数学竞赛第三章数论20122

1、2/11/20222第三章第三章 数数 论论31 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性1、偶数、偶数+偶数偶数=偶数；奇数偶数；奇数+奇数奇数=偶数；偶数； 奇数奇数+偶数偶数=奇数奇数2、a,b为整数，若为整数，若ab为偶数，则为偶数，则a,b的奇偶性的奇偶性相同；若相同；若ab为奇数，则为奇数，则a,b的奇偶性相反。的奇偶性相反。3、奇数个奇数之和是奇数；、奇数个奇数之和是奇数； 偶数个奇数之和是偶数。偶数个奇数之和是偶数。4、奇数、奇数奇数奇数=奇数；偶数奇数；偶数偶数偶数=偶数；偶数； 奇数奇数偶数偶数=偶数偶数 2/11/20223第三章第三章 数

2、数 论论31 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性5、任意、任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇次幂是奇数。若数。若n个数的积为奇数，则这个数的积为奇数，则这n个数均为奇数。个数均为奇数。6、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，们的积是偶数；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。则这些因数中至少有一个偶数。 7、 若若a,b为整数，则为整数，则a+b与与a-b奇偶性相同奇偶性相同2/11/20224第三章第三章 数

3、数 论论 3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一、整数的奇偶性一、整数的奇偶性例例1.在在1, 2, 3, , 1999 这这1999 个数的前面任个数的前面任意添上正号或负号意添上正号或负号, 问它们的代数和是奇数问它们的代数和是奇数还是偶数还是偶数?例例2.设设a1 , a2 , , an 是自然数是自然数 1, 2, , n 的一个的一个排列排列, 若若n 为奇数为奇数,求证求证: ( a1 - - 1) ( a2 2- - 2) ( an- - n) 为偶数。为偶数。2/11/20225第三章第三章 数数 论论 3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性一

4、、整数的奇偶性一、整数的奇偶性例例3.设设n个整数个整数a1 , a2 , , an 的积等于的积等于n，其和为，其和为0. 证明：证明：4|n.例例4.设设n个数个数x1 , x2 , , xn1 x2 +x2 x3 + +xn-1 xn+xn x1=0 . 证明：证明：4|n.2/11/20226二、整数的整除性二、整数的整除性3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性1. 1. 整除的定义：对于两个整数整除的定义：对于两个整数a a、b(b0b(b0），）， 若存在一个整数若存在一个整数c c，使得，使得 a=bc a=bc 成立，则称成立，则称b b整除整除a a，或，或a

5、 a被被b b整除，记作整除，记作b|ab|a。a a叫做叫做b b的倍数，的倍数，b b叫做叫做a a的约数（因数）。的约数（因数）。 若满足若满足的整数的整数c不存在，就称不存在，就称a不能被不能被b整除，或整除，或b不能整除不能整除a，记作，记作b a， 如如2|6，4 6。2/11/202272、整除的性质、整除的性质3 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性性质性质1 1 a, ,b, ,c为整数，为整数， 1）a| |a; ; 2）若若c|b，b| |a，则，则c|a ;（传递性）（传递性） 3 3）若）若a|b，a|c，则，则a| |（ma+nb），），m、n为任意整

6、数为任意整数. .性质性质2 2 等式中除某一项外，其他所有项都能被等式中除某一项外，其他所有项都能被m整除，整除，则这一项也能被则这一项也能被m整除。整除。性质性质3 3 1) 1)若若a|bm，且（，且（a，b）=1，则，则a|m； 2) 若若a|m，b|m，且（，且（a，b）=1，则，则ab|m； 3) 若若p为质数，且为质数，且p|ab ，则，则p|a，或，或p|b。二、整数的整除性二、整数的整除性2/11/202283 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性连续整数之积的性质连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之任意两个连续整数之积必定是一个奇

7、数与一个偶数之一积，因此一定可被一积，因此一定可被2整除。整除。 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是是3的倍数，所以它们之积一定可以被的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被整除，也可被3整除，所以也可以被整除，所以也可以被23=6整除。整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。 二、整数的整除性二、整数的整除性2、整除的性质、整除的性质2/11/202293 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性例例10. 设设p是大于是大于5的素数，求证：的素数，求证：240|p4- -1.

8、例例11. p5是素数，且是素数，且2p+1也是素数，证明：也是素数，证明：4p+1必是合数。必是合数。二、整数的整除性二、整数的整除性2/11/2022103 31 1 整数的奇偶性和整除性整数的奇偶性和整除性1.证明：不定方程证明：不定方程x2+y2=1983无整数解无整数解.3.能否找到能否找到10个奇数，使它们的倒数和等于个奇数，使它们的倒数和等于1？二、整数的整除性二、整数的整除性4. 方程方程ax2+bx+c=0，其中，其中a、b、c都是奇数，都是奇数，证明此方程无整数解证明此方程无整数解.2/11/202211第三章第三章 数数 论论32 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的

9、定义和性质2/11/20221232 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质2/11/20221332 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质2/11/20221432 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质2/11/20221532 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质例例1.今天是星期四，则今天是星期四，则101000天后是星期几？天后是星期几？例例2.证明：证明：993993+991991能被能被1984整除整除.习题习题为任意正整数，证明：为任意正整数，证明：A=2034n + 846n - -1917n - -963n 能被能被198

10、9整除整除.2/11/20221632 同同 余余一、同余的定义和性质一、同余的定义和性质例例3.求证：求证：x14 +x24 + x34 + + x144 =1599无无整数解整数解.（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被能被3整除的一切自然数整除的一切自然数n. 求证求证31980+41981能被能被5整除整除.2/11/20221732 同同 余余二、剩余类、完全剩余系、费马小定理二、剩余类、完全剩余系、费马小定理定理定理3（费马小定理）设（费马小定理）设p是素数，且是素数，且(a,p)=1，那么，那么 ap-1 （mod p） .更一般地更一般地

11、,设设p是素数是素数,对任意整数对任意整数a,有有ap a(modp).2005 被被17除的余数除的余数.习题习题2000被被29除的余数除的余数.例例13.设设a为正整数，且为正整数，且17 a，求证：，求证：a8 8 - -1与与a8 +1中有且仅有一个能被中有且仅有一个能被17整除整除.2/11/202218第三章第三章 数数 论论33 不定方程不定方程 不定方程是数论中最古老的分支之一。不定方程是数论中最古老的分支之一。 古希腊的丢番图（古希腊的丢番图（Diophantus）早在公元）早在公元3世纪就世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程开始研究不定方程，因此常称不定方

12、程为丢番图方程. 中国是研究不定方程最早的国家中国是研究不定方程最早的国家.公元公元5世纪的世纪的 张丘建算经张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来余理论联系起来. 百鸡问题说：百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一三，鸡雏三，直钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？几何？”. 费马（费马（Fermat）大定理（）大定理（当当n2时，时，xnynzn没有没有非平凡的整数解非

13、平凡的整数解），历经），历经300余年，已由英国数学家安余年，已由英国数学家安德鲁德鲁 维尔斯（维尔斯（ ）证明。）证明。 丢番图丢番图数书九章数书九章大衍类大衍类2/11/20221933 不定方程不定方程一、一次不定方程一、一次不定方程2/11/20222033 不定方程不定方程一、一次不定方程一、一次不定方程例例.求求4x-3y=10的整数解的整数解.例例1.求求37x+107y=5的整数解的整数解.2/11/20222133 不定方程不定方程一、一次不定方程一、一次不定方程例例2.求不定方程求不定方程25x+13y+7z=4的整数解的整数解.多元一次不定方程多元一次不定方程2/11/20222233 不定方程不定方程二、高次不定方程二、高次不定方程1.分解因式（因数）分解因式（因数）例例3.求不定方程求不定方程 x2y + + 2x2 - -3y - -7=0 的整数解的整数解.例例6.求不定方程求不定方程 x3 + +y3 =1072=1072 的正整数解的正整数解.2/11/20222333 不定方程不定方程二、高次不定方程二、高次不定方程1.分解因式（因数）分解因式（因数）m，n，使得，使得1！+2！+m!=n2.习题习题4.求不定方程求不定方程 3x2-4xy+3-4xy+3y2=35 =35 的正整数解的正整数解.5.求不定方程求不定方程