兰州一中实验班招生数学试题.doc

1、2012年兰州一中实验班招生试题数 学满分150分，时间120分钟一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的.1 .相交两圆的公共弦长为 6,两圆的半径分别为 3+5和5,则这两圆的圆心距等于()A.2B.7C.2 或 6D.1 或 72 .如图，在等腰 RtABC中，/ C=90o, AC=6, D是AC上一点,1tan / DBA=-,则 AD 的长为（）23 . 已知 m, n是万程 x2x 1 0 的两根A. 2 B. 3 C. .2 D. 1_2 2(7m14m a)(3n 6n 7) 8 ,则 a 的值等于( )A.

2、 -5B.5C. - 9D.94 .如图，已知正方形 ABCD的边长为4 , E是BC边上的一个动点， AEXEF, EF交DC于F,设BE= X , FC= y ,则当点E从“点B运动 到点C时，y关于x的函数图象是().25.右头数x,y满足X2y 4x 2y 50,则A. 1 B. 3 722C. 3-272D. 3 +2x/26 .二次函数y2axbx c的图象如图所示，则一次函数y bx ac与反比例函数a b c在同一坐标系内的图象大致为（O 1第6题图xA.B.C.yxO7 .小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校,所用的时间与路程如图所示.如果返回时，上、下坡速度仍然

3、 保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（）分钟 D.16分钟A.8.6分钟B.9 分钟 C.128 .方程x2+2x 1=0的根可看成函数象交点的横坐标，用此方法可推断方程1八1A .一x0B.22二、填空题（把答案填在题中的横线上一， 1y=x+2与函数y 的图xx3+x 1=0的实根x所在范围为D.八1C. 0 x -2.6小题，每小题6分，共36分）D. 19.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%.若该书的进价为21元，则标价元.10 .已知 Rt A ABC中，斜边 BC上的高 AD=4 , cosB=4 ,则AC=511 .某厂第一季度共生产钢190吨，二、三月份共生

4、产钢 150吨，则平均每月的增长率是1第13题图12 .如图，AB与 CD相交于 E, DA/ EF/ BC,且 AE:EB=1:2 , ADE的面积为1,则4 AEF的面积是第12酬期13 .如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形, 同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之 和为4的概率是,当圆柱的侧面的14 .将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示）面积最大时，圆柱的底面半径是 cm.数学试卷 第14页共12页答案一、选择题6.B7.C8.B13. -14. 131.D2.A3.C4.A5.D二、填空题29. 28 10. 5 11. 50%

5、12.3三、解答题(解答时，必须写出必要的解题步骤 .6小题，共74分)2215.(本题满分12分)已知关于 x的万程x 2(k 3)x k 4k 1 0.(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；(3)若以方程x2那么m k 4k 1 k 25 ,所以，当k= 2时m取得最小值5 .12分 2(k 3)x k2 4k 1 0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y m的图象上，求满足条件的 m的最小值. x2解：(1)由题意得=2 k 34 k2 4k 1 >0化简彳导2k 10>0,解得k<5. .4分(2)将1代入方程，整理得

6、k2 6k 6 0,解这个方程得k1 3 J3 ,k2 3点.8分22(3)设万程x 2(k 3)x k 4k 10的两个根为x1 , x2,2根据题意得m x1x2 .又由一元二次方程根与系数的关系得xx2k 4k 1 ,16.（本题满分12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2011年1月的利润为200万元.设2011年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元.由于排污超标，该厂决定从 2011年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从 1月到5月，y与x成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万

7、元（如图）.分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式.治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？解：.2分 当x 5时，200xy 40,所以当x>5时，y 40 20(x 5) 20x 60 ； .4分当y=200时，20x-60=200 , x=13,所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后,该厂利并闰达到200万元; .8分小一 200对于y ,当y=100时，x=2;对于y=20x-60,当y=100时，x=8,所以资金紧张的时间为8-2=6个月.

8、 .12分17 .(本题满分12分)数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题 ：1+2+3+4+5+ +99+100=?高斯很快得出了答案，他的计算方法是：1+2+3+4+5+ +99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+ -+(49+52)+(50+51)=50101=5050(1)请你利用上述方法或用其它的方法求s=1+3+5+7+2(n 1 )T+(2n T)的计算公式；(2)如图，第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边 中点而得到的，依次类推分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数

9、，由此推 测出第n个图形中三角形的个数，并求出第一个图形到第n个图形的三角形个数第17题图之和.解:(1)s=n2. .6分(2)第二个图形中三角形的个数 5; .7分第三个图形中三角形的个数9; .8分第四个图形中三角形的个数13; .9分第n个图形中三角形的个数4nW; 10分第一个图形到与第n个图形的三角形个数之和为2产力. .12分18 .（本题满分12分）（1）如图,A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂到河堤的距离AC为住簿B工厂到河堤的距离 BD为2km经测量河堤上 C D两地间的距离 为6km现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A B两厂到污水处理厂的排污管道最短，

10、污水处理厂应建在距 C地多远的地方？（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若y Jx2 1 J（9 x）2 4 ,当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值.CD笫18国国解：（1）延长AC到E,使CE=AC连接EB交CD点P,则点P就是污水处理厂所在 的地方（画出图形）.设 CP=x 则 DP=6-x,由点A与点E的对称性可知/ APC=/ EPC又由对顶角相等可知/ BPDW EPC/ APC=/ BPD又. / ACP=/ BDP=90 ,. .AC。 BDPAC CP BD DP1 x-,2 6 x解得x=2,所以，污水厂应建在距离C地2km处；

11、 6分（2）仿照（1）中建立图形，,x2 1. (9 x)2 4中的 1即是图中的 AP, 7(9x)4即是图中的BP.所以仿照yx2 1 . (9 x)2 4的最小值就是AP+BP勺最小值，(1)中找到点A关于直线CD的对称点E,连接EB,与CD的交点就是所求的点 P.一 AC CP由 ACW BDP得 BD DP1 x-,2 9 x解得x=3,所以当x=3时，y Jx2 1 J(9 x)2 4有最小值,最小值是 y 432 1 J(9 3)2 4 3Jl0 .12分19.(本题满分13分)如图，O。的半径为1,点P是。上一 点，弦AB垂直平分线段OP ,点D是Apb上任一点(与端点A、 B

12、不重合)，DELAB于点E,以点D为圆心、DE长为半彳5作。D, 分别过点A、B作。D的切线，两条切线相交于点 C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ ACB是否为定值，若是，求出/ ACB的大小； 否则，请说明理由；S(3)记 ABC的面积为S,若一=4展，求 ABC的周 DE长.解：(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.,.弦 AB 垂直平分线段 OP, . OF= 1OP= 1 , AF=BF. 22在 RtAOAF 中，AF= JOA2 OF 2 = J""( = g ,AB = 2AF= 73. .4 分(2) / ACB是定值.理由：由(1)易知，

13、/ AOB=120°,因为点D为4ABC的内心，所以，连结 AD、BD,则/ CAB =2/DAE, /CBA=2/DBA,因为/ DAE + Z DBA = Z AOB = 60°,所以/ CAB + Z CBA = 120° ,所以/ ACB =260 ° .8分(3)记ABC的周长为l,取AC, BC与。D的切点分别为 G, H,连接DG, DC, DH,则有 DG = DH = DE, DG ±AC, DH ± BC.S S ABD S ACD S BCD=1 AB?DE + 1 BC?DH+ 1 AC?DG = 1 (AB+

14、 BC+ AC) ?DE = - l?DE.1S _-lgDE _=4亚 2=473 ,1 = 873 DE.DE2DE2. CG, CH 是。D 的切线， ./ GCD= 1 Z ACB =30°,2在 RtCGD 中，CG= DG = 2E_= V3DE, . CH = CG = J3 DE . tan30 o 33又由切线长定理可知 AG=AE, BH = BE,l = AB+ BC + AC= 23+273 DE = 8 DE,解得 DE = 1 ,3.ABC的周长为 趣 .13分37第20题圉，一 .一, .一 .2_20.(本题满分13分)如图，设抛物线Ci：y a x

15、15, 2C2： ya x 15 , Ci与C2的交点为 A, B,点A的坐标是(2,4)，点B的横坐标是2.(1)求a的值及点B的坐标；(2)点D在线段AB上，过口作*轴的垂线，垂足为点H, 在DH的右侧作正三角形 DHG.记过C2顶点M的 直线为l ,且l与x轴交于点N.若l过4DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2), 求点N的横坐标；若l与 DHG的边DG相交，求点N的横坐标的 取值范围.解：(1) 点A (2,4)在抛物线C1上,2把点A坐标代入 y a x 15得M(1,5), D(1,2),且 DHx 轴，点 M 在 DH 上，MH=5.4分a=1. .2 分2抛物线C1的解析式为y x 2x 4,设 B(2, b),b=4,B( 2, 4).(2)如图1 ,过点G作GEDH,垂足为E, 由 DHG是正三角形，可得EGME=4.设 N ( x, 0 ),则 NH = x- 1, 由MEGsmhn,得-ME-.4 ,. x 5V35 x 14点N的横坐标为Mj3 1 .4当点D移到与点A重合时，如图2, 直线l与DG交于点G,此时点N的横坐标最大. 过点G, M作x轴的垂线，垂足分别为点Q , F,设