全微分及其运用学习教案

1、会计学1全微分及其运用全微分及其运用第一页，编辑于星期一：十五点 一分。第1页/共28页第二页，编辑于星期一：十五点 一分。第2页/共28页第三页，编辑于星期一：十五点 一分。教学内容和基本要求 理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上 连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念, 了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。第3页/共28页第四页

2、，编辑于星期一：十五点 一分。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概 念，多元复合函数的求导法则，用拉格 朗日条件极值求最大值应用问题，方向 导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。第4页/共28页第五页，编辑于星期一：十五点 一分。概概念念回回忆忆：一一元元函函数数的的微微分分)()()(00 xxaxfxxfy )0(x xaxdfdyxx )(00axf )(0dxxfxdfdyxx)()(000 8.3 全微分及其应用)()(0 xxxfy 第5页/共28页第六页，编辑于星期一：十五点 一分。一、全微分第6页/共28页第七页，编辑于星期一：十五点 一分。)0

3、( )( oyx第7页/共28页第八页，编辑于星期一：十五点 一分。yBxAdz 22)()(yx 第8页/共28页第九页，编辑于星期一：十五点 一分。全微分的两个性质：(1) dz是x与y的线性函数(2) (z- dz)是关于的高阶无穷小全微分是全增量的线性主部全微分是什么yBxAdz )0( )( odzz第9页/共28页第十页，编辑于星期一：十五点 一分。.),(),(0000yyxfxyxfdzyx 第10页/共28页第十一页，编辑于星期一：十五点 一分。.),(),(0000yyxfxyxfdzyx 第11页/共28页第十二页，编辑于星期一：十五点 一分。可微与连续关系: 可微一定连

4、续, 连续未必可微. 第12页/共28页第十三页，编辑于星期一：十五点 一分。可微与可导的关系: 可微一定可导(偏导数存在), 可导未必可微.第13页/共28页第十四页，编辑于星期一：十五点 一分。证),(),( ),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyxxf yyyxfxyyxxfyx ),( ),( 200010)10 , 10(21 第14页/共28页第十五页，编辑于星期一：十五点 一分。yyyxfxyyxxfzyx ),( ),( 200010yyxfxyxfzyx ),(),( 0000 于于是是，).( ),(),( 0000yxyyxfxyxfyx 为什么?第15页

5、/共28页第十六页，编辑于星期一：十五点 一分。分析 :2222|0yxyxyxyx 2222| yxyyxx ).0( 0| 22 yx ),0( )( ),0( 0 , oyxyx即即总总之之)0( 0 , yx我我们们只只要要说说明明现现在在第16页/共28页第十七页，编辑于星期一：十五点 一分。 二元函数在某一点的连续性、可导性、可微性的关系总结：连续可导可微偏导连续记法： 记住三红色箭头，其它说法不正确！第17页/共28页第十八页，编辑于星期一：十五点 一分。二、形式全微分dyfdxfdzyx 第18页/共28页第十九页，编辑于星期一：十五点 一分。解,exyxyz ,exyyxz

6、,e2)1 ,2( xz,e22)1 ,2( yz.e2e22dydxdz 所求全微分为, )(dvduvud udvvduvud )()0 ( 2 vvudvvduvud微分的四则运算公式：第19页/共28页第二十页，编辑于星期一：十五点 一分。解,)(2222yxxzxu dzudyudxuduzyx ,)(2222yxyzyu ,122yxzu dxyxxz222)(2 dyyxyz222)(2 dzyx221 第20页/共28页第二十一页，编辑于星期一：十五点 一分。另解 22yxzddu2222222)()()(yxyxzddzyx 2222222)()()()(yxydxdzdzy

7、x 22222)()22()(yxydyxdxzdzyx )(22()(122222dzyxyzdyxzdxyx 第21页/共28页第二十二页，编辑于星期一：十五点 一分。三、全微分在近似计算中的应用*第22页/共28页第二十三页，编辑于星期一：十五点 一分。解则则设设函函数数 ,),(yxyxf : 02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx 取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf; ln),(xxyxfyy , 2)2, 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 .),(),(),(),(yyxfxyxfy

8、xfyyxxfyx 0824. 1)04. 1( 02. 2 真真值值第23页/共28页第二十四页，编辑于星期一：十五点 一分。解),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 第24页/共28页第二十五页，编辑于星期一：十五点 一分。)0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 , 0)(1sinlim20 xxx ;0)0 , 0( yf),(yxfx2222221cos21sin2yxyxxyxx 22221sin)(yxyxx第25页/共28页第二十六页，编辑于星期一：十五点 一分。),(lim)0,0(),(yxfxxx 2201cos21sin2limxxxxx极限不存在,