高等数学11.1随机事件和概率ppt课件

1、11.1 11.1 随机事件与概率随机事件与概率 一、随机事件一、随机事件1 1、随机现象、随机现象 给定条件下其结果能否发生是不给定条件下其结果能否发生是不 可预言的其结果带有偶然性可预言的其结果带有偶然性 确定现象确定现象 随机现象随机现象 一定条件下必然发生的现象；一定条件下必然发生的现象；A. A. 太阳从东方升起；太阳从东方升起；B. B. 明天的最高温度；明天的最高温度；C. C. 上抛物体一定下落；上抛物体一定下落；D. D. 新生婴儿的体重新生婴儿的体重. .我们的生活中下面的现象哪些是随机现象？我们的生活中下面的现象哪些是随机现象？随机现象是不是没有规律可言随机现象是不是没有

2、规律可言? ?否！否！在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性种规律性随机现象的统计性规律随机现象的统计性规律 相同条件下进行大量相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性重复试验，随机现象所呈现的规律性. . 2、随机实验、随机实验:这里试验的含义十分广泛，它包括各种这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察. 例如，例如，E1E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H H、反面、反面T T出现的情出现的情况。况。 E2 E2 ：抛一颗骰子，观察

3、出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。具有以下特点：具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行, ,即重复性。即重复性。每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果，即明确性。实验的所有可能结果，即明确性。进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现，进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现，即随机性。即随机性。具有上述三个特点的实验称为随机试验，简称试验具有上述三个特点的实验称为随机试验，简称试验3 3、随机事件、随机事件 随机试验的每一个可能的结果称为随机事件随机试验的每一个可能的结果称为随机事件. .简称事

4、件，用大写字母简称事件，用大写字母 A A、B B、C C 表示表示. .例如抛一颗骰子，观察出现的点数。例如抛一颗骰子，观察出现的点数。 事件事件 Ai =掷出掷出i点点 i =1,2,3,4,5,6这些都是试验的直接结果，像这样一类随机事件这些都是试验的直接结果，像这样一类随机事件 称为题设试验中的基本事件称为题设试验中的基本事件事件事件 B=B=掷出奇数点掷出奇数点 每次实验都发生的事件每次实验都发生的事件每次实验都不发生的事件每次实验都不发生的事件不可能事件不可能事件记为记为 . . 记为记为 . . 必然事件必然事件例如，在掷骰子试验中，例如，在掷骰子试验中，“掷出点数小于掷出点数小

5、于7 7是必是必然事件然事件; ; 而而“掷出点数掷出点数8 8则是不可能事件则是不可能事件. .随机试验随机试验 E E 的所有基本事件构成的集合称为样的所有基本事件构成的集合称为样本空间，本空间，记为记为 或或S S；随机试验随机试验E E 任一事件任一事件A A 就是样本空间就是样本空间 的子集；的子集；例如：例如：E1E1：抛一枚硬币，观察正面：抛一枚硬币，观察正面H H、反面、反面T T出现的情况。出现的情况。 S1S1：HH，TT； E2E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S2S2：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，66； E3E3：将一枚硬币抛

6、掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H H、反面、反面T T出出 现的情况。现的情况。S3S3：HHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH，TTTTTT； E4：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 S4：0，1，2，3；必然事件；必然事件； 例如：例如： 掷骰子，事件掷骰子，事件A A表示出现奇数点，那表示出现奇数点，那么么 A= 1A= 1，3 3， 55，当，当1 1，3 3，5 5中任一点数中任一点数出现出现A A事件就发生事件就发生 ： ： 事件事件A A发生发生 A A所包

7、含的某样本点在实验所包含的某样本点在实验E E中出现中出现. .不可能事件不可能事件 . . 则称事件则称事件A 与事件与事件 B 相等相等(或等价或等价)，即即 A A 的每个样本点必在的每个样本点必在 B B 中，且中，且 B B 中的每个中的每个样本点必在样本点必在A A 中中 . . 二、事件的关系及运算二、事件的关系及运算 1. 1. 事件的包含与相等事件的包含与相等若事件若事件 A A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B B 发生，发生，则称事件则称事件 B B 包含事件包含事件 A A ，记作记作A A B B 或或 B B A . A .即即 A A 中的每个样本点必在中的每

8、个样本点必在 B B 中中. . 若事件若事件 A A 与与 B B 满足：满足：A A B B 且且 B B A A，记作记作 A = B . A = B . BA推行：称推行：称 “ “ A1,A2, ,An A1,A2, ,An 中至少中至少有一个发生为事件有一个发生为事件 A1, A2, , An A1, A2, , An 的和的和( (并并) )，2. 2. 事件的和事件的和( (并并) ) 称事件称事件“A A 与与B B 至少有一个发生为事件至少有一个发生为事件 A A 与与 B B 事件事件 的和的和( (并并) )，记作记作AB AB 或或. . 即即 AB = AB = |

9、 | A A 或或 B . B . 记作记作 A1A2 An A1A2 An ，或，或A1+A2+ +An A1+A2+ +An 1.niiA B BA A1.niiA 即即AB =AB =| |A A且且B . B . 称事件称事件“A A 与与 B B 同时发生同时发生”记作记作 AB AB ， 3. 3. 事件的积事件的积( (交交) )也简记为也简记为 AB . AB . 推行推行: :称称 “ “A1,A2, ,An A1,A2, ,An 同时发生同时发生” ” 为事件为事件A1,A2, ,AnA1,A2, ,An的积的积( (交交) )，记作记作 A1A2 An A1A2 An 1

10、.niiA 或或为事件为事件 A A 与与 B B 的积的积( (交交) )， B BA AABAB和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质 ,AAA ,SSA ,AA ,AAA ,ASA . A4. 4. 事件的差事件的差 称事件称事件 “ “A A 发生且发生且B B 不发生不发生”为事件为事件A A与与B B 事件的差，事件的差，记作记作A BA B。 即即 A - B = A - B = | | A A 且且 B . B . SABBA 则称事件则称事件 A A 与与 B B 互不相容互不相容( (互斥互斥) )， 5. 5. 互不相容互不相容( (互斥互斥) )事件事件 若事

11、件若事件 A A 与事件与事件 B B 不能同时发生，不能同时发生，即即 AB =AB = ，或说，或说 A A 与与 B B 没有公共的样本点没有公共的样本点 . . 推广推广1:1:若若A1,A2, ,AnA1,A2, ,An中的任意两个事件都互中的任意两个事件都互 不相容，则称事件不相容，则称事件A1,A2, ,An A1,A2, ,An 互不相容互不相容 . .), 2, 1,(njijiAAji 即即 B B B BA A你能说出一组两两不相容的事件吗？你能说出一组两两不相容的事件吗？ 基本事件组基本事件组 则称事件则称事件A A 的逆事件的逆事件( (对立事件对立事件) )A AA

12、6. 6. 互逆事件互逆事件( (对立事件对立事件) )若事件若事件 A A 不出现，即事件不出现，即事件“非非A ”A ”，即即AB =AB = ，AB = AB = ， A A ， AA ， A,A A .A记作记作A8.8.随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律: :,AAAAAA 交换律交换律: :,ABBAABBA 结合律结合律: : ABCABCABCABC 分配律分配律: : ABCABACABCABAC 对偶律对偶律: :,.ABABABAB例例1 1：设：设A,B,C A,B,C 为三个事件，用为三个事件，用A,B,C A,B,C 表示下列事件表示下列事件: : A

13、 A发生而发生而B B与与C C都不发生可以表示为：都不发生可以表示为：A A与与B B都发生而都发生而C C不发生可以表示为：不发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为： CBACBACBA 或或或或ABCABCABCAB 或或或或ABCCBACBACBA BCACBACAB ABCABCABCABCABCABCABC 或或ABC则称则称n n为事件为事

14、件A A 发生的频数发生的频数。三、三、 概率的统计定义概率的统计定义 定义定义1 1 如果在如果在 n n 次重复试验中事件次重复试验中事件A A 发生了发生了n n 次次, , nn 称比值称比值 为事件为事件A A 在在n n 次试验中发生的频率，次试验中发生的频率，nAfnn )(即即记为记为 ，( )nfA例如思索例如思索“ “ 抛硬币这个试验，我们将一枚硬抛硬币这个试验，我们将一枚硬币抛掷币抛掷5 5次、次、5050次、次、500500次，各做次，各做1010遍。得到数据如遍。得到数据如下表所示下表所示( (其中其中nHnH表示表示H H发生的频数，发生的频数，n(H)n(H)表示

15、表示H H发发生的频率生的频率) )。A A 发生的发生的频繁程度频繁程度处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n n的增大的增大, , 频率频率 f f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从上述数据可得从上述数据可得: : (1)(1)频率有随机波动性频率有随机波动性, , 所得的所得的f 即对于同样的即对于同样的n, 不一定相同不一定相同; ,较较小小时时抛抛硬硬币币次次数数 n(2) 之之间间与与在在频频率率10)(Hfn随机波动随机波动, 其幅度较大其幅度较大, ,增大增大但随着但随着n)(Hfn频率频率呈现出稳定性呈现出稳定性. n即当即当总总是是在在逐逐

16、渐渐增增大大时时)(Hfn,5 . 0 附近摆动附近摆动而逐渐稳定于而逐渐稳定于0.5 . 频率稳定性频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。定义定义 2 概率的统计定义：在相同条件下进行的大量概率的统计定义：在相同条件下进行的大量重复试验中，如果随重复试验中，如果随 着试验次数着试验次数 N 的增加，事件的增加，事件 A 的频率始终围绕某一常数的频率始终围绕某一常数 p 作稳定而微小的摆动，作稳定而微小的摆动，则称事件则称事件 A 有概率，常数有概率，常数 p 就

17、是事件就是事件 A 的概率，即的概率，即 PA） p 在统计概型下，概率是作为频率的稳定值而引入在统计概型下，概率是作为频率的稳定值而引入 的因而概率也应当具备频率的基本性质即对的因而概率也应当具备频率的基本性质即对于任一事件于任一事件 A，有，有 PA） 极端场合下，有极端场合下，有 P） ， ;0)(P定义定义3 3 ,是是随随机机试试验验设设E:满满足足下下列列条条件件若若E1 1。试验的样本空间只包含有限个元素。试验的样本空间只包含有限个元素; ; 2 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同。试验中每个基本事件发生的可能性相同. . .,即即古古典典概概型型为为有有限限等等可可能能概概

18、型型则则称称E关键要查关键要查 验它是否具备有限性和等可能性的特验它是否具备有限性和等可能性的特点有限性的识别是方便的，等可能性则需点有限性的识别是方便的，等可能性则需 要依据要依据某种某种“匀称性或匀称性或“ 任意性任意性” 来认定试以投掷一来认定试以投掷一枚质地均匀、结构对称的枚质地均匀、结构对称的 硬币为例，客观上没有理硬币为例，客观上没有理由说由说“正面朝上设为事件正面朝上设为事件 A） ”要比要比“反面朝上反面朝上（ 设为事设为事 件件 B） ”的可能性更大些或更小些，于是的可能性更大些或更小些，于是自然可认定匀称硬币在一次投掷中的自然可认定匀称硬币在一次投掷中的 A 与与 B 两个

19、基两个基本事件是等可能的本事件是等可能的 古典概型的计算公式 定理定理 ,个个元元素素包包含含设设试试验验的的样样本本空空间间nS,个个基基本本事事件件包包含含事事件件kA则有则有 )(AP该式称为有限等可能概型中事件概率的计算公式该式称为有限等可能概型中事件概率的计算公式. ,中中基基本本事事件件的的总总数数包包含含的的基基本本事事件件SA nk 例例2 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次. ”“)1(1恰恰有有一一次次出出现现正正面面为为设设事事件件A;)(1AP求求,“)2(2至至少少有有一一次次出出现现正正面面”为为设设事事件件A. )(2AP求求解解 (1) 我们考虑如下的样本空间

20、我们考虑如下的样本空间: ,THTHTTTHHHTHHHTHHHS ,TTTTTH而而 1A.,TTHTHTHTT ,中中包包含含有有限限个个元元素素S由对称性知每个基本由对称性知每个基本 事件发生的可能性相同事件发生的可能性相同. 故由计算公式得故由计算公式得 )(1AP(2) 由于由于 2A于是于是 )(12AP )(2AP 811 .87.83 ,TTT 例例2 一只口袋装有一只口袋装有6只球只球, 其中其中4只白球、只白球、2只红球只红球. 从袋中取球两次从袋中取球两次, (a) 第一次取一只球第一次取一只球, 袋中袋中, 样样. (b) 第一次取一球不放回袋中第一次取一球不放回袋中, 余的球中再取一球余的球中再取一球, (1) 取到的两只球都是白球的概率取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球都是红球的概率取到的两只球都是红球的概率; 球方式球方式: 试分别就上面两种情况求试分别就上面两种情况求 考虑两种取考虑两种取观察其颜色后放回观察其颜色后放回第二次从剩第二次从剩 这种取球方式叫做不放回抽样这种取球方式叫做不放回抽样. 每次随机地取一只每次随机地取一只, 这种取球方式叫做放回抽这种取球方式叫做放回抽搅匀后再取一球搅匀后再取一球. (a) 放回抽样的情况放回抽样的情况. 解解 分分别别表表示示事事以以BA,件件“取到的两只球都是白球取到的两