空间向量在立体几何中的应用

1、.第六节空间向量在立体几何中的应用1设平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)若，则k()A2 B4 C4 D22(多选题)若平面，互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是()An1(1，2，1)，n2(3，1，1)Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1)Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1)Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2)3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，ADAA12，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为()A. B. C. D.4如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA

2、1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D.5已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45° B135°C45°或135°D90°6如图，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD，若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的锐二面角的大小是()A30° B45° C60° D90°7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60°，则AD的长为()A. B. C2 D.8如图

3、，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面OAC平面，OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，平面内一动点P满足PAB，则·的取值X围是_9(2020届XX一中高三上学期摸底)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60°.点O为AD的中点，APD90°且ADPB.(1)求证：OB平面PAD.(2)若ADPB，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值10(2020届XXXX一中9月月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ABCD，ABAD，ABAD2CD2，ADP为等边三角形(1)当PB的长为多少时，平面PAD平面ABCD

4、.试说明理由(2)若二面角PADB的大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值第六节空间向量在立体几何中的应用【基础过关】1C解析：因为，所以，所以k4.故选C.2AC解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，选项AC中的两个向量垂直故选AC.3A解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，P(0，4，1)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)，(2，4，1)，(0，4，0)设异面直线AP与C1D1所成角为，则cos ，sin ，则tan ，异面直线AP与C1D1所成角的正切值为.故选A.4C解析

5、：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则E(2，1，0)，F(1，0，2)，所以(1，1，2)，取平面AA1D1D的法向量为n(0，1，0)设直线EF与平面AA1D1D所成角为，则sin |cos，n|，所以直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值为.故选C.【综合进阶】5C解析：cosm，n，即m，n45°，两平面所成的二面角为45°或180°45°135°.6B解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴、y轴、

6、z轴建立空间直角坐标系，设ABADAP1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)设平面CDP的法向量为n(x，y，z)，则取y1，得n(0，1，1)平面ABP的一个法向量为m(0，1，0)，cosm，n，所求锐二面角为45°.故选B.7A解析：分别以CA，CB，CC1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)设ADa，则点D的坐标为(1，0，a)(1，0，a)，(0，2，2)设平面B1CD

7、的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(a，1，1)又平面C1DC的一个法向量为m(0，1，0)，cos 60°，即.解得a.故选A.80，)解析：如图，在RtOAC中，过A点作OC边上的高AD交OC于D.RtOAC所在平面与平面交于OC，平面OAC平面，AD平面.在平面内过D点作OC边的垂线DF，ADDC，ADDF，DFDC，以D为原点，DF所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，BC2，DB1，DO1，DA，P(x，y，0)，D(0，0，0)，A(0，0，)，B(0，1，0)，C(0

8、，3，0)，O(0，1，0)，(x，y1，0)，(x，y3，0)，(x，y，)，(0，1，)又PAB，则cosPAB，即，化简即可得到x26y6.x20，则6y60，y1，·(x，y1，0)·(x，y3，0)x2(y1)(y3)x2y22y3，把x26y6代入即可得到·y24y3，当y1时，y24y3的取值X围为0，)，·的取值X围是0，)9(1)证明：连接OP，BD.因为底面ABCD为菱形，BAD60°，故ADABBD.又O为AD的中点，故OBAD.在APD中，APD90°，O为AD的中点，所以POADAO.设ADPB2a，则OBa

9、，POOAa.因为PO2OB2a23a24a2PB2，所以OBOP.又因为OPADO，OP平面PAD，AD平面PAD，所以OB平面PAD.(2)解：因为ADPB，ADOB，OBPBB，PB平面POB，OB平面POB，所以AD平面POB.又PO平面POB，所以POAD.由(1)得OB平面PAD，又OP平面PAD，故有OPOB.又因为ADOB，所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设AD2，则A(1，0，0)，D(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)所以(0，1)，(2，0，0)，(0，0)由(1

10、)知OB平面PAD，故可以取与平行的向量n(0，1，0)作为平面PAD的法向量设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则令y1，所以m(0，1，)设平面PBC与平面PAD所成二面角为，则|cos |cosm，n|，则sin ，所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为.10解：(1)当PB2时，平面PAD平面ABCD.证明如下：在PAB中，因为ABPA2，PB2，所以ABPA. 又ABAD，ADPAA，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)分别取线段AD，BC的中点O，E，连接PO，OE，因为ADP为等边三角形，O为AD的中点，所以POAD.因为O，E为AD，BC的中点，所以OEAB.又ABAD，所以OEAD，故POE为二面角PADB的平面角，所以POE150°.如图，分别以，的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系