数学模型__姜启源

1、数数 学学 模模 型型 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 课 程 名 称学 时 36数学模型与数学建模Mathematical Modeling学 分3课程类别专业选修课先 修 课 程微积分、线性代数、概率论与数理统计课 程 简 介本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建本课程是计算机及管理专业的一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。模竞赛的辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间的桥梁。数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。本书介绍数学建数学建模是应用数学解决实际问题的重

2、要手段和途径。本书介绍数学建模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，模中常用的一些基本概念、理论和典型的数学模型，包括：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实分析及其试验设计。通过数学模型和数学建模有关问题的论述和模型实例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。例的介绍，使学生应用数学解决实际问题的能力有所提高。教 材 及 参 考 书 目数学模型，姜启源主编， 高等教育出版社 课课 程程 简简 介介 数学模

3、型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第一章第一章 建立数学模型建立数学模型第二章第二章 初等模型初等模型第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 第五章第五章 微分方程模型微分方程模型第六章第六章 稳定性模型稳定性模型第七章第七章 差分方程模型差分方程模型第八章第八章 离散模型离散模型第九章第九章 概率模型概率模型第十章第十章 统计回归模型统计回归模型附录附录: : 数学建模实验数学建模实验周次节次教学内容课时作业执行情况1五 56 1.1-1.5数学模型的介绍 1.6数学模型的基本

4、方法步骤、特点和分类22五 562.1公平的席位分配(讨论课)2.2录像机计数器的用途2.3双层玻璃的功效23五 562.7实物交换3.2生猪的出售时机24五 563.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五 563.6消费者的选择4.3汽车生产与原油采购26五 564.5饮料厂的生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五 56 5.2经济增长模型 5.6人口的预测和控制 28五 56 6.1捕鱼业的持续收获 6.2军备竞赛(讨论课)2 教教 学学 进进 度度 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编9五 56 6.4种群的相互依存 7.1市场经济中的蛛网模型2 10五 56

5、7.2减肥计划-节食与运动 8.3层次分析模型212五 56 8.4效益的合理分配 9.2报童的诀窍(讨论课)213五 56 9.5随机人口模型 9.6航空公司的预定票策略214五五 56 10.1牙膏的销售量牙膏的销售量2评估周评估周15五 56 Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五 56 数学建模实验(上机)217五 56 数学建模实验(上机)218 考试 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数

6、学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人

7、们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速

8、度是多少?x =20y =5求解求解 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千

9、米/小时）。小时）。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模 第一章第一章 建

10、立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女

11、地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面

12、点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅

13、子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学

14、数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地 第一章第一章 建立数学模型建立数学模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)

15、=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2) p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对

16、度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义 第二章第二章 初等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B 第二章第二章 初

17、等模型初等模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编当当 rB(n1+1, n2) 640g=0.1 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 1.522.5305101520r

18、t 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1rggrt2404研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编

19、主编强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()( 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型

20、数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)

21、决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度d

22、B/dt. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形

23、蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比. 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbt 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编0dxdCxcxxtcxtct

24、cxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费

25、, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编3.4 最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求，在产销平根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大衡条件下确定商品价格，使利润最大假设假设1）产量等于销量，记作）产量等于销量，记作 x2）收

26、入与销量）收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价格即价格3）支出与产量）支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即成本即成本4）销量）销量 x 依赖于价格依赖于价格 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编0* ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到

27、最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q / 2 成本的一半成本的一半 b 价格上升价格上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度）幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数思考：如何得到参数a, b? 第三章第三章 简单

28、的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消费者均衡消费者均衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交），记作交），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2,

29、 有钱有钱s，试分配，试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN: 最优解最优解Q: MN

30、与与 l2切点切点21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2) 应满足的条件应满足的条件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实际意义的实际

31、意义AB 第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编0,)(. 1121qqU效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式2121ppqUqU212211ppqpqp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。两种商品的偏爱程度。第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编1,0,. 221qqU0,)(. 3221

32、baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价格无关。购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度。的偏爱程度。思考：如何推广到思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2) 几种常用几种常用的形式的形式第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编第四章第四章 数学规划模型数学规划模型 4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修 数学模型数学模型数学模型数学模型 姜启源姜

33、启源 主编主编数学规划模型数学规划模型 实际问题中实际问题中的优化模型的优化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x决策变量决策变量f(x)目标函数目标函数gi(x) 0约束条件约束条件多元函数多元函数条件极值条件极值 决策变量个数决策变量个数n和和约束条件个数约束条件个数m较大较大 最优解在可行域最优解在可行域的边界上取得的边界上取得 数数学学规规划划线性规划线性规划非线性规划非线性规划整数规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析重点在模型的建立和结果的分析第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编

34、 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么最优的生产计划应作何改变？那么最优的生产计划应作何改变？例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材（吨）钢材（吨） 1.5 3 5 600劳动时间（小时）劳动时间（小时） 280 250 400 60000利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月

35、生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2 3 4 线性线性规划规划模型模型(LP)第四章第四章

36、数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型模型求解求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226结果为小

37、数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与，与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试探：如取）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数等，计算函数值值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编IP可用可用LINDO直接求解直接求解整数规划整数规划( (Integer Program

38、ming, ,简记简记IP) )“gin 3”表示表示“前前3个变量个变量为整数为整数”，等价于：，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.00

39、0000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx为非负整数321,xxx模型求解模型求解 IP 结果输出结果输出第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编其中其中3个个子模型应子模型应去掉，然后去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,8

40、0,80321xxx0,321xxx方法方法1：分解为：分解为8个个LP子模型子模型 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值，最优值z=610第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编LINDO中对中对0-1变量的限定：变量的限定：int y1int y2int y3 方法方法2：引入引入0

41、-1变量，化为整数规划变量，化为整数规划 M为大的正数，为大的正数，可取可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0

42、或 80 x3=0 或 801 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最优解同前最优解同前 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编NLP虽然可用现成的数学软件求解虽然可用现成的数学软件求解( (如如LINGO, , MATLAB) )，但是其结果常依赖于初值的选择。，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法方法3：化为非线性规划化为非线性规划 非线性规划（非线性规划（Non- Linear Programming，简记，简记NLP） 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出实践表

43、明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编应如何安排原油的采购和加工应如何安排原油的采购和加工 ？ 例例2 原油采购与加工原油采购与加工 市场上可买到不超过市场上可买到不超过1500吨的原油吨的原油A： 购买量不超过购买量不超过500吨时的单价为吨时的单价

44、为10000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过500吨但不超过吨但不超过1000吨时，超过吨时，超过500吨的吨的 部分部分8000元元/ /吨；吨； 购买量超过购买量超过1000吨时，超过吨时，超过1000吨的部分吨的部分6000元元/ /吨。吨。 售价售价4800元元/吨吨 售价售价5600元元/吨吨库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 汽油甲汽油甲(A 50%) 原油原油A 原油原油B 汽油乙汽油乙 (A 60%) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入利润：销售汽油

45、的收入 - - 购买原油购买原油A的支出的支出 难点：原油难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂的购价与购买量的关系较复杂)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) 购买购买xx11x12x21x224.8千元千元/吨吨 5.6千元千元/吨吨原油原油A的购买量的购买量, ,原油原油A, B生产生产汽油汽油甲甲,乙的数量乙的数量c(x) 购买原油购买原油A的支出的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？如何表述？第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编原油供应原油供应 约束约束条件条

46、件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500吨单价为吨单价为10千千元元/ /吨；吨； 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨；吨；1000吨吨 x 1500吨，超过吨，超过1000吨的吨的6千千元元/ /吨。吨。 目标目标函数函数购买购买x A B x11x12x21x22库存库存500吨吨 库存库存1000吨吨 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 目标函数中目标函数中c(x)不是线性函数，

47、是非线性规划；不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解。想办法将模型化简，用现成的软件求解。 汽油含原油汽油含原油A的比例限制的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 约束约束条件条件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8,

48、 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数目标目标函数函数 只有当以只有当以10千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x1=500( (吨吨) )时，才能以时，才能以8千元千元/吨的价格购买吨的价格购买x2方法方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非线性规划模型非线性规划模型，可以用，可以用LINGO求解求解模型求解模型求解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500吨吨 x 1000吨，超过吨，超过500吨的吨的8千千元元/ /吨吨增加约束增加约束0)500

49、(21xxx= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编方法方法1：LINGO求解求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;

50、x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得

51、到的是局部最优解，还得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？能得到更好的解吗？ 用库存的用库存的500吨原油吨原油A、500吨原油吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为利润为4,800千千元。元。 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编y1, y2 , y3=1 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A增增加加约约束束方法方法2 0-1线性规划模型线性规划模型，可，可用用LINDO求解求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1, ,y2, ,y3 =0或或1 OBJEC

52、TIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000

53、000 0.000000 购买购买1000吨原油吨原油A，与，与库存的库存的500吨原油吨原油A和和1000吨原油吨原油B一起，生一起，生产汽油乙，利润为产汽油乙，利润为5,000千元千元 。x1 , x2 , x3 以价格以价格10, 8, 6(千元千元/ /吨吨) )采购采购A的吨数的吨数y=0 x=0 x0 y=1优于方法优于方法1的结果的结果第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编b1 b2 b3 b4方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x12

54、00090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc 直接处理处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编IP模型，模型，LINDO求求解，得到的结果与解，得到的结果与方

55、法方法2相同相同. .处理分段线性函数，方法处理分段线性函数，方法3更具一般性更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbk x bk+1yk=1, ,否则否则, ,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyyy方法方法3 bk x bk+1 , ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ).c(x)x120009000500005001

56、0001500b1 b2 b3 b4对于对于k=1,2,3第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修单阶段生产计划单阶段生产计划多阶段生产计划多阶段生产计划 生产批量问题生产批量问题 企业生产计划企业生产计划考虑与产量无关的固定费用考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部外部需求和内部资源随时间变化资源随时间变化第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编 安排生产计划安排生产计划, 满足每周的需求满足每周的需求, 使使4周总费用最

57、小。周总费用最小。存贮费存贮费: :每周每千箱饮料每周每千箱饮料 0.2千元。千元。 例例1 饮料厂的生产与检修计划饮料厂的生产与检修计划 在在4周内安排一次设备检修，占用当周周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能千箱生产能力，能使检修后每周增产力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周千箱，检修应排在哪一周? ? 周次周次需求量需求量(千箱千箱)生产能力生产能力(千箱千箱)成本成本(千元千元/千箱千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计合计100135 某种饮料某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周的需求量、生产能力和成本第四章第四章 数学规划模型

58、数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编问题分析问题分析 除第除第4周外每周的生产周外每周的生产能力超过每周的需求；能力超过每周的需求； 生产成本逐周上升；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。前几周应多生产一些。 周次周次需求需求能力能力11530225403354542520合计合计100135成本成本5.05.15.45.5 饮料厂在第饮料厂在第1周开始时没有库存；周开始时没有库存； 从费用最小考虑从费用最小考虑, , 第第4周末不能有库存；周末不能有库存； 周末有库存时需支出一周的存贮费；周末有库存时需支出一周的存贮费； 每周末的库存量等于下周初的库存量。每周末的库存量等于

59、下周初的库存量。 模模型型假假设设 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编目标目标函数函数约束约束条件条件产量、库存与需求平衡产量、库存与需求平衡 决策变量决策变量 )( 2 . 05 . 54 . 51 . 50 . 53214321yyyxxxxzMin1511 yx25212yyx35323yyx2534 yx20,4540,304321xxxx能力限制能力限制 非负限制非负限制 0,3214321yyyxxxx模型建立模型建立x1 x4：第：第14周周的生产量的生产量y1 y3：第：第13周末周末库存量库存量周次周次需求需求能力能力1153022

60、5403354542520成本成本5.05.15.45.5存贮费存贮费: :0.2 ( (千元千元/ /周周 千箱千箱) ) 第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主编主编模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为周生产计划的总费用为528 (千元千元) 最优解：最优解： x1 x4：15，40，25，20； y1 y3： 0，15，5 .周次周次需求需求能力能力11530225403354542520成本成本5.05.15.45.5产量产量15402520库存库存01550LINDO求解求解第四章第四章 数学规划模型数学规划模型数学模型数学模型 姜启源姜启源 主