打好基础适度创新-兼谈数学的欣赏（张奠宙）

1、打好基础，适度创新打好基础，适度创新- - 兼谈数学的欣赏兼谈数学的欣赏 华东师范大学数学系华东师范大学数学系 张奠宙张奠宙 2008. 7.8 2008. 7.8 郑州郑州数学新闻n2008年3月13日，n美国教育部长 玛格丽特斯百林（Margaret Spellings）在新闻发布会上宣告， 美国总统布什委任的“国家数学咨询小组” （National Mathematics Advisory Panel）的报告今天正式发表。 美国报告的标题：为了成功打好基础National Mathematics Advisory PanelFinal Report, March 2008关键提要：强调代

2、数的重要性n 本报告向总统提供数学教学的建议， 一个特殊的焦点是学生在“代数”上的准备与学习。小组报告强调 代数学习的重要性。n早期发展有关算术事实的快速回忆，并在中学继续掌握分数的运算。在这些坚固的基础之上，进一步要求学生为高中或稍早些时候的严格的代数课程作好准备。n小组报告的研究表明，小组报告的研究表明， 如果学生能够很好地如果学生能够很好地掌握代数，掌握代数， 那么他们就能在大学里获得成功，那么他们就能在大学里获得成功， 并在并在2121世纪全球经济发展中得到较好的就业机世纪全球经济发展中得到较好的就业机会。会。如果我们希望填平穷人和少数族裔学生与如果我们希望填平穷人和少数族裔学生与其同

3、龄人之间的鸿沟，其同龄人之间的鸿沟， 那么我们必须加强学那么我们必须加强学习代数以及其他严谨的数学课程。习代数以及其他严谨的数学课程。报告指出，不在“学生中心”和“教师主导“之间偏向哪一方， n要尊重教师的作用， 尊重他们在决定如何教数学概念何技能时所处的关键地位。n反复强调基础：数学基本知识和基本技能的掌握。n鼓励学生努力学习，而不是简单地凭兴趣和快乐 美国教师质量委员会（NCTQ）n 6月26日宣布报告：“没有公分母”n美国小学数学教师质量不如外国同行n 原因很多， 一个主要问题是不能懂得他们所要教的数学n 数学课程没有“公分母”任重而道远n当美国开始纠正自己的缺点， 大踏步改进数学教育的

4、时候， 我们也应该摆脱应试教育的羁绊， 防止重重应试压力下的空转，在创新教育和素质教育的大道上迈进。美国优秀学生的数学能力， 远超我国学生的应试能力。尊重和发扬优良传统， 吸收和消化国外的成功经验， 是我们不可忽视的两个方面。 正视差距n 我国数学优秀学生与世界的差距在拉大。n 应试教育拖累了优秀学生的成长。n 国外顶尖高中生学习什么？ 微积分， 线性代数，微分方程， 量子力学，分子生物学。俄国数学物理学校 现代几何大纲举例n第7章 曲面31 曲面上的几何n曲面的概念n双面曲面和单面曲面n曲面的内部几何n32 曲面的面积n曲面面积的概念n外切多面体和凸曲面的面积定义n球面积n部分球面积n圆锥曲

5、面和圆柱曲面的面积n32的补充 曲面面积的又一个定义第10章 现代几何学与相对论n46 现代几何学n现实空间的可能几何学n多维空间， 拓扑学 ，几何学原理 n向量空间n现代几何学的根本区别 几何学与现实n47 相对论与几何学n相对论的产生 n相对论的公理 洛伦茨变换 时间的相对性 世界的几何学 n伪欧氏空间， 补充 ， 一般相对论的概念 2006年费尔兹数学奖章颁布n n费尔兹（1863-1932）n费尔兹奖章常被称为“数学诺贝尔奖”，其荣誉与诺贝尔奖相当。n1983年以前的费尔兹奖章获得者每人有1500加元奖金1990年，每位获奖者可以得到15 000加元奖金。 2006年的菲尔兹奖获得者欧

6、克恩科夫（Andrei Okounkov) n欧克恩科夫1969年出生于前苏联莫斯科，1995年获莫斯科国立大学博士学位；他曾在俄罗斯科学院、美国普林斯顿高级研究所、芝加哥大学和加利福尼亚大学贝克莱分校等处任职，目前是美国普林斯顿大学的数学教授。拒绝领奖佩雷尔曼( Grigori Perelman)n佩雷尔曼1966年6月13日出生于前苏联列宁格勒（现已恢复旧名圣彼得堡）的一个犹太人家庭；1982年参加中学生国际数学奥林匹克竞赛，以满分获得金牌；随即进入列宁格勒国立大学学习几何，获博士学位在著名的斯捷克洛夫数学研究所工作，期间曾赴美国访学。 “如果我的证明是正确的，别种方式的承认是不必要的。”

7、 陶哲轩 （Terence Tao)n1975年出生于澳大利亚阿德莱德，父母是香港移民。2岁就识字，7岁自习微积分；n11岁起连续3年参加中学生国际数学奥林匹克竞赛，接连获铜奖、银奖和金奖；n15岁大学毕业，n21岁获普林斯顿大学数学博士学位n目前在美国加利福尼亚大学n洛杉矶分校任数学教授。n沃纳1968年出生于德国，1977年加入法国籍，1993年获法国第六大学博士学位，1997年起任巴黎第十一大学数学教授。沃纳(WERNER Wendelin ) 启示n数学英才何处寻？高考减负磨人平；数学英才何处寻？高考减负磨人平； 丘陵绵延风景好，不见奇峰高入云。丘陵绵延风景好，不见奇峰高入云。n 理想

8、与功利n 英才与减负n 高考状元和科学理想n 俄罗斯的数学物理学校。中国少年体育学校n 天才班与科举意识。n 基础与发展 n 关于高中数学课程改革21世纪高中数学课程改革n 时代的需求：计算机时代，算法， 概率统计，微积分，向量n 数学的进步：数学应用，数学建模；优化，数据处理n 教育的发展：大众数学，创新竞争；文化素养； 在百年一遇的改革中前进课程内容与时俱进n概率统计以单独的学习领域大步进入课程；n计算器终于进入课堂；n研究性学习（数学课题学习、项目学习）列入课程；n数学建模逐步取代老式应用题；n数学文化提到议事日程；n算法进入课程n几何：直观感知-操作确认演绎证明向量计算n解析几何、立体

9、几何压缩n微积分 直观表述，研究函数性质n数学课程大众化、通俗化，常识化数学课程大众化、通俗化，常识化n从窄而深到广而精从窄而深到广而精 选择性n必修：5模块n文理分流n 丰富的选修课n 校本课程：按实际情况调整。n 考试统一和选修多样的矛盾没有解决。目标n 建设具有中国特色的数学教育学派：n 扎实基础，培育创新。n 改革是硬道理。n 但是不要走极端。几代数学教师1919-1949 第一代1949-1979 第二代1980-2000 第三代2001- 2019 第四代 第一代：模仿（1919-1949）n 贫弱的国家，数学教育全盘学习英美。n 平面几何，方程，三角恒等式为主线n 全采用讲授法。

10、n 没有考试压力。 穿长衫的诲人不倦的学者， 以解平面几何难题，解析几何的心脏线、蚌线，三角恒等变换为最高境界。n 出现陈省身，华罗庚，杨振宁、李政道、钱学森这样的大数学家、科学家。第二代：严谨（1949-1979)n 解放后学习苏联，使用苏联教材；n 重视概念，演绎推理，严谨，形式化；n 讲授法，谈话法，反对满堂灌；n 很少考试压力，不让一个阶级兄弟掉队n 穿中山装的，一丝不苟的长者，以“讲深讲透”，打好双基为特征。n 培养了新中国的一代知识分子，如王选，陆家羲等；第三代：解题（1980-2000）n 拨乱反正，高考升温n 解题的一代。奥赛难题呈现。n 数学思想方法（实为解题方法）n 西方数

11、学教育理念引进：问题解决，数学现实，再创造等。n 经济发展与高考压力与日俱增。n 穿茄克衫日夜奋斗解题的形象。n 培育了改革开放以来的一代年轻知识分子。第四：改革（2001-2019）n 全球化的信息时代， 数学从社会的幕后走到台前。n 百年一遇的数学课程改革启动；n 高考压力与改革诉求并存。考验这一代数学教师的 智慧。n 以笔挺的西装到国外考察，建设有中国特色的数学教育学派。教育理念n为了国家未来的竞争，青少年的成长，需要提高民族创新能力；n教育上的自主、探究、合作， 需要大力提倡。n 但是， 中国的数学教育基本上是好的。不象计划经济模式那样需要彻底抛弃。n 考试保证了基础扎实，考试的八股化

12、会抑制学生的创新精神。第四代老师的历史任务n 适应社会需要，寻求升学教育和素质教育的结合点；n 保持理性的改革理念，不为“考试八股”唱赞歌。n 总结适合中国国情的数学教育理论，打好基础，力求创新。不要走极端。n 在2019年，五四运动100周年时，以具有中国特色的数学教育走向世界。一则寓言n 非洲土著居民，非洲土著居民， 居住在茅草居住在茅草 屋内。屋内。 每天烧柴照明，一直相安无事每天烧柴照明，一直相安无事。n 一天， 某文明人士， 说我给你们带来光明， 用电灯。 这当然是好事。n 一年以后， 茅草房轰然倒塌。n 原因：烧柴有烟， 驱赶昆虫。 用了电灯， 昆虫繁殖。房梁、茅草蛀坏。n 我们在

13、引进我们在引进“先进先进”东西的时候，东西的时候， 必须看它必须看它是否和原来的环境相匹配。是否和原来的环境相匹配。 应该采取预防措应该采取预防措施施。 李瑞环的“茶山”比喻见学哲学、用哲学n老妇将一把宜兴老茶壶到街上卖。茶壶内有茶山（垢）， 不放茶也有茶香。开价5钱， 一买主愿出三两银子买下。但身边未带钱， 嘱老妇等半个时辰取钱来买。n 老妇好心，觉得买主肯出大价钱买， 需要将茶壶用沙子擦洗干净才好。n 那买主拿钱来一看， 茶山已经没有了，连5钱银子也不愿买这把壶了。 有的传统文化象茶垢， 看上去其貌不扬，贸然改掉，损失很大。要好好认识自己。关于教师的主导作用。关于教师的主导作用。 n课程标

14、准拿教师的主导作用开刀， 界定教师的作用是“组织者、引导者、合作者”。n胡锦涛总书记在两院院士大会的讲话指出：“在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育在尊重教师主导作用的同时，更加注重培育学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维”。重提“教师主导作用”， 又更加注重学生的主动精神，就把二者统一起来了。 认识论不能等同于教学论。n建构主义只是一种认识论。n研究人的认识事物的规律，可以不计时间成本，不讲效率。 n但是， 数学教学必须在很短的时间内将人类几千年来积累的数学知识， 让学生很快地取其精华，掌握其核心的、基础的部分。 n只讲“建构”不讲效率， 就是“矫枉过正

15、。数学主要是个人思考的学科n合作的种类很多， 如通力合作、分工合作、以及交流合作等。 n数学主要是个人思考的学科， 合作的目的在于交流。 n因此， 数学课堂上的合作， 必须建筑在个人思考的基础上， 没有个人的深入思考， 合作交流就是一句空话。n 只讲合作， 不谈独立思考， 也是矫枉过正。数学教育中的“去数学化”倾向n 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。n “去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。教什么永远比怎么教更重要教什么永远比怎么教更重要n 吃什么永远比怎么吃更重要吃什么永远比怎么吃更重要n数学教学研究：数学教学研究：

16、 上通数学，上通数学， 下达课堂下达课堂n教学的基本要求：教学的基本要求： 吃透教学内容，讲清楚吃透教学内容，讲清楚两本新书： “审视自己”n 数学双基教学n“坚实的基础， 加上创新的思考”，是优质教育的主旋律。 缺乏基础的创新是空想， 不想创新的打基础则是傻练。 n定义：在掌握数学基本知识和基本技能的基础上，注重学生发展创新的教学。双基教学的理论基础n必要的记忆是通向理解的前提n熟练的运算是提高思维效率的关键n严密的逻辑演绎是形成正确思维的的保证，n有变化的重复是获得创新发展的手段。青霉素与“芥菜卤”n2008年5月1日 文汇报有文章“牛胆、芥菜与青霉牛胆、芥菜与青霉素素”。 n今天临床上常

17、用的青霉素，一九二八年十一月，由亚历山大弗莱明爵士发明。n文中又说，“明代，在常州天宁寺。寺院里埋着许多极大的缸，缸中放着芥菜，先是日晒夜露，使芥菜霉变，只防雨水侵入，当芥菜霉变越来越严重，长出绿色的毛（即“青霉”），长达三四寸时僧人即将缸密封，埋入泥土，要等到十年之后方才开缸应用。n陈年芥菜卤，专治高热病症，如小儿“肺风痰喘”，即现代所谓的“肺炎”。大人的肺病，吐血吐脓，即肺痨病、脓胸症及化脓性的呼吸系统疾病，效果非常好。其实这就是中国早期发明的青霉素。“数学双基”与“芥菜卤”n中国的“数学双基教学”， 很有些象“芥菜卤”。 明明有效， 却不受教育界的重视。当今的教育理论， 主要学习美国，诸

18、如“探究、发现、贴近生活、合作学习、数感、符号感”， 悉数来自海外的“教育超市”。 n一旦美国学者提出“打好数学基础才能获得成功”的理论，科学地加以阐释之后，数学教学中 的“青霉素”随之出现。那时，我们又要对之顶礼膜拜。 n至于“中国的数学双基教学”自然就变成一缸“芥菜卤”了。 n 关于欣赏数学一个启示： n 语文教学， 着重欣赏；学生会欣赏唐诗， 却不会做唐诗。n 数学教学， 着重求解；学生会做题目求出解答， 但是不会欣赏。 （一看就会，一做就对，这是“机器人”） 欣赏，亲近，理解，会做，运用，发展欣赏，亲近，理解，会做，运用，发展 第一部分第一部分 数学欣赏之一 数学的教育形态 “返朴归真

19、返朴归真”， “ “平易近人平易近人”， “ “言之有理言之有理”，“感悟真情感悟真情” 数学文化与数学思想n 数学不只是事实的堆砌； 数学不限于技巧的运用；n 数学解题不等于创造； 数学整体不等于数学杂技。n 数学考试只是把别人已经做过的题目重做一遍而已 “学如箭镞， 才如弓弩， 识以领之， 方能中鹄” （清 袁枚）n 数学思想、观念的突破性创新， 是对数学文明的主要推动力。n 把数学思想阐述充分， 数学文化就在其中了。 案例1 数学是一种“关系学”n 数。运算关系， 相等关系， 序关系n 形。全等、相似、同构， 同胚n 式。 等式关系 - 方程 变量依赖关系 - 函数 向量变换关系 - 矩

20、阵案例2 方程的定义（外表的描述）：（外表的描述）：“含有未知数的等式叫方程”n （本质的刻画）：（本质的刻画）：方程是为了寻求未知数， 在未知数和已知数之间建立起来的一种等式关系。n 哪一句话更重要？ 更有文化品位？ （一张照片和一本传记）什么是方程？n“方程”的思想， 说穿了不过是“拉关系“n 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。 n朴素的思想， 正是一种文化现象。案例3 “三根导线”问题。 数学建模思想n 在看起来“没有数学问题”的地方发现数学问题， 那往往是“大”的数学创造。n只会把“别人已经做过的问题重做一遍” 是远

21、远不够的。n 国际数学奥林匹克竞赛金牌难拿， 但是， 三根导线的作者所具有的创新性， 则更加难能可贵。看不见数学的领域运用数学看不见数学的领域运用数学 19481948年的数学地图年的数学地图n19481948： 美国仙农发表美国仙农发表信息信息的数学理论的数学理论n19481948：维纳发表：维纳发表控制论控制论。信息、信息、控制控制是数是数学吗？学吗？n1948： 冯冯诺依曼：诺依曼：计算机计算机方案形成方案形成n 中国缺乏这样的数学偶像中国缺乏这样的数学偶像 ！案例4 以2为底的对数。 仙农(Shannon)研究信息论n 一.信息量 烽火台. 传送一个信息量 log2 2 =1. 两个烽

22、火台. 1. 敌人来? 2.要否补给? 四种情况. log2 4 =2. 信息是 0,1 符号串.n 二 . 概率和信息量: “狗咬人” “人咬狗”. “今天太阳升起”, “今天日食”. 事件的概率P(E)大, 传送此事件的信息量H(E)小. H(E) = 1/ P(E)? H(E) = - P(E) log2 P(E). 案例5 对称与对仗：不变量思想n 对称是变换以后的不变性质n x2 + y2 是对称多项式 （ x -y, y -x)n 上联变成下联：但是多是不变的 n 明月 - 清泉 自然景物不变n 明-清（形容词）；n 月-泉 （名词）n 变中有不变。变中有不变。 道理是一样的！道理

23、是一样的！明月松间照清泉石上流不变量之科学美n 民族要发展， 但是传统不变；n 物理上能量守恒；n 解方程： 移项、变形但是保持“根”不变；对称；分对称；分数的不同表示，数的不同表示， 交换律，交换律， 方程的同解；方程的同解； 恒等式恒等式 sinsin2 2x x + + cos cos2 2x x =1 =1;n 拓扑学：七桥问题；几何不变量，代数不变量。 拓扑不变量： 多面体欧拉定理， 七桥问题。 陈类案例6 函数的两个定义： 宏观与微观n 人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；局与局部；物理学上的宇宙与原子； 艺术上艺术上的写意与工笔的写意与

24、工笔 n 初中的函数从大局发展着眼， 宏观地观察数量之间彼此依存的关系， 看总体发展趋势。n 高中函数定义讲究微观地、静态地观察， 用两个数集之间的对应来描述。 仔细到分段函数的端点在哪一段上（100克以上， 含100克）n 两种定义互有短长，并非高级与低级之分两种定义互有短长，并非高级与低级之分 案例7 分数的基本性质：等价类思想n 分数的教学n 分数的约分与扩分n 分数是一个等价类：1/2 = 2/4 = 3/6 = n 一个集体， 彼此平等， 各有各的价值n 一个人， 可以有多种衣服， 本质一样案例8 有理数的运算： 抵消思想n 有理数加减的学术形态：用绝对值书写的规则；n 有理数的教育

25、形态： 抵消。n 负负得正： 并非实际例子的抽象， 它是一种约定。n 不能不做就是要做。案例9 三角比。 折扣观点n 张景中院士建议： 正弦定义为单位菱形的面积。 单位正方形所打的折扣折扣n 梯子的数学：CADBCADB 案例10 理论概率和经验概率 随机思想n 等可能性出发定义概率 （北师大版） 传统。形式化处理。但是片面。 不能解释降水概率、次品率、事故率等等n 用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。n 两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”， 是一个理论问题， 也是实践问题。第二部分 数学欣赏之二： 高中数学的整体性分析： 线性数学和向量高中数学的

26、分类n 学科分类n 代数， 方程，不等式n 三角 ，n 立体几何， 解析几何n 数列极限n 排列组合按照数学对象的特征分类n线性数学：线性方程，线性方程组；一次函数，线性规划，直线方程 ，平面方程， 矩阵， 复数n 非线性数学： 函数， 幂函数， 指数对数三角函数， 二次函数， 二次曲线方程。n 随机数学： 排列组合，统计， 概率关于向量n 平面上 的点： 坐标方法n 平面向量： 向量的分量（投影）n 三角比： 三角形的正弦，余弦n 三位一体。向量的 优势n 点不能运算。n 三角形的 内角不能超过180度。n 向量则可以进行加减运算， 数乘，内积。n 威力要远远大于一般的 坐标方法 平面上 点

27、，向量， 复数三位一体n 宏观地把握数学：数学结构n 点：原始人，赤手空拳，石器时代 点的坐标， 不能远算n 向量： 古代人，大刀长矛，冷兵器 向量有加减， 数量乘积， 没有除法n 复数： 现代人， 火枪大炮， 热兵器 复数的加减和向量同， 但是有乘除向量与三角n 任意角，诱导公式， 符号规则，和角公式。n 单位向量的运动， 和三角函数的图象。n (法国)勾股定理证明三角公式 a=c cosb, b = c cosA因C为直角，cosA cosB =0， a2+b2= c2 cos2B +c2 cos2A = c2 sin2A +c2 cos2A = c2 所以 sin2A + cos2A =

28、 1abcABC向量与矩阵n 向量空间n 矩阵变换 向量 向量n 线性方程组的解， 变换的逆向量n 通向线性代数。n 线性数学已经成熟。n非线性数学问题尽可能归结为 线性数学。n但是， 非线性数学非常复杂， 二次函数即可产生 混沌第三部分数学欣赏之三 “数学本质”的呈现数学本质被两种活动所掩盖： 1。过度的形式化。过度的形式化。 “ “淡化形式，淡化形式，注重实质注重实质”。 2 2。教条式的改革。表面热闹、缺乏。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。效率的教学过程。 例例1。正弦定理的教学。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计）n请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的

29、长，并用计算器分别计算c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？n（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）学生abcABCc/sinCB/cosAA/sinAA/conBB/sinBA4.13.33.757005006004.3309.6494.3636.3784.308B5.33.13.6107.5033039.505.660-10.3015.5576.3205.692c3336006006002.59862.59862.598根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？正弦定理是量出来的吗？n 分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数

30、学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。n正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。n正弦定理的本质在于找到正弦定理的本质在于找到“三角形的边三角形的边与角的关系与角的关系”， 平面几何平面几何“大边对大大边对大角角”的数量化。的数量化。n三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。 例2。 Freudenthal经典情景：巨人的手巨人的手（通过（通过“量量”掌握数学本质）掌握数学本质）n比例只是比例只是“照片放大照片放大”、“地图比例尺地图比例尺”？n黑板上留下巨人的手印，黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸人使用的书籍、桌子和椅

31、子的尺寸。 活动设计： 1。 用自己的手和巨人的手相比。用自己的手和巨人的手相比。 2。 定下定下“比值比值” 3。 量自己的书、桌子、椅子尺寸量自己的书、桌子、椅子尺寸 4。 用比例放大用比例放大 （量得有价值，（量得有价值， 有意义有意义） 例3.余弦定理与余弦定理与三点距离问题三点距离问题 - 表示能力的培养表示能力的培养n（荷兰）甲离学校（荷兰）甲离学校10公里，公里， 乙离甲乙离甲3公里，公里， 问乙离学问乙离学校几公里？校几公里？n训练学生的数学表示能力。n甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。 校 乙 甲 乙 坐标。参数。复数。空间 例4。坐标的价值， 仅仅是确定位置？n 将教室的

32、课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；n 坐标对应学生， 请学生自己看坐标；n 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等的站起来；n 换一个同学做坐标原点。换一个同学做坐标原点。n 这样活动，这样活动， 抓住了抓住了“坐标坐标”的数学实的数学实质。质。笛卡儿与坐标几何n 最简单的处理， 是展示笛卡儿的画像， 说明他建立了坐标系，创立了解析几何， 使得数与形结合起来。 n有的著作则将做三个梦的传说， 确定天花板上蜘蛛位置的想象，渲染一番，却没有揭示笛卡儿创立坐标方法的文化底蕴。 不当的叙述。（中国数学教育2007年12期 48页n早在1637年以前，法国数学家、解析几何的创始人笛卡儿受到了经纬度的

33、启发，地理上的经纬度是以赤道和本初子午线为标准的，这两条线从局部上可以看成是平面内互相垂直的两条直线，所以笛卡儿的方法就是在平面内画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴建立平面直角坐标系，从而解决了用一对实数表示平面内的点的位置的问题n点评：重走科学家探索之路可让学生体验数学是从生活中产生，从而培养学生的探索精神，激发学生的学习兴趣 ？李文林：数学史概论140页n笛卡儿在笛卡儿在方法论方法论中尖锐地批判了经院哲学，特别是被奉中尖锐地批判了经院哲学，特别是被奉为教条的亚里士多德为教条的亚里士多德“三段论三段论”法则，认为三段论法则法则，认为三段论法则“只只是在交流已经知道的事情时才有用

34、，却不能帮助我们发现未是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情知的事情”他认为他认为“古人的几何学古人的几何学”所思考的只限于形相，所思考的只限于形相，而近代的代数学则而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚太受法则和公式的束缚”，因此他主张，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短”这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反了文艺复兴这种怀疑传统与权威、大胆思索创新的精神，反了文艺复兴时期的时代特征时期的时代特征n笛卡儿的哲学名言是：“我思故我在”他解释说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有的事

35、物都来怀疑一次”， 用怀疑的态度代替盲从和迷信，依靠理性才能获得真理。”例5 斜率教学n 斜率和斜度（坡度）的区别。n 坡度， 用角度量。 45度角， 几乎直角n斜率用角的正切。 为什么？根本原因是为了表示直线的方程 y = kx .美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计n 为了联系学生生活实际, 提出情景: “早上起床时, 你先要从床上起来(rise), 然后走到厨房去做早餐(run)” 由此联系到斜率的概念: 纵距离与横距离之比 rise over run.评论：评论：教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思, 并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例. 难道每

36、个rise和run 都有斜率的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么?)例6。微积分的问题驱动n（1） 全局的问题。抛物线 y = x2 , 可以用许多方法研究， 试观察它的切线。n （2）关键的问题。割线的极限位置n （3）增量的重要性微积分是增量分析 （4）增量比的极限克服极限例7。概率的统计本质n传统：掷骰子 等可能性 排列组合 理论概率 计算概率（考试）n 现代：掷骰子 实验 频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法。 案例8 统计怎样通向概率n 总体 样本 （抽样）n 直方图 概率分布n 平均数 数学期望n 参数 参数估计， 假设检验第四部分n 数学欣赏和文学意境

37、案例1 0、空集与道德经n ”道生一， 一生二， 二生三， 三生万物n 0 是自然数n 0 1 2 3, n ， ， ， ，, , n从空集开始, 将前面的各个集合作为新集合的元素, 形成自然数列 案例2 微积分和文学意境n “孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流” （极限的意境） “满园春色关不住， 一枝红杏出墙来”无界变量的意境：例3。 时间和空间 n 初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，前不见古人， 后不见来者，后不见来者， 念天地之悠悠，念天地之悠悠， 独怆然而涕下独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。n 时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。 天地各为两个平面， 悠

38、悠地、无限地伸展着。 我们的几何就是在这样的空间里展开的。 实际上， 地球上的几何就超出了这个范围： 非欧几何。揭示数学的文化内涵 例4。数学解题意境n“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。”（蝶恋花 晏殊）n衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”（蝶恋花 柳永）n“众里寻他千百度,蓦然回首,那人正在,灯火阑珊处。” （青玉案 辛弃疾）一个深切的感受n 实事求是，实事求是， 不要搞绝对化不要搞绝对化第五部分n 关于数学中的 “约定”性知识 约定性知识通常不需要了解过程，不适合问为什么， 只要“执行”就是了关于“过程性目标”n过程性目标的基本出发点就是要把概念,法则,公式等“惰性”结果还原为探索发

39、现,迁移创造,勾通关联,反思运用的生动过程n只有以“经历过程”的视角设计教学过程，从学生已有经验出发，首先让学生尝试，接着引导学生找出计算错误的原因，然后在此基础上启迪学生找出自己计算比较简便的方法，达到学习的最优化。最后再引导学生反思整个学习过程，谈收获和体会。 进步， 但不能绝对化n 过程性目标不是任何内容、 每堂课都必须设立的；n 有些概念和法则， 是约定性知识， 不要强求“过程；n ”过程的展示， 需要成本。 为了教学效率， 有时不得不放弃一些过程。n 理解、体验、感受知识发生过程， 要化在重要的、适合展示的过程中，那是需要精心设计的。世界上的知识： 约定和非约定n 约定的：法律条文，

40、 交通规则，贸易协定，行政手续，名词定义等。n 非约定的：数学问题， 科学规律，战争策略，政治路线。n 知识因需要不同，对发生过程的了解也不同： 专家？专家？ 工具？工具？ 常识？常识？ 歌德巴赫猜想。三角形三条高交于一点。勾股定理 因人而异数学中有些只是约定n 符号 y =f(x), + - ，指数ab log sinn 名称 仰角， 俯角， 正弦， 余弦n 定义 代数式， 整式， 多项式， 方程，函数n 习惯n 规则 使我一整天不快乐的谈话n 某教研组长说：“我反对预习。我要上公开课。希望学生自己“发现”仰角、俯角的名称。 一旦预习，发现没有了，自主没有了， 创新也没有了。 n 廉价的发现

41、；无谓的探索； 虚假的活跃；表演的创新。 我感谢主人的介绍和招待， 但是那一天我一直不快乐。负负得正n 世界上还没有公认的实际模型n 常用的 例子是 火车的 位置， 自东向西为正，0点正好在0位置，每小时100公里。 问负3小时之前的位置。 n 但是，我们有其他的例： 每天亏3元，今天为0，后三天和前三天亏多少？一样， 都是亏9元。n -4 0 4 8 （-4）向右移三倍 （-4） 3 = 8 ？！ 负负得正是不能发现的n 数学约定的教学， 只能是“有意义地接受”。 n可以做解释， 使人相信， 并非“概括”可得。 “约定”一般不能证明n 负负得正可以由有理数公理推出来。n 有理数公理则是“约定

42、”n 代数式怎么教？n案例一案例一: 着重创设情景着重创设情景浙江版数学教材设计）引例：n“一隧道长l米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为t分，则列车的速度怎么表示”导入新课，并指出：象“”，“”这类表达式称为代数式。n这样创设的情景好不好？ 我们认为不好。 看起来联系生活实际， 实际上离开学生的实际很远。 已知时间t ， 求火车速度这样的问题， 不是初一学生所需要， 也不是他们容易感受的。情景创设远离教学主题， 只求包装靓丽，不管学生需要， 是一种时髦的、但不好的倾向。 n从一个难学的例子引出一个易懂的定义，如西方谚语所说：“把马车放到了马的前面。”代数式怎么教？n在黑板

43、上写下代数式的定义：n“由运算符号、括号把数和字母连接而成的表达式称为代数式”。特别指出，单独一个数或字母也称为代数式。n 然后判断哪些是代数式， 哪些不是。例如3+5， 1/2+1/3 等不是代数式。代数式怎么教？n天底下的许多定义是不要背诵的。举例来说， 辞海中关于汽车的定义是： 一种能自行驱动的主要供运输用的无轨车辆”。n请问， 有谁会去背这种汽车定义？又有谁会不认得什么是汽车呢？n代数式也是这样。已故的西南师大陈重穆教授说过， 方程定义不需要背， 书上的大多数黑体字都不需要背。有些学术形态的黑体字， 如勾股定理、三角公式等必须记住， 有些则只要有“教育形态”的了解就够了。代数式怎么教？

44、n案例三案例三: 着重问题驱动。着重问题驱动。n一位有经验的老师让学生自学教材，读代数式的定义， 及教材上的“代数式例子。学生读懂教材没有问题，但是教材并没有说”代数式”是怎么来的，有什么作用。 于是， 老师大胆地提出开放式问题：“我们怎样用字母表示一个奇数？”代数式怎么教？n用一个学生容易把握的、又有启发性的问题点燃学生的求知欲望。 学习数学， 必须做数学。自己动手做， 是最重要的。正如文中所提到的， 老师用一个问题把“知识的发生过程”揭示出来了。n问题驱动，和哗众取宠的“情景创设”不是一回事。n 引起学生对于“文字可以运算的思考， 式的 需要就在其中了 。 第六部分n 关于数学中的 直觉性知识n 直觉