数学物理方程---_1_数学建模与基本原理介绍ppt课件

1、第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第第1 1章章 数学建模和根本原理引见数学建模和根本原理引见1 牛顿牛顿重点1 1、从实践问题中建立数学物理方程的根本方法；、从实践问题中建立数学物理方程的根本方法；2 2、系统的边境条件和初始条件的写法；、系统的边境条件和初始条件的写法；3 3、行波法研讨一维动摇方程的解、及解的物理意义。、行波法研讨一维动摇方程的解、及解的物理意义。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍数学物理思想数学物理思想 数学物理方程简称数理方程是指从物理数学物理方程简称数理方程是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函学

2、及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程数方程，主要指偏微分方程和积分方程 数学物理方程所研讨的内容和所涉及的领域数学物理方程所研讨的内容和所涉及的领域非常广泛，它深化地描画了自然界中的许多物理非常广泛，它深化地描画了自然界中的许多物理景象和普遍规律景象和普遍规律. .第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍多数为二多数为二阶线性偏阶线性偏微分方程微分方程振动与波振动波，电磁波传播满足振动与波振动波，电磁波传播满足动摇方程动摇方程热传导问题和分散问题满足热传导方程热传导问题和分散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或静电场和引

3、力势满足拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程一、数学物理方程-泛定方程:物理规律的数学表示 物理规律物理规律 物理量物理量u u 在空间和时间中的在空间和时间中的变化规律，即物理量变化规律，即物理量u u在各个地点和各个时辰所取在各个地点和各个时辰所取的值之间的联络。的值之间的联络。数学言语翻译泛定方程反映的是同一类物理景象的共性，和详细条泛定方程反映的是同一类物理景象的共性，和详细条件无关。件无关。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍4二、边境问题-边境条件表达边境形状的数学方程称为边境条件表达边境形状的数学方程称为边境条件三、历史问题-初始条件表达历史形状的数学方程称为

4、初始条件表达历史形状的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动形状，但都服从牛顿第二定律。不同的运动形状，但都服从牛顿第二定律。定解问题的完好提法：定解问题的完好提法： 在给定的边境条件和初始条件下，根据知的物理规律，在给在给定的边境条件和初始条件下，根据知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量定的区域里解出某个物理量u u，即求，即求u(x,y,z,t)u(x,y,z,t)。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍5详细的问题的求解的普经过程：详细的问题的求解的普经过程：1

5、 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据知系统的边境情况和初始情况列出边境条件和、根据知系统的边境情况和初始情况列出边境条件和 初始条件初始条件求解所必需用的求解所必需用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分别变量法、等行波法、分别变量法、等分别变量法分别变量法,行波法，积分变换法等行波法，积分变换法等偏微分方程偏微分方程规范的常微分方程规范的常微分方程规范解，即为各类特规范解，即为各类特殊函数殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法三类数学物理方程的一种最常用解法第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1.1 1.

6、1 数学模型的建立数学模型的建立6建模步骤：建模步骤：1 1、明确要研讨的物理量是什么？、明确要研讨的物理量是什么？ 从所研讨的系统中划出任一微元，分析临近部从所研讨的系统中划出任一微元，分析临近部分与它的相互作用。分与它的相互作用。2 2、研讨物理量遵照哪些物理规律？、研讨物理量遵照哪些物理规律？3 3、按物理定律写出数理方程泛定方程。、按物理定律写出数理方程泛定方程。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1 1、等价无穷小、等价无穷小2 2、切线斜率：、切线斜率：3 3、投影：、投影：4 4、牛顿第二定律、牛顿第二定律5 5、库克定律、库克定律Fk x 21,sin

7、tan, 1111223344tan,tan,tan,tankkkk cos( , )apro bb abb a Fma 预备知识第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍8动摇方程的导出一均匀弦横振动方程和定解条件一均匀弦横振动方程和定解条件 演奏弦乐器例如二胡，提琴的人用弓做弦上来回拉动，演奏弦乐器例如二胡，提琴的人用弓做弦上来回拉动，弓所接触的只是弦很小的一段，似乎应该只引起这个小段的振动，弓所接触的只是弦很小的一段，似乎应该只引起这个小段的振动，实践上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。实践上振动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来。第一章第一章 数学建模及其

8、基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍弦的横振动弦的横振动 设：均匀柔软的细弦沿设：均匀柔软的细弦沿x x轴绷紧，在平衡位置附轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动近产生振幅极小的横振动 u(x,t): u(x,t): 坐标为坐标为x x 的点在的点在t t时辰沿垂线方向时辰沿垂线方向的位移的位移 求：细弦上各点的振动规律求：细弦上各点的振动规律 以弦线所处的平衡位置为以弦线所处的平衡位置为x x轴，垂直于弦线且经过轴，垂直于弦线且经过弦线的一个端点的直线为弦线的一个端点的直线为u u轴建立坐标系。轴建立坐标系。9第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 选取不包括端点

9、的一微元选取不包括端点的一微元(x, x+dx), 弦长弦长dx2、研讨物理量遵照哪些物理、研讨物理量遵照哪些物理规律？规律？研讨对象研讨对象: (4) (4)设设 为作用做弦线上且垂直于平衡为作用做弦线上且垂直于平衡位置的强迫力密度位置的强迫力密度N/mN/m. .0( , )fx t简化假设：简化假设： (1) (1)弦是柔软的弦是柔软的 ( (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2) (2)振幅极小振幅极小, , 张力与程度方向的夹角张力与程度方向的夹角1 1和和2 2 很很小，仅思索小，仅思索1 1和和2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小

10、量 (3) (3)弦的分量与张力相比很小，可以忽略。弦的分量与张力相比很小，可以忽略。质量线密度质量线密度，u(x)u+uu0 1 T2T1xx+xF3第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1112123uuFTTFFF 在在 轴轴方方向向的的分分量量在在 轴轴方方向向的的分分量量强强迫迫外外力力F为该段弦线所受垂直于平衡位置的合力，即为该段弦线所受垂直于平衡位置的合力，即u轴方向的合外力，那么轴方向的合外力，那么设设 为为u轴正向的单位向量，那么有轴正向的单位向量，那么有ui 11111111cos(,)cos()sin2uuFT iTT iTT 22222222co

11、s(,)cos(-)sin2uuFT iTT iTT 将所取小段弦线近似视为质点，由牛顿第二定律 F=ma 横向运动受力为 1122coscos0TT 30( , )Ffx tx 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍弦的原长：弦的原长：sx 振动拉伸后：振动拉伸后：sxuxx22()()d u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF3弦长弦长dx ，质量线密度，质量线密度，B段段的质量为的质量为m= dx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscos0TT 沿垂直于沿垂直于x-x-轴方向轴

12、方向22110sinsin( , )()ttTTf x t dxdx u 1 21 20, cos1. ，11sintanxxxuux 22sintanxxxu 受力分析和牛顿运动定律：受力分析和牛顿运动定律：13在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由1式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBF21TTT 1 12 2第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍00( , )( , )xx dxxxxxttuuTfx tTufx tudx 2/aT 动摇方程：动摇方程：方程的方程的自在项自在项0( , )( , )/f x t

13、fx t 0( , )()xx dxxxttT uufx t dxdx u （）受迫振动方程受迫振动方程一维动摇方程一维动摇方程2( , )ttxxua uf x t14单位质量所受单位质量所受外力，力密度外力，力密度令令22ttd ufmmudt牛顿运动定律：牛顿运动定律：方程刻划了柔软均匀细小微小横振动时所服从的普通规律方程刻划了柔软均匀细小微小横振动时所服从的普通规律即部分等量关系，称为即部分等量关系，称为vibrating string equation.vibrating string equation.第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1522222uu

14、aFgtx一维动摇方程一维动摇方程-非齐次方程非齐次方程22222uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如思索弦的分量：如思索弦的分量：u(x)u+uu0 1 2T2T1xx+xBFgdx沿沿x-方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscos0TT 沿垂直于沿垂直于x-x-轴方向轴方向ttTTF x t dxgdxdx u2211sinsin( , )() 1 12 2类似讨论类似讨论第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 定解条件定解条件常微分方程定解问题回想常微分方程定解问题回想 常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常常微分

15、方程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题),(tzyxu要求给定：初始条件和边境条件要求给定：初始条件和边境条件16第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍17初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线在初始时辰

16、初始条件：分为初始位移和初始速度。即弦线在初始时辰t=0时位移和速度时位移和速度( ,0)( ),( ,0)( ),0tu xxu xxxl这里 和 为知函数. 初始条件该当是给出整个系统的初始条件。( ) x( ) x边境条件：普通来说有三种边境条件：普通来说有三种 1端点位置变化知的情况：12(0, )( ),( , )( ),0utg tu l tg tt特别 ，称弦线具有固定端。12( )( )0gtgt 2端点位置遭到变化知垂直于弦线的外力的情况：0102(0, )( ),( , )( ),0 xxT utg tT u l tg tt其中， 为小弦线左右端处张力 在u轴方向的分量。当

17、 时候，称为弦线具有自在端。00(0, )( , )xxT utT ul t12()T T12( )( )0gtgt 3端点位置与弹性物体相连情况：第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍18这时弹簧下端也在不断运动。这时弹簧下端也在不断运动。 x=0端，在时辰端，在时辰t，弹簧实践的伸缩量为，弹簧实践的伸缩量为 。由。由Hooke定律该处的弹力为定律该处的弹力为 。取区间取区间 ，与建立弦振动方程完全一样的，与建立弦振动方程完全一样的方法有方法有0,x111(0, )( )kutQtl11(0, )( )utQtl01110(, )( (0, )( ),0 xttT u

18、x tkutQtlfxxutVV令令 可得可得0 x0111(0, )( (0, )( )0,0 xT utkutQtlt弦线两端分别衔接在弹性系数为的两个弹簧上，弹簧的长度分别为 。这两个弹簧的另一端还分别衔接在由函数 ， 所表示的位置上。 2Qt 1Qt12,0KK12,ll第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍191222(0, )(0, )( ),0( , )( , )( ),0 xxututgttul tu l tgtt0111(0, )( (0, )( )0,0 xT utkutQtlt11(0, )(0, )( ),0 xututgtt22( , )( ,

19、 )( ),0 xul tu l tgtt类似可得类似可得x=l端边境条件为端边境条件为因此，在具有弹性支撑的边境，弦线的边境条件因此，在具有弹性支撑的边境，弦线的边境条件即即第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍20当思索的弦线比较长时，可以以为弦长为无穷大。这时定解条当思索的弦线比较长时，可以以为弦长为无穷大。这时定解条件中就没有边境条件而是只需初始条件，这也是一个定解问题。件中就没有边境条件而是只需初始条件，这也是一个定解问题。以下两个问题以下两个问题212( , ), 0,0(0(1), )( ),( , )( ),0( , 0)( ),( , 0)( ), 0

20、ttxxtua ufx txl tutgtu l tgttu xxuxxxl既有初始条件又有边境条件，普通称为混合问题的弦振动程。既有初始条件又有边境条件，普通称为混合问题的弦振动程。定解条件：初始条件和边境条件通常称为定解条件定解条件：初始条件和边境条件通常称为定解条件定解问题：一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题定解问题：一个微分方程连同它相应的定解条件组成一个定解问题第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2()( , , )ttxxyyua uuf x y t注注1 1 均匀薄膜的振动或声波空气中的传播，类均匀薄膜的振动或声波空气中的传播，类似弦振动方

21、似弦振动方 程推导过程可程推导过程可以得出。膜振动方程为以得出。膜振动方程为声波在空气中传播满足的方程声波在空气中传播满足的方程2()( , , , )ttxxyyzzua uuuf x y z t这些方程统称为动摇方程这些方程统称为动摇方程(wave equation)。2( , ),0(0(,2)( ),( , 0)( ),ttxxtua ufx txtutxuxxx 只需初始条件弦振动方程的定解问题。普通称为初值问题只需初始条件弦振动方程的定解问题。普通称为初值问题Cauchy问题。问题。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍例1：72 0 0(0, )=0, (

22、 ,0)=0 0( ,0)=( ), ( ,0)0, 0 xxta ux l tutu ltu xxuxxlttu 222()444lhl220002h F=2T cos(-)=2T FT h2h 20,24FlFTh 220220 0224( ),() 224FllxxFTxFllxlxlFT其中： 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍例2：长为L的均匀细弦，一端固定，另一端被拉离平衡位置到0，b)或 (L,b) 而静止，然后放手让其震动，写出定解问题。2 0 0(0, )=0, ( ,0)=0 0( ,0)=, ( ,0)0, 0 xxxta ux l tutul

23、tbu xx uxxllttu 例3：长为L的均匀细弦，两端固定，初始位移为 ，初始速度为零，在某点 处挂一小球，推导其定解问题。( )x 0(0, )xl 20+(-mg) ( -) 0 0(0, )=0, ( ,0)=0 0( ,0)=( ), ( ,0)0, 0 xxxta ux xx l tutultu xxuxxlttu 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 加上衔接条件：200 0 0(0, )=0 0( ,0)=( ), ( ,0)0, 0 xxta ux xtuttu xxuxxxttu 200 0( , )=0 0( ,0)=( ), ( ,0)0,

24、 xxta uxx l tu l ttu xxuxxxlttu 000000 = u() u (0) - u (0) = -mgxxxxTxTxu(-0)+0 + 210201( , )u (, ) - u () -mgxxxxx tTxtTxttt (-)u, +-20100000 u (0, ) - u () = mgxxxxxxTxtTxt 令，得-0, 衔接条件和腾跃性条件：第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍今日作业 1, 8第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍二热传导方程和定解条件二热传导方程和定解条件模型及其假设：1.内部有热源

25、，与周围介质有热交换；2.均匀，各向同性导热体热传导景象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场SSGn一些概念和定律：1.热力学第二定律积分方式热量Q2(t2)-Q1(t1)=W +经过边境流入的热量2.Fourier热定律3.某个区域热量 Q=mcu.( , , )qk x y zu r第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍在物体G内任取一闭曲面 ，它所包围的区域记为 , 那么从时辰 到 流进此闭曲面的全部热量为u (=gradu:)nds dtn 21ttu Q=k(x,y,z)外法向导数n rg热传导的傅里叶定律：物体在无穷小时段dt

26、内流过一个无穷小面积ds的热量dQ与物体温度沿曲面ds法线方向的方导游数成正比。 ( :)dsdtku dQ=-k(x,y,z)热传导系数n 流入的热量是物体内部温度发生变化。在时间间隔t1 ， t2中物体温度从 变化到 ，它所应该吸收的热量是u =gradu: nu =gradu nnnn其中：负号的出现是由于热量的流向与温度的梯度的正向的方向相反。 如果gradu与曲面的法线交成锐角，则为正 ，依 的方向越过曲面时温度要增加，而热流方向却与此相反，即从温度高的一侧流向温度低一侧，依n的方向越过曲面的流量应该是负的。 rgrg 1 t 2 t 1( ,) u x y z t 2( ,) u

27、x y z t 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍= dxdydz ds dt 21t22tu k(x,y,z)cu(x,y,z,t )-u(x,y,z,t )n 假设函数u关于变量具有二阶延续导数，关于t具有一阶延续偏导数，由奥斯公式有21tt)dxdydzdt =c ()dxdydz dttxtytzt21ttuuuu (k(k(k c)dxdydzdt =0 ttxtytz21ttuuuu (k(k(k 交换积分次序有dxdydz ( :)c22 c(x,y,z) (x,y,z) u(x,y,z,t )-u(x,y,z,t )比热， 密度 从而第一章第一章 数

28、学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 c=)0 ttxtytzuuuu(k(k(k 上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程。假设物体是均匀的，此时 及 为常数，记 ，即得, kc 2 kac 2222222=a () txyzuuuu 热传导方程的规范方式。热传导方程的规范方式。 c)=0 ttxtytzuuuu(k(k(k 由于时间和区域的恣意性，那么有第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍020220 ( , , , )( /)( , , , )( , , , )( , , , )/0, / .ttfx y z tJ kg su x y z tau x y

29、 z tfx y z tcuaufkaffcc 如果 热源强度为 ，利用相同的推导过程可得 简写为 其中 注1 一维和二维的热传导方程方式分别为22()txxtxxyyua ufua uuf分别为均匀细杆和薄板的温度分别情况下的热传导方程。注2 热传导方程不仅仅是表述热传导景象的，自然界中很多景象可用其刻划，如分子分散，病毒传播，流行病的传染，商品的流通等第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍0( , , ,0)tu x y z导热体内时刻的温度分布情况，即 (x,y,z),(x,y,z) 初始条件 边境条件=0,)|ugukgnr通常为三类(记) (1)已知边界上的温

30、度分布，即 (x,y,z,t) (2)已知边界上的热流量，即 (x,y,z,t)g0表示热量流入，g0表示热量流入,g=0表示在边界绝热。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍211111112122( , , , )(0)() ,|,t tx y z tkkk uu nnGncudv 112 (3)边界与周围介质有热交换情况，推导过程和热传导方程推导过程一样。设u为处介质的温度， 为两种介质之间的热交换系数。根据热传导的另一定律，q其中 为的单位外法向量。 任取一充分小的区域G，边界为上的单位法向量。在G上， 有 Qrrrr2110|,tt ttGGGcudvWdtf

31、 dv2Q。221122112211121120()()()()(|)ttttttttttttttGGd tnd sd tnd skd tuud sd tnd sc uud vd tf d vk 12121而分 为 两 部 分 ， 一 部 分 来 自 内 部 ， 一 部 分 由 周 围 介 质 交 换 得 到 ， 所 以 q+ q + q由 热 力 学 第 二 定 律 得 到 rrrrrr22112222111111201120112()()()()()()ttttttttttttGGGGd tuud sd tnd sud tcd vd tf d vkd tuud sd tnd stucd v

32、f d vkuud snd st12121212+ q即 + q,t , t 任 意 ， 可 得 + qrrrrrr第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍011221011111u()-V0,0u()0,u()GGGGGucdvf dvkuudsdstnunnncdvf dvtkuukdsnkuukn 12121 + k令，此时，且即，所以 由的任意性可得 =0,简写成 rrrrrr11u( , , ) ( , , ), ( )0,.( )kug x y z tx y z tnkguk 其中式为热传导方程的第三类边界条件。 r2t11221 u, 0, () , ()

33、()xxxxxxxxxna ufx tqkuku iat xku iiqkuqkuat xlku iiqkuqku 注：对流入量流入量 rrr rrr第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍111u( , , ) ( , , )kkuug x y z tx y z tnkk r111111uu 0, , kkkkat xuuat xluunkknkk rruu 0, , uuat xat xlnxnxcouse： rr11111u u () =0 ()kkuunkkifknifkuu 注 导热性能好 ，绝热 边界外面温度 rr定解问题举例： 2911 ( , , ) :3

34、 ( ,0)200, ( , , ) u27 ( , , ) tuaux y z tpu xx y z tkuux y z tnk r第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2910110: 4 ( , , ) ( ,0)0, 0( , )0, ( , )()()()( , )+,= 0 txxxpuaux y z tu xxlul tkul t iikuuiikul tk u l tk ut右端开放： 或 （） rrrrgg11010 0 0 ( ,0)0, 0( , )0, (0, )(0, )(0, )ii=()ii 0 txxxuauxltu xxlul tkut

35、k utk ukutkuut 左端开放： 或 - r rr r= 扩 散 问 题传 导 问 题 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2910110: 4 ( , , ) ( ,0)0, 0( , )0, ( , )()()()( , )+,= 0 txxxpuaux y z tu xxlul tkul t iikuuiikul tk u l tk ut右端开放： 或 （） rrrrgg11010 0 0 ( ,0)0, 0( , )0, (0, )(0, )(0, )ii=()ii 0 txxxuauxltu xxlul tkutk utk ukutkuut 左端开放

36、： 或 - r rr r= 扩 散 问 题传 导 问 题 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 第一类边境条件，直接规定了所研讨的物理量做边境上的数值； 第二类边境条件，规定了所研讨物理量在边境外法线方向上的方导游数的数值； 第三类边境条件，规定了所研讨物理量及其外法导游数的线性组合在边境上的数值。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程静电场的电势方程静电场的电势方程 直角坐标系中泊松方程为 0假设空间无电荷，即电荷密度假设空间无电荷，即电荷密度，上式成为，上式成为 称这个方程为拉普拉斯方程. 电势电

37、势V (x,y,z)V (x,y,z)确定所要研讨的物理量：确定所要研讨的物理量：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：VE/ E()EV 2/V 20V建立泛定方程：建立泛定方程：V 2V 泊松方程泊松方程 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程 , , ttufinufinuuonont Dirichlet problem Neumann troblem 212100010011000222 () () 0 0, =0 () () 0 0, ttxxxxxttxxl

38、xxxxc uufx tsku is qtxs kus qkuqxxc uufx tsku is qtxkuqkuq Ex1令令rr121122 =0, (0, )( ) = , ( , )( )0, ( ) ( ) , ()( ) ( ) xxxxxxxxxkutgtx l kul tgtxqku iku iigtkugtxl qku iku iigtkugt 另法： rr rrrrrr第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍泊松方程或拉普拉斯方程泊松方程或拉普拉斯方程2100011111111(01) () ()()(0,)() 0 (0, )(0,)( 1)0 (0

39、, )0,( ) =0, (0, )( )(02) ttxxxxxxxc uufx tsku iits kutgi itxkutkutgkutk utk gtxutugt Ex2令rrr r11111111 ()()() ()( 1), xxxxku iikugiikukugkuk ukgkuk ukg rrrr第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1.2 1.2 定解问题的适定性定解问题的适定性常微分方程定解问题回想常微分方程定解问题回想 常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。数

40、。常微分方程定解问题就是确定积分常数。 利用在自变量取一个特定值时的值，如初值利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题数学物理方程的定解问题),(tzyxu要求给定：初始条件和边境条件要求给定：初始条件和边境条件41第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍初始时辰的温度分布：初始时辰的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC C、泊松方

41、程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边境条件不含初始条件，只含边境条件A A、 动摇方程的初始条件动摇方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt描画系统的初始形状描画系统的初始形状系统各点的初位移系统各点的初位移系统各点的初速度系统各点的初速度一一 初始条件初始条件第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍和和 是空间坐标的函数是空间坐标的函数( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )(), thlxxlu x thllxxll43留意：初始条件给出系统在初始形状下物理量的分布，留

42、意：初始条件给出系统在初始形状下物理量的分布，而不是一点处的情况。而不是一点处的情况。一根长为一根长为l的弦，两端固定于的弦，两端固定于0和和l。在中点位置将弦沿着横向拉。在中点位置将弦沿着横向拉开间隔开间隔h ，如下图，然后放手任其振动，试写出初始条件。，如下图，然后放手任其振动，试写出初始条件。 l x l/2h解：初始时辰就是放手的那一瞬间，按题意解：初始时辰就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始速度为零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍二边境条件二边境条件 定义：系统的物理量一直在边境上具有的情况。

43、定义：系统的物理量一直在边境上具有的情况。 A.A.第一类边境条件第一类边境条件直接给出系统边境上物理量的函数方式。直接给出系统边境上物理量的函数方式。如：两端固定的弦振动如：两端固定的弦振动00( , )xu x t0( , )x lu x t和和位置确定位置确定44常见的线性边境条件分为三类：常见的线性边境条件分为三类：第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍细杆热传导细杆热传导0 xlx 0( , )x lu x tu或随时间变化的温度或随时间变化的温度( , )( )x lu x tf t恒温恒温B.B.第二类边境条件第二类边境条件第一类边境条件的根本方式：第一类

44、边境条件的根本方式：000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xyzt边界速度确定速度确定细杆的纵振动：当端点细杆的纵振动：当端点“自在，即无应力。根据胡克自在，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：定律，杆的相对伸长也为零：0( , )xx lux t细杆热传导：端点绝热，热流强度为零，由热传导定律：细杆热传导：端点绝热，热流强度为零，由热传导定律：0( , )xx lux t45第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍C.C.第三类边境条件第三类边境条件位移和速度的组合位移和速度的组合细杆热传导：端点细杆热传导：端点“自在冷却自在冷却

45、( (热流正比于温差热流正比于温差) )。牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：()qh uTT 为环境温度。为环境温度。nquT根据热传导定律，在根据热传导定律，在 x=l 处：处：()nx lx lkuh uT0 xlx 负负x方向方向nn正正x方向方向00()xxxkuh uT()xx luHuT0()xxuHuT在在x=0 处处 nnqkunxqku46第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍细杆纵振动：端点与固定点弹性衔接。应力为弹性力细杆纵振动：端点与固定点弹性衔接。应力为弹性力胡克定律：胡克定律：xfYSu弹性力：弹性力：fku 那么在端那么在端点点xkuYSu0()

46、xx lYSuuk普通表达式：普通表达式：000000,()(, )边界xyzuuHf xyz tn这些是最常见的线性边境条件，还有其它方式。这些是最常见的线性边境条件，还有其它方式。三衔接条件三衔接条件xlx k 系统中能够出现物理性质急剧变化的点系统中能够出现物理性质急剧变化的点( (跃变点跃变点) )。如两节。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 x=0 处衔接，这一点就是跃变点。处衔接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量依跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量依然可以是延续的，这就构成衔接条件。然可以是延续

47、的，这就构成衔接条件。47第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍例例ux0 x横向力横向力 作用于作用于 点。点。( )F t)(tF0 x弦在弦在 的左右斜率不同，但位移的极限值一样。的左右斜率不同，但位移的极限值一样。)0()0(00 xuxu120( )sinsinF tTT 这两个等式就是衔接条件。这两个等式就是衔接条件。0 x又，横向力应与张力平衡：又，横向力应与张力平衡：即即11022000sintan(, )sintan(, )xxuxtuxt 0000(, )(, )( )xxTuxtTuxtF t 1 248第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建

48、模及其基本原理介绍 数学物理方程的分类数学物理方程的分类一线性二阶偏微分方程一线性二阶偏微分方程把一切自变量依次记作把一切自变量依次记作x1, x2, xn，线性二阶偏微分方程可表为线性二阶偏微分方程可表为1110ijinnnijx xixjiia ub ucuf其中其中 aij, bi, c, f 只是只是 x1, x2, xn 的函数。的函数。偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自偏微分方程，阶数，线性偏微分方程，自在项，齐次方程，非齐次方程在项，齐次方程，非齐次方程49第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 微分方程的解微分方程的解 古典解：假设将某个函数 u 代入

49、偏微分方程中，能使方程成为恒等式，那么这个函数就是该偏微分方程的解。通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数一样的恣意常数的解。 特解： 经过定解条件确定了解中的恣意常数后得到的解。 方式解：未经过验证的解为方式解。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍定解问题的适定性 定解问题的适定性:一个定解问题能否可以反映实践，从数学的角度看主要是三个方面的问题： 解的存在性:即在给定的定解条件下，定解问题能否有解存在? 从下一章起，我们要引见三种典型的数学物理方程的解法，它们直接给出了解的存在性的证明。 解的独一性:即在给定的定解条件下，定解问题的解假设存在，它能否独一?假

50、设能知道一个定解问题具有独一解，那么我们就能采用任何适宜的方法去寻觅它的解。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变解的稳定性：定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只需微小的变动化时，解也只需微小的变动, 那么称该定解问题那么称该定解问题的解是稳定的，否那么称它的解是不稳定的。由的解是稳定的，否那么称它的解是不稳定的。由于定解条件中的一些知量，通常总是利用实验得于定解条件中的一些知量，通常总是利用实验得到的数据，不可防止地会有一定的误差，所以人到的数据，不可防止地会有一定的误差，所以人们自然会关怀定解条件的微小扰动能否会导致

51、解们自然会关怀定解条件的微小扰动能否会导致解的变化很大。的变化很大。 适定性：一个定解问题存在独一稳定的解，那么适定性：一个定解问题存在独一稳定的解，那么此问题是适定的。否那么就称它为不适定的。此问题是适定的。否那么就称它为不适定的。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 由于许多数学物理问题均可以用适定的定解问题来处置，长期以来，人们以为不适定数学物理问题的研讨是没有意义的，然而在实践问题中经常遇到不适定的问题。 例如，对于某物体，希望在某时辰具有一个实践的例如，对于某物体，希望在某时辰具有一个实践的温度分布，那么在初始时辰物体该当具有一个什温度分布，那么在初始时辰

52、物体该当具有一个什么样的温度分布才干到达此目的？么样的温度分布才干到达此目的？ 这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题这就是一个不适定的问题它是所谓的数学物理问题的反问题。的反问题。 经过研讨，人们找到了处置这类不适定问题的经过研讨，人们找到了处置这类不适定问题的一些方法。如今对不适定问题的研讨已成为偏微分一些方法。如今对不适定问题的研讨已成为偏微分方程的一个重要的研讨方向。方程的一个重要的研讨方向。第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍 1.3 叠加原理叠加原理 1.3.1 叠加原理 叠加原理;superposition principle 在数学物理中经常出现

53、这样的景象：几种不同缘由的综合所产生的效果，等于这些不同缘由单独产生效果的累加。例如，物理中几个外力作用于一个物体上所产生的加速度，等于各个外力单独作用在该物体上所产生的加速度的总和，这个原理称为叠加原理。叠加原理适用范围非常广泛，数学上线性方程，线性问题的研讨，经常运用叠加原理。 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍111222122(1)xxxyyyxya ua ua ubub ucuf111222122xxxyyyxyua ua ua ub

54、ub ucuf22211122212222(2)aaabbcxx yyxy , 12( , ),( , )u x y u x y12, ,u u1212(3)uuuu第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍222222222222(4)(5)(6)atxxyatx 波算子拉普拉斯算子热算子(1)iin ( , )(1)if x yin 1ni iiff( , )(1)iu x yin (7)iuf第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍(8)uf1ni iiuu222221112221323222331232222aaaaaxx yyx zz yab

55、bbczxyz 12u afbf1,u af2u bf12,u u12.uaubu1ni iiff第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1i iiff1i iiuu2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(9)( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxtuua uf x txl tutu l ttu xx u xxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(10)( ,0)0,( ,0)0, 0ttxxtua uf x txl tutu l ttu xu xxl20,0,0(0

56、, )0, ( , )0,0(11)( ,0)( ),( ,0)0, 0ttxxtua uxl tutu l ttu xx u xxl20,0,0(0, )0, ( , )0,0(12)( ,0)0,( ,0)( ), 0ttxxtua uxl tutu l ttu xu xxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍123( , ), ( , ), ( , )u x t u x t u x t123( , )( , )( , )u u x tu x tu x t2(,),0,0( 0 ,)0 ,( ,)0 ,0(9 )(, 0 )(),(, 0 )(),0ttx xt

57、uuaufxtxl tutul ttuxxuxxxl20,0,0(0, )0,( , )0,0(11)(, 0)(),(, 0)0,0ttxxtua uxl tutu l ttuxxuxxl2(, ),0,0(0, )0,( , )0,0(10)(, 0)0,(, 0)0,0ttxxtua ufx txl tutu l ttu xuxxl20 ,0,0(0 , )0 ,( , )0 ,0(1 2 )(, 0 )0 ,(, 0 )(),0ttx xtua uxl tutul ttuxuxxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍1,iiff1( ),iix1( ),ii

58、x1, ( , )inu x t2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxiitiua uf x txl tutu l ttu xx u xxxl1( , )( , )iiu x tu x t2( , ),0,0(0, )0, ( , )0,0(9)( ,0)( ),( ,0)( ), 0ttxxtuua uf x txl tutu l ttu xx u xxxl第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍212( , ),0,0(0, )( ), ( , )( ),0(13)( ,0)( ),( ,0)( ), 0t

59、txxtuua uf x txl tutg t u l tg ttu xx u xxxl12( ),( )gtgt( , )w x t12(0, )( ), ( , )( )wtg t wl tg t211( )( )( , )( ).g tg tw x tg txlv u w 111( , )(0, )( , ) 0( ,0)( ,0)( ,0)( )( ,0)( )( ,0)( ,0)( ,0)( )( ,0)( )ttttvuwfwf x tvtv l tv xu xw xxw xxv xu xw xxw xx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍2sin48(1

60、4)xxyyu uuxxyx 2sinxxyyxxyyxxyyuuxuuxyuux1( , )sin ,u x yx321( , )6u x yxy431( , )12u x yx3422( , )sin33u x yxxyx2222sin48(15),xxyyu uuxxyxuxy xyR 3422( , )sin33w x yxxyx第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本原理介绍v u w 2222sin48(15),xxyyu uuxxyxuxy xyR 342220(15*)22sin,33vvxyxxyx xyR 第一章第一章 数学建模及其基本原理介绍数学建模及其基本