锐角三角函数--讲义资料

1、锐角三角函数讲义一、基础知识点：(1)特殊角的三角函数值cosA 1t anA 090°10不存在L定义:如图在ABC中，NC为直角,我们把锐角NA的对边与斜边的比叫做NA的正弦，记作sinA： sinA = - c把锐角NA的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作COS A ; cosA = - c把锐角ZA的对边与邻边的比叫做NA的正切,记作tan A;tanA = - b2、三角函数值(2 )锐角三角函数值的变化：(1)当a为锐角时，各三角,函数值均为正数，且0<s i na<1, (KcosaVl,当 0° WaW45° 时，sintx , tan

2、a 随角度的增大而, c o s a随角度的增大而.(3)当 0° <tz <45° 时，s ina c o sa ;当 45° <a <90c 时，s ina c o3、同角、互余角的三角函数关系:同角三角函数关系：sin" + cos" = l.； tanA = I£l±.cosA(2 )互余锐角的三角函数关系:sM = cosB = cos。- " cosA = sin B = sin(90。-A)1、解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未

3、知元素的过程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表已知条件 一条边和 一个锐角和 ac A边A 边角角角 斜锐直锐解法3 = 90° -A,a=csinA,b = c cos A, S = c2 sin A cos AB = 90°-A,b = -,c = -, tan Asin A两条边 两条直角厂_r边 a和 b c = J +6" A, 5 = 90°A,S=c"2直角边a和 斜边 c b = yJc2-asinA = -,A,B = 90° -A c备注:a、b、c为三角形的三边;A、B、C为三

4、角形的三个内角、S为三角形的面积 三、典型例题：锐角三角函数的相关概念|3例 1、如图 1,在 RTZkABC 中,NC=9 0。，sinA=，则 tanB 的值为（。）3例2、如图,。0是4ABC的外接圆,AD是。0的直径，若。0的半径是二，AO 2 ,则s2inB的值是（）2334A. a B. 8<M）.一3243例 3：已知在RtZXABC中，NO为直角，AC = 4 cm, BC = 3cm, sinZA =.例 4：在中，NC = 90°, a, b, c分别是 NA, ZB, NC 的对边，若b = 2a ,则tan A =.例5：如图，在比/板中，/。=90&#

5、176;,/1后5,47=2,则cos/的值是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!AA51 Ocm, sinA,则6。的长为cm.例7:正方形网格中，NAO8如图3放置，则cos/AQB的值为（）A.叵5B.苧。C-典型例题题型一：求锐角三角函数的值例 1 在 RtZA BC 中，NC=90° , sinB=9,点 D 在 B C边上，且NADC=45° , DO6,求NBAD的正切值.变式训练 1 如图，在A3C中，ZAC8 = 90 , CO J_ AB 于，若 AC = 2。，43 = 3四,贝hanNBCO的值为（）a F）R " C 疾 o n

6、8233变式训练2如图,在等边4ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,4且NADE=6 0 ° ,BD=4,CE=一，则ABC 的面积为（） 3A. 8百 B. 1 5。 C. 9。D. 126题型三:化简计算例 1（1）计算：（l）”“（g）-3+（cos68 +?）。+|3出一8sin601.变式：已知a是锐角，且si n( a +15 ° )=正。计算 提-4cos a 一 （4 一 3.14）" + tan a +特殊角的三角函数值例1菱形。43c在平面直角坐标系中的位置如图所示，乙4。= 45°, OC = 0,则点8的坐标为()A.

7、(>/2,1) B. (L>/2) C. (>/2 + hl)D. (1,72 + 1)变式训练2.如图,直径为10的GM经过点。(0,3)和点。(0, 0), 6是y轴右侧。/优 弧上一点，则/次 的余弦值为().变式1图概念巩固练习1 .已知 AABC 中，月 C=4,6G=3,止5,则 sinA=（）3453A. - B. - C. - D. -55342 .已知a为锐角，且$皿"10。） = ，则。等于（）2A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°3 .如图，已知直角三角形A8C的斜边AB长为，ZB =

8、40 ,则直角边BC的长是（）A. msin40 8 B . ？cos40 C m tan40 D. 4 .正方形网格中，NAO8如图放置，则sinNAO3 = (A-f b-¥5 .在力 中，N C=90° , t a nA= 1,则 sim5=( )C4 D.穿6,直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8,现将A3C如图那样折叠，使点A与点8重合，折痕为。石，则tanNCB石的值是（）A."c 7u.3247、如图，月6是0。的直径，C、。是圆上的两点（不与/、6重合），已知夕。=2, tan ZADO1,则 A B=.2、锐角三角函数的应用性问题 （D求线段

9、长、面积、周长例1如图，测量河宽恕（假设河的两岸平行的在C点测得N宙匠30°点测得NB= 60° ,又。6 0 m,则河宽相为 m（结果保留根号）.变式1如图，一个小球由地面沿着坡度/=1 ： 2的坡面向上前进了 10 m,此时小球距离 地面的高度为（）A. 5 mB. 2 >/5 m C. 4 75 m D. Wr/aTTSL一3 7Z77777777777Z/77777777变式2如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0,直径16是河底线，弦CD是水位线，CD/ AB,且 C，=2 4 m, OEtCD千点 E.已测得 s i n /DOE;（1）求半径OD、（2

10、）根据需要，水面要以每小时0. 5 m的速度下降，则经过多长时间才OB能将水排干?3例2如图，菱形45 &9的边长为10 cm, DELAB, sin4=二，则这个菱形的面积=（2）测量问题例2、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹，同时对文宣塔的高度进行了 测量，如图2,他们先在A处测得塔顶C的仰角为3 0。；再向塔的方向直行80步到达B 处，乂测得塔顶C的仰角为60。，请用以上数据计算塔高。（学生的身高忽略不计，1步 =0. 8 m,结果精确到1m）（3 ）、航海问题例3、如图3,灯塔A在港口。的北偏东55。的方向，且与港口的距离为8 0海里，一艘 船上午9时从港口。出发向

11、正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正 北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.0 1海里/小时）（供选数据：s "55。=)A. sin A = B. tan A = C. cos B = D. tan B = " 2222 .如图，在坡屋顶的设计图中,AB二AC,屋顶的宽度1为10米，坡角a为3 5° ,则坡屋顶 的高度h为 米.（结果精确到0. 1米）3 . ZiABC 中，ZC= 9 0° , AB = 8, cosA = -,则 AC 的长是；44 .先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这 两树

12、在坡面上的距离也为（）A. 5cosa B. C. 5sina D. - cosasin a5 .如图1 0,已知Rt AABC中，AC=3, BO 4,过直角顶点C作CAAB,垂足为A1，再 过Ai作AC_LBC,垂足为Cn过4作CxA2± AB,垂足为A2,再过A ,作A：C2±BC,垂足为5,，这样一直做下去，得到了一组线段CAX,AC, Cd，则CA产,第7题图）笫5题图第2题图6 .某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为2、疗米,则这个破面的坡度为.7 .如图所示，小华同学在距离某建筑物夕米的点A处测得广告牌5点、。点的仰角分别为57和

13、斯，则广告牌的高度BC为 米悌青确至IJ 0. 1米）.（sin3s0. 57、c os3s % 6 82, tan3s %0. 70： s in520 %0. 79, cos 52° =0.62,t a n52T 0L2 8）8 . 4cos300sin60° + （-2r，-（72009-2008）° =.9 .( 1 )计算(一2)?+tan 45.2cos60 =(2)计算：2cos60。一(2009-兀)° +次=五、课后练习1.如图，小颖利用有一个锐角是3 0。的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离右5为5 m为1 . 5m （即

14、小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是12 .如图，在4ABC中，/8=45°,。0$=二，40 5&,则AABC的面积用含a的式子表示是（第15即图）13 .如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立 即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸 边看成是直线）向前跑到C点,再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离 B点最近的D点，再跳人海中.救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的 速度都是2米/秒.若N BAD=4 5°,NBCD=6 00 ,三名救生员同时从A点出发, 请说明谁先到

15、达营救地点B.（参考数据点比1. 4, 731.7）14 .如图13,某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的 距离（A8）是1.7m,看旗杆顶部M的仰角为45。；小红的眼睛与地面的距离（C0是 1.5m,看旗杆顶部M的仰角为30 .两人相距28米且位于旗杆两侧（点8 N,。在同 一条直线上）.请求出旗杆的高度.（参考数据：点比1.4,6比1.7,结果保留整 数）M15 .小刚有一块含有3 0。角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外 只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用 三角板标有刻度的一边测出量角器的直径四的长度为%/77;第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得N 60。为80° (0为月6 中点).请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边/