qarrxy(x , y)(x0 , y0)O11000cossin0sincos100yxyxqqqq5.5 5.5 图像旋转图像旋转 5.5 图像旋转图像旋转 5.5.1 图像旋转变换图像

35、旋转变换 本节介绍一种相对复杂的几何变换图像的旋转。一般图像的旋转是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。和图像平移一样， 在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去， 也可以扩大图像范围以显示所有的图像。如下图所示。 14325.5 5.5 图像旋转图像旋转 21342134 同样，图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)旋转角后的对应点为P(x, y)， 如图6-22所示。那么， 旋转前后点P0(x0, y0)、 P(x, y)的坐标分别是： 图像旋转角qarrxy(x , y)(

36、x0 , y0)Oqqqaqaqaqqqaqaqaaacossinsincoscossin)sin(sincossinsincoscos)cos(sincos000000yxrrryyxrrrxryrx写成矩阵表达式为 11000cossin0sincos100yxyxqqqq(5-1) For j = 0 To 4 For i = 0 To 4 x = i * Cos(c) -j * Sin(c) y = i * Sin(c) + j * Cos(c) P.PSet (x, y), RGB(pic(i, j,0), pic(i, j, 1), pic1(i, j, 2) Next i Next j