函数的奇偶性 (4)

1、对对称称是是大大自自然然的的一一种种美美！xyOxyOxyO1xO1y如何用数学语言表述函数如何用数学语言表述函数图象关于图象关于y轴对称呢？轴对称呢？y = f (x)函数图象关于函数图象关于y轴对称轴对称. .xyO y = f(x)A(x0，f (x0)点点A关于关于y轴的对称点轴的对称点A的坐标是的坐标是_.点点A在函数在函数 y = f (x) 的图象上吗的图象上吗？点点A的坐标还可以表示为的坐标还可以表示为_.你发现了什么你发现了什么？(x0，f (x0)(x0，f (x0)yxOxyO)0(1)(xxxf3)(xxf函数奇偶性的定义：函数奇偶性的定义：如果对于函数如果对于函数f（

2、x）的定义域内任意的一个）的定义域内任意的一个x，都有：，都有：（1）f（x）= f（x），则称），则称 y =f（x）为奇函数）为奇函数（2）f（x）= f（x），则称），则称 y =f（x）为偶函数）为偶函数几何意义几何意义:奇函数的函数图像关于原点对称奇函数的函数图像关于原点对称几何意义几何意义:偶函数的函数图像关于偶函数的函数图像关于y轴对称轴对称 .14; |23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例 .Rxxf的定义域是函数解112 ,xfxxxfRx1122都有因为对于任意的 .是偶函数函数所以12 xxf .Rxxf的定义域是函数22 ,x

3、fxxxfRx22都有因为对于任意的 .是奇函数函数所以xxf2 .14; |23;22;11122xxfxxfxxfxxf函数或奇函数判定下列函数是否为偶例 .|Rxxf的定义域是函数23 ,|,xfxxxfRx22都有因为对于任意的 .|是偶函数函数所以xxf2 .Rxxf的定义域是函数214 .,11114101ffffff所以因为 .,函数既不是奇函数也不是偶可知函数根据函数奇偶性定义因此21xxf .523是否具有奇偶性判断函数例xxxf .Rxxxf的定义域是函数解53 ,xfxxxxxxxfRx555333都有因为对于任意的 .为奇函数函数所以xxxf53?,的特点的特点其定义域

4、具有怎样其定义域具有怎样具有奇偶性的函数具有奇偶性的函数探究探究注：注：1、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称。例例3：判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性xxxyxxy11) 1()2() 32() 1 (2定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。.)2()(02是否具有奇偶性判断函数xxxfxyO22练习注：注：2、定义域对称的零函数，既是奇函数也是偶函数、定义域对称的零函数，既是奇函数也是偶函数例例4、判断下列函数的奇偶性、判断下列函数的奇偶性2)4(1)1()3(1)2(11

5、)1(00yxyxyxxy定义域对称的非零常数函数仅是偶函数，定义域对称的非零常数函数仅是偶函数，而零函数既是奇函数又是偶函数而零函数既是奇函数又是偶函数注：注：3、对于奇函数，若、对于奇函数，若x能取到零，则能取到零，则f（0）= 注：注：4、函数奇偶性的类型：、函数奇偶性的类型：（1）奇函数）奇函数（2）偶函数）偶函数（3）即奇且偶函数）即奇且偶函数（4）非奇非偶函数）非奇非偶函数0例例5、判断下列函数的奇、偶性、判断下列函数的奇、偶性)0(1)0(0)0(1) 3(1|2|)2(| 1| 1|) 1 (2xxxxxyxxyxxy注：注：5、判断奇、偶性可利用图象、定义等判别方法。、判断奇、偶性可利用图象、定义等判别方法。注：注：6、奇、奇奇奇=奇；偶奇；偶偶偶=偶；奇偶；奇偶偶=非奇非偶；非奇非偶； 偶偶偶偶=偶；奇偶；奇奇奇=偶；偶偶；偶奇奇=奇；奇； 练习练习1、对于定义在、对于定义在R上的函数上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？下列判断是否正确？(1)若若f (2) = f (2)，则函数，则函数 f (x)是偶函数