M(四章1讲)表象理论

1、光电信息学院 李小飞第四章：表象与矩阵力学第四章：表象与矩阵力学量子力学的三种表述：量子力学的三种表述：Solved第第一一讲：讲：态的表象态的表象引入：引入：= x xy yz zaea eae几何空间一矢量可以有多种描述：几何空间一矢量可以有多种描述：直角坐标基矢：直角坐标基矢：球坐标基矢：球坐标基矢： , xyze e e , re ee r ra ea ea e 3= i iiPae3= n nnae3= a e P( , , ) ( , , )x y zr 选取不同的坐标系，可以简化问题的处理过程！选取不同的坐标系，可以简化问题的处理过程！前面我们学习的波函数、力学量算符和薛定谔方前

2、面我们学习的波函数、力学量算符和薛定谔方程等都是以程等都是以位置位置为自变量的，为自变量的，( , ) r t () pixyx A( , ) f r pr rrr rr22(, )(U (, t)(, ) 2ir trr tthvvvh量子力学就象几何学一样，可以在不同的基底上量子力学就象几何学一样，可以在不同的基底上进行表述，称为表象理论进行表述，称为表象理论它们它们能不能采用其他力学量的基矢作基底呢？能不能采用其他力学量的基矢作基底呢？定义：量子力学中选取一组基矢作基底定义：量子力学中选取一组基矢作基底就称选取一种表象就称选取一种表象动动量量表表象象能能量量表表象象角角动动量量表表象象常

3、用的常用的表象（表象（基矢）基矢）位位置置表表象象粒粒子子数数表表象象自自旋旋表表象象rrvrv*( )( , )( , ) pc p tt drrrrrrrr( ,)( , )( ) pr tcp trd pr vhrvh3/21( ) (2)iprpre变换因子：变换因子： 是动量是动量算符算符本征函数本征函数傅里叶变换傅里叶变换. .动量表象中的波函数动量表象中的波函数rr( , )( , ) r tc p t 位置表象位置表象中中的波函数的波函数， 动量表象动量表象中中的波函数的波函数。r( ,) r tr( , ) c p t展开操作展开操作投影操作投影操作同一态函数可在多个表象中进

4、行描述同一态函数可在多个表象中进行描述rrrrrrrr( ,)( , )( )( , ) ( ) ppr tcp trd pcp tr如何求其他表象中的波函数？如何求其他表象中的波函数？2( , ) r tr 测得力学量测得力学量 为的概率为的概率 rr2( , ) c p tr测得力学量测得力学量 为的概率为的概率 pr rr pr ggg ggg关系：关系： 是是 在动量表象中的投影（系在动量表象中的投影（系数）数）( , ) c p tr( , ) r trrrvrv*( )( , )( , ) pc p tt drrrrrrr r( ,)( , )( ) pr tcp trdp本征函数

5、系：本征函数系：rv( ) pr. .任意表象下的波函数的具体形式任意表象下的波函数的具体形式vvr*(,)( , )( )qa qtr t durrrr( ,)(,) ( ) qr taqtu rdq动量表象动量表象本征函数系：本征函数系： ( )qu rQ连续连续为简单起见：为简单起见：*(,)( , ) =( )qqa qtr t drtuarvvr2( , )a q t 表示测得力学量表示测得力学量 为的概率为的概率qQ 设设 是任一表象是任一表象 中的波函数，则中的波函数，则( , )a q tQ表象表象rv*( )()( , ) nnua tr tr( ,)() ( )() ( )

6、 qqnnnr ta tu r dqa tu rrrr具有分立的本征谱：具有分立的本征谱：vv ( ) ( ) qnu ru rQ2()1na t 即：只要知道的本征函数系，就能写出表象即：只要知道的本征函数系，就能写出表象中波函数的具体形式。中波函数的具体形式。2211( )( ) .) ( )( )(nna ta ta tu ru ru rrrMrrr( ,)() ( ) nnnr ta tu rrrr1122() ( )() ( ) . . .() ( ) nna tu ra tu ra tu r系数矩阵系数矩阵基底基底改写成矩阵形式：改写成矩阵形式： 的本征谱含有连续部分：的本征谱含有

7、连续部分：vv ( ), ( ) nqu r u rrrr( ,)() ( )() ( ) nnqqnr ta tu ra tu rdqrv*( )()( , ) nnua tr trrvv*()( , ) ( )qqa tr t drruQ22()()1nqa ta t dq12( )( ) .( ) .( ) nqu ru ru ru rrrrrr( ,) r t12( )( ) ( )( )nqa ta ta ta tMMrrr( ,)() ( )() ( ) nnqqnr ta tu ra tu rdq改写成矩阵形式：改写成矩阵形式：12( )( ) ( )( )nqa ta ta t

8、a tMMQQ基底上的基底上的系数矩阵系数矩阵 r( , ) r t 称为坐标表象中的称为坐标表象中的状态状态波函数，波函数， 称为称为动量表象中的动量表象中的状态状态波函数；波函数；称为称为表象中的表象中的状态状态波函数。波函数。r( ,) r tr( , ) c p t量子态的量子态的函数形式函数形式量子态的量子态的矩阵形式矩阵形式12( )( ) ( )na ta ta t MM共轭矩阵转置共轭矩阵转置+矩阵元复共轭矩阵元复共轭12( )*( )*( )* na ta ta t LL1212( )( )( )*( )*( )* ( )( )*( )1nnnnna ta ta ta ta

9、ta ta ta t LLMM1 归一化公式的矩阵形式归一化公式的矩阵形式有有：3 .3 . 实 例 实 例例例1. 1. 求平面波在动量表象中的具体形式求平面波在动量表象中的具体形式*( )( , )( , )pc p tx txdx/( , )( )piE tpx tx e/*( )( )pi Epptxxedx*/()pi E tppxxedx/( )pi E tepp( )( )c ppphh1/21( ) (2)ip xpxe动动量算符量算符的的本征函数本征函数（平面波函）在自身（平面波函）在自身表表象象中是中是函数函数。例例2.2.粒子处于如下波函数描写的粒子处于如下波函数描写的能

10、量能量基态（基态（n=1n=1）时：）时： 2sin0nnxxx aaa 求态函数求态函数在能量和动量表象中在能量和动量表象中的具体表示的具体表示形式形式。解：解：（1）能量表象）能量表象： 2sinnnxxaa能量本征函数能量本征函数 12sinnnnxxaExaa *11( )nnnnaExx能量算符能量算符的本征函数的本征函数在自身在自身表象表象中也取中也取函数函数形式形式。110 0A M 一般结论一般结论: : 力学量力学量算符的本征函数在自身算符的本征函数在自身表象表象中是中是函数。函数。00 10mA MM第第m m行行1m具体地看具体地看态态1态态m *111( )nnnaEx

11、x *( )mnmmnnaExx 1/21 2ipxpxehh动量本征函数动量本征函数（2 2）动量表象动量表象: :102( )sin( )( )apxxc px dpaa 1pc pxx dx1/2012( )sin.2iapxc px edxaa22221 /ipaaep ahhh123 aAaar三维矢量空间三维矢量空间123, eeevvv基矢构成完备集：基矢构成完备集：正交归一条件：正交归一条件：. nmnme ev v31 12 23 31 i iiAaeaea ea evrvvv任一矢量都可以通过基矢展开（投影）：任一矢量都可以通过基矢展开（投影）：1e2e3eA矢量与展开系数

12、所构成的坐标矩阵有对应关系矢量与展开系数所构成的坐标矩阵有对应关系4 . H i l b e r t 4 . H i l b e r t 空 间空 间12( )( ) ( )na ta ta tM量子力学的态空间量子力学的态空间12, .,nuuu本征函数本征函数构成完备集：构成完备集：正交归一化条件：正交归一化条件：(),mnmnuu1122( )( )( ).( )nnnnna t ua t ua t ua t u任一任一态函数态函数都可以在这个完备集上展开：都可以在这个完备集上展开：态函数态函数与展开系数所构成的坐标矩阵有对应关系与展开系数所构成的坐标矩阵有对应关系矢量空间与态空间的对应

13、矢量空间与态空间的对应矢量空间量子力学态空间矢量空间量子力学态空间维度维度n n完备集完备集基矢基矢集集本征函数本征函数集集uu1 1,u,u2 2,u,un n 123, eeevvv. nmnme ev v( ,1,2,3)n m正交正交归一归一(),mnmnuu完备性完备性31 i iiPAerr( ) nnna t u矩阵矩阵表示表示123PAAA12( )( ) ( )na tatat M归一化归一化1 1P P (, ) nnatu iiAe Prrg投影投影系数系数选定一个选定一个特定力学量特定力学量 表象，就相当于表象，就相当于在矢量空在矢量空间选定一间选定一种种坐标系坐标系,

14、 ,力学量力学量算符算符 的的正交归一正交归一完备本完备本征函数征函数系系 构成这个坐标系的基矢构成这个坐标系的基矢基底基底。QnuQ3 3选取不同力学量选取不同力学量表象表象，相当于选定不同，相当于选定不同坐标系坐标系结论结论. .任意任意态函数态函数 就相当于矢量空间的一个矢量，在就相当于矢量空间的一个矢量，在 基底基底上的上的展开系数展开系数矩阵矩阵称为称为在在表象中的表示表象中的表示QQ. .数学上把这种由线性函数系张开的一个数学上把这种由线性函数系张开的一个多维多维矢量空矢量空间称为间称为HilbertHilbert空间。波函数就是空间。波函数就是HilbertHilbert空间的一

15、个空间的一个矢量，称为态矢量，可用其空间任一基组上的展开矢量，称为态矢量，可用其空间任一基组上的展开系系数数矩阵矩阵来代替来代替作业：作业：（1 1）求坐标算符求坐标算符x x的本征函数，及其在动量表象中的的本征函数，及其在动量表象中的具体形式。具体形式。（2 2）证明：一般力学证明：一般力学量量算符的算符的本征函数本征函数在自身在自身表象表象中中都具有都具有函数的形式函数的形式（3 3）作业作业：已知空间转子处于如下状态已知空间转子处于如下状态),(32),(312111 YY 试问：试问： （1 1）是否是是否是 L L2 2 的本征态？的本征态？ （2 2）是否是是否是 L Lz z 的

16、本征态？的本征态？ （3 3）求）求 L L2 2 的平均值；的平均值； （4 4）在）在 态中分别测量态中分别测量 L L2 2 和和 L Lz z 时得到的时得到的可能值可能值及其及其相应的几率。相应的几率。解解： ),(32),(31)1(211122 YYLL 212112)12(232)11(131YY 211122312YY 没有确定的没有确定的 L L2 2 的本征值，故的本征值，故 不是不是 L L2 2 的本征态。的本征态。 ),(32),(31)2(2111 YYLLzz21113231YY 21113231YY是是 L Lz z 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I）已归一化已归一化（ dxxFxF)()(*验证归一化：验证归一化： dc *21 dYYYYc2111211123231*3231 dYYYYYYYYc11212111212111112*92*92*94*9122959491cc 53 c归一化波函数 21113231YYc dLL2*2 dYYLYY211122111251