高三数学二轮复习专题极限导数解答题的解法

1、高考复习系列课件高考复习系列课件9797数学第二轮复习07 极限、导数解答题的解法97 极限、导数解答题的解法 应试策略应试策略 考题剖析考题剖析 试题特点试题特点 极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法030611 1.近年高考各试卷极限与导数考查情况统计 2006年高考各地的18套试卷中，有14道导数题，其中考查求导法则的有5 道 ， 考 查 极 限 的 有 5 道 ， 考 查 单 调 性 的 有 8 道 ， 考 查 极 值的有5道，与不等式综合的有5道，与函数综合的有6道. 2007年高考各地的19套试卷中，每卷都涉及到导数问题,有7道涉及到导数与不等式的综合,有15道涉及到函数.

2、其中4道还涉及到函数的应用需用导数来解决,有4道涉及到数列,主要是考导数解决函数的极值和单调性问题,在这些试卷中尤以辽宁卷、湖南卷对导数极限的考查要求较高，辽宁有3道试题涉及到导数，而且是综合题。 2008年高考各地试卷中，主要是考查：函数、数列、极限、导数综合，函数、单调性、不等式、导数的综合，函数应用、概率、导数综合.由此可见,对导数工具性的考查在增强,对导数综合运用要求在加强.试题特点试题特点极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 2. 主要特点 (1)极限在初等数学与高等数学之间起着重要的衔接作用，是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变，因此在重点考查思维方法的高考

3、命题中常把极限作为最好的命题素材 之一. (2)导数是中学选修内容中最为重要的内容，导数为解决函数问题、曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点”处命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、数形结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度.主要有如下几方面：试题特点试题特点极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； 应用导数求函数的极值与最值； 应用导数解决实际问题; 应用导数解决有关不等式问题. （3）重视有限与无限思想的考查. 客观世界是有限与无限的统一体，我们既可以

4、通过有限来把握无限.也可以借助无限来确定有限，即“从与对立面的统一中去把握对立面”.数学归纳法、数列极限、函数极限等都是由有限把握无限的极好例证.随着高中数学课程改革的逐步深入，对有限与无限思想的考查力度会不断加大，这是高考命题的一个新趋势.试题特点试题特点极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法应应 试试 策策 略略 1.求数列极限的基本方法是，通过适当的化简或变形(如求和、求积、有理化分子或分母、分子分母同除n的最高次幂或同除分子或分母中底数绝对值最大的幂等)，将复杂数列极限问题转化为简单数列极限问题，再利用 =0(k0)或 qn=0(|q|1)等重要极限及四则运算法则，求出所求式的极

5、限. 解决数列的极限问题还应运用数列的有关知识与技能，注意结合直觉、联想、猜测及分类讨论等思维方法.应试策略应试策略极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法nlimkn1nlim 2.函数极限是数列极限的拓广、延伸.函数极限与数列极限有类似的四则运算法则，求函数极限的基本思想也是转化、化归.实施转化时，可注意类比、借鉴求数列极限的一些方法与技能. 3.求导数有两种方法：一是利用导数定义；二是利用基本函数的导数公 式 、 四 则 运 算 法 则 及 复 合 函 数 的 求 导 法 则 求 导，常用后一种方法.极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法应试策略应试策略 4.要重视导数在研究函

6、数问题或实际问题时的应用. (1)求可导函数单调区间的方法： 确定函数f(x)的定义域; 求方程f(x)=0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间； 研究各小区间上f(x)的符号，f(x)0时，该区间为增区间，反之则为减区间.应试策略应试策略极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 (2)求函数极值点时，可能出现极值的点是f(x)=0或使f(x)不存在的点，注意f(x)=0不是有极值的充分条件. (3)连续函数在闭区间上必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较. ( 4 ) 解 最 值 应 用 题 时 ， 要 认 真 审 题 ， 分 析 各 量 的 关 系 ，

7、列出函数y = f ( x ) , 并确定定义域，然后按照步骤求函数的 最 值 ，f(x)在定义域区间上只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点.应试策略应试策略极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考考 题题 剖剖 析析考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 2.设首项为1，公比为q(q0)的等比数列的前n项和为Sn, 又Tn= , n=1,2,3，求 Tn.考题剖析考题剖析极限、导数解

8、答题的解法极限、导数解答题的解法1nnSSnlim 解析当q=1时，Sn=n,Tn= , Tn=1.当q1时，Sn= ,Tn= ,当0q1时， qn=0, Tn=1.当q1时， Tn=1nnnlimqqn11111nnqqnlimnlim.1)1(1)1(qqqqnnnlimnlim 综上所述， Tn=考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法nlim. 1,1, 10, 1qqq 点评本题考查了等比数列前nq1的条件下，此题没有指出q1，故要对q进行讨论，在求 Tn时，必须求 qn, 只有当|q|1时有极限，而此题 q0，故需对q进行讨论.nlimnlim考题剖析考题剖析极

9、限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 3. (1)已知 ( n)=b,求a,b的值； (2)已知 = n, 求m,n的值. 解析(1)原式= = 当且仅当a=3时，有极限，b= ,故所求a，b的值为a=3，b= .132nannlim222xmxx13) 3(2nnnanlim,131) 3(bnnanlim31312limx考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 (2) = n.可知x2+mx+2是含x+2的因式.x=2是方程x2+mx+2=0的根，代入求得m=3, n=1.222xmxx 点评本例是求极限的逆思维，思路新颖，方法灵活.2limx考题剖析考题剖析极

10、限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 4.（2007湖南张家界质检题）设a0，f(x)=x1ln2 x2alnx（x0）. （）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0,）内的单调性并求极值； （）求证：当x1时，恒有xln2x2alnx1. 解析（）根据求导法则有f(x)=1 ，x0，故F(x)=xf(x)=x2lnx+2a，x0，于是F(x)=1 ，x0. 列表如下： 故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F(2)=22ln2+2a.xaxx2ln2xxx22x(0,2)2(2,+)F(x)0+F(x)极小值F(2)考题剖析考题剖析极限

11、、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （）证明：由a0知，F(x)的极小值F(2)=22ln2+2a0.于是由上表知，对一切x(0，+)，恒有F(x)=x , f(x)0.从而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，+)内单调增加.所以当x1时，f(x)f(1)=0，即x1ln2x+2alnx0. 故当x1时，恒有xln2x2alnx+1. 点评本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的 单 调 性 、 极 值 和 证 明 不 等 式 的 方 法 ， 考 查 综 合 运 用有关知识解决问题的能力.考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极

12、限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法点评：本题涉及到了导数公式的逆向考查，这就要求在平时的教学中要注重逆向思维的培养，另外本题还考查了对称、求范围这些高中数学的重点与难点。考纲要求“掌握利用导数求极值和最值，同时还要了解导数与原函数的关系”。考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 6.已知函数f(x)=ax3+bx23x, 其图象

13、在横坐标为1的两点处的切线均与x轴平行. （1）求函数f(x)的解析式； （2）对于区间1，1上任意两个自变量的值x1, x2，都有|f(x1)f(x2)|k，试求k的最小值； （3）若过点A（1，m）（m2）可且仅可作曲线y=f(x)的一条切线，求实数m的取值范围. 考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 解析(1) f(x)=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0即 解得a=1,b=0. f(x)=x33x. （2）f(x)=x33x, f(x)=3x23=3(x+1)(x1)当 1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1,1上为减函数，f(x)max=f(

14、1)=2, f(x)min=f(1)=2对于区间1，1上任意两个自变量的值x1, x2都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|2(2)=4. 即 |f(x1)f(x2)|max=4.k4 k的最小值为4 .,03230323baba考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （3）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)曲线方程为y=x33x，点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0, y0），则点M的坐标满足y0=x303x0 因f(x0)=3(x201)，故切线的斜率为 k=3(x201)=kAM=整理得2x303x20+m+3=0（*注：也可以先写出

15、切线方程，然后将点A的坐标代入得到左式）过点A（1，m）仅可作曲线的一条切线，关于x0方程2x303x20+m+3=0有且仅有一个实根.130003xmxx考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法设g(x0 ) = 2x303x20+m+3，则g(x0 ) = 6x206x0，令g(x0)0得x01或x00, 令g(x0)0得0 x01函数g(x0 ) = 2x303x20+m+3在区间(，0)和(1，+)为增函数，在(0，1)上为减函数，g(x0)的极大、极小值点分别为x0=0, x0=1g(x)不是单调函数，关于x0方程2x303x20+m+3 = 0有且仅有一个实根的

16、充要条件是：g(x)极大=g(0)=m+30,m3或g(x)极小=g(1)=2+m0, m2故所求的实数a的取值范围是m|m3或m2 点评只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题.解决这类问题的关键是等价变形.考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 7.（2007成都市质检二）已知函数f(x)= (mR, e=2.718 28是自然对数的底数）. （）求函数f(x)的极值； （）当x0时，设f(x)的反函数为f 1(x), 对0pq,试比较 f (qp)、f1(qp)及f1(q)f1(p)的大小.0,310, 123xmxxxex 解析（）当x0时，f(x)=ex1在

17、(0,+)上单调递增，且f(x)=ex10； 当x0时，f(x)= x3+mx2， 此时f(x)=x2+2mx=x(x+2m).31考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （1）若m=0时，f(x)=x20, 则f(x)= x3在(,0上单调递增，且f(x)= x30. 又f(0)=0，可知函数f(x)在R上单调递增，无极值. （2）当m0，令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.（舍去） 函数f(x)= x3+mx2在(,0上单调递增， 同理，函数f(x)在R上单调递减，无极值. 313131考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （3）若m0

18、, 令f(x)=x(x+2m)0 x0或x2m.函数f(x)= x3+mx2在(,2m上单调递增，在（2m，0上单调递减.此时函数f(x)在x=2m处取得极大值：f(2m)= m3+4m3= m30；又f(x)在（0，+）上单调递增，故在x=0处取得极小值：f(0)=0. 综上可知，当m0时，f(x)的极大值为 m3，极小值为0；当m0时，f(x)无极值.31383434考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （）当x0时，设y=f（x）=ex1 y+1=ex x=ln(y+1).f 1(x)=ln(x+1)(x0). （1）比较f(qp)与f1(qp)的大小.记g(x)

19、=f(x)f1(x)=exln(x+1)1(x0).g(x)=ex 在(0,+)上是单调递增函数，g(x)g(0)=e0 =0恒成立.函数g(x)在(0,+)上单调递增. g(x)g(0)=e0ln(0+1)1=0.当0pq时，有qp0， g(qp)=eqpln(qp+1)10.eqp1ln(qp+1), 即f(qp)f1(qp). 11x101考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （2）比较f1(qp)与f1(q)f1(p)的大小.ln(qp+1)ln(q+1)ln(p+1)=ln(qp+1)ln(q+1)+ln(p+1)=ln =ln =ln .0pq. 1, 故l

20、n 0.ln(qp+1)ln(q+1)ln(p+1),f1(qp)f1(q)f1(p). 11ln1) 1)(1(2qpppqpqqppq11)(ln112qqpqpqpqpq11)(qpqp11)(qpqp11)(qpqp考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法 （注：也可用分析法或考察函数 h(x)=ln(xp+1)ln(x+1)+ln(p+1), x(p,+). 求导可知h(x)在（p,+)上单调递增，h(x)h(p)h(p)=0, h(x)0 在x(p,+)上恒成立.q(p,+), h(q)0恒成立.） 由可知:当0pq时，有f(qp)f1(qp)f1(q)f1(p

21、). 点评本题考查分段函数求极值、分类讨论的思想、函数的单调性、不等式等知识，考查学生的综合解决问题的能力.考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极限、导数解答题的解法8.（2007杭州市一模）已知一列非零向量an, nN*, 满足:a1=(10, 5), an=(xn, yn)=k(xn1yn1, xn1+yn1)，(n2 ). 其中k是非零常数. （1）求数列|an|的通项公式； （2）求向量an1与an的夹角(n2); （3）当k = 时，把a1，a2，,an，中所有与a1共线的向量按原来的顺序排成一列，记为b1，b2，, bn, , 令 =b1+b2+bn，O为坐标原点，求点列Bn的极限点B的坐标.（注：若点坐标为(tn, sn)，且 tn=t， sn=s，则称点B(t，s)为点列的极限点.)21nOBnlimnlim考题剖析考题剖析极限、导数解答题的解法极