南京工业大学传递工程第3章 微分方程

1、 第三章第三章 传递过程传递过程微分衡算方程微分衡算方程 q动量、热量和质量传递过程都是物理过程，它们分别遵动量、热量和质量传递过程都是物理过程，它们分别遵循循动量守恒定理动量守恒定理、能量守恒原理能量守恒原理和和质量守恒原理质量守恒原理。q将这些普遍规律应用于动量、能量和质量传递这类物理将这些普遍规律应用于动量、能量和质量传递这类物理现象可得到反映速度（或压力）、温度、浓度随时间、现象可得到反映速度（或压力）、温度、浓度随时间、空间的变化关系式，这些关系式就是传递过程的微分方空间的变化关系式，这些关系式就是传递过程的微分方程。程。q本章在上述基本物理定律基础上建立以下传递方程：本章在上述基本

2、物理定律基础上建立以下传递方程： 传递微分衡算方程传递微分衡算方程v一、质量微分衡算方程一、质量微分衡算方程 C.EC.E.v二、组元微分衡算方程二、组元微分衡算方程 C.EC.EA A. v三、能量微分衡算方程三、能量微分衡算方程 E.EE.E.v四、动量微分衡算方程四、动量微分衡算方程 N-SN-Sq它们是传递它们是传递过程数学模型过程数学模型的主要内容；的主要内容；q是从理论上研究传递过程的基础。是从理论上研究传递过程的基础。一微分质量衡算方程一微分质量衡算方程 （连续性方程（连续性方程 C.E. ）z 1 1连续性方程的建立连续性方程的建立z 2 2连续性方程的另一表达式连续性方程的另

3、一表达式z 3 3其他坐标系下的其他坐标系下的表达式表达式z 4 4、方程的简化方程的简化z 5 5、方程的方程的应用举例应用举例v衡算根据：质量守恒原理衡算根据：质量守恒原理v研究对象：微元控制体（记为研究对象：微元控制体（记为C.V.），见下图），见下图v衡算原则衡算原则 ：流流出出C.V.质量流率质量流率-流流入入C.V.质量流率质量流率 C.V.内内质量质量积累积累率率+= 01 1连续性方程的建立连续性方程的建立微元控制体微元控制体 C.V.中的质量衡算中的质量衡算在流动的流体中，取在流动的流体中，取 P 点，在点，在P点旁分别截取点旁分别截取 dx、dy、dz，构成构成微元体积微元

4、体积。 包围控制体的包围控制体的6 6个个控制面控制面分别为上下、左右、前后面。分别为上下、左右、前后面。C.E.方程的建立方程的建立 质量净出率质量净出率 （kg/s） 在在 x 处，处， t 时刻流入的质量通量为时刻流入的质量通量为： xu smkg 2在在 x+dx 处处, , t 时刻流出的质量通量为时刻流出的质量通量为： )(dxuxuxx smkg 2x 向质量向质量净出率净出率： dydzdxuxx )( x 向增加量向增加量x 向质量净出率向质量净出率： dydzdxuxx )( 质量净出率质量净出率 （kg/s）dxdzdyuyy )( y 向质量净出率向质量净出率： dxy

5、dzuzz )( z 向质量净出率向质量净出率： 三向六面净出率三向六面净出率： dxdydzuzuyuxzyx )()()( 质量积累率质量积累率 （kg/s）t 时刻时刻C.V.质量为质量为： dxdydz 经过经过 dt 时间后时间后，C.V. 内的质量变化量内的质量变化量为：为： dxdydzdtt)( dt 时间内时间内，C.V. 质量平均积累率为质量平均积累率为： dxdydzt dxdydzuzuyuxzyx )()()( 流出流出- -流入流入dxdydzt 积累率积累率相加，整理得相加，整理得： 0)()()( tuzuyuxzyx 0)( ut 微分质量衡算方程（连续性方程

6、）微分质量衡算方程（连续性方程） (2-6a)(2-6b)矢量式矢量式v在连续性方程的推导过程中没有做任何假定，在连续性方程的推导过程中没有做任何假定，所以方程是通用方程，可用于所以方程是通用方程，可用于： 牛顿流体牛顿流体 或或 非牛顿型流体非牛顿型流体； 理想流体理想流体 或或 真实流体真实流体； 可压缩流体可压缩流体 或或 不可压缩流体不可压缩流体。 v连续性方程是描述速度分布的基本方程。连续性方程是描述速度分布的基本方程。v在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因在传热、传质过程中往往伴随有流体流动，因此均需要用到此均需要用到C.E.。 2连续性方程的另一表达式连续性方程的另一表达式

7、引入随体导数的概念，上式可写为引入随体导数的概念，上式可写为： )( ut 或或 0 uDtD (2-7b)0)( ut 讨论上述讨论上述连续性连续性方程中两项的物理意义。方程中两项的物理意义。t uu 0 讨论方程的两项物理意义讨论方程的两项物理意义 0 uDtD 第一项第一项： utDtD密度的随体导数密度的随体导数 表明在空间某一固定点处，密度随时间的变化速率，表明在空间某一固定点处，密度随时间的变化速率， 反映了密度反映了密度场的不稳定性场的不稳定性。 t 其中其中为密度的为密度的局部变化率局部变化率。 密度梯度密度梯度 表明在表明在不同位置上不同位置上密度的变化率，反映了密度密度的变

8、化率，反映了密度场的不均匀性场的不均匀性。 zuyuxuuzyx 密度迁移变化率密度迁移变化率表明当流体运动时，由于密度场的不均匀性造成的密度变化率表明当流体运动时，由于密度场的不均匀性造成的密度变化率 又称之为密度的又称之为密度的对流变化率对流变化率。速度越快，场越不均匀，对流变化率就越大速度越快，场越不均匀，对流变化率就越大。 0 u其中其中 utDtD什么条件？什么条件？kzjyix 方程的第二项方程的第二项 0 uDtD DtDvvu1 zuyuxuzyx 上式的物理意义表述了三个轴方向上的线性上式的物理意义表述了三个轴方向上的线性形变速率形变速率。 展开展开DtDvv1 上面分别讨论

9、了在连续性方程中各项的物理意义上面分别讨论了在连续性方程中各项的物理意义t uu 3其他坐标系其他坐标系连续性方程的表达式连续性方程的表达式 v在某些实际场合，应用在某些实际场合，应用柱坐标柱坐标或或球坐标球坐标来表达连来表达连续性方程或其他微分衡算方程要比续性方程或其他微分衡算方程要比直角坐标系直角坐标系方便方便。v例如在研究例如在研究管内的流体流动管内的流体流动时，在相同半径上的所时，在相同半径上的所有各点有相同的速度及其它物理量，在此情况下采用有各点有相同的速度及其它物理量，在此情况下采用柱坐标表达连续性方程最为方便柱坐标表达连续性方程最为方便。v又如流动系统的范围面为又如流动系统的范围

10、面为球形球形或球形的一部分时，则或球形的一部分时，则采用球坐标系的连续性方程描述最为适宜采用球坐标系的连续性方程描述最为适宜。其他坐标系其他坐标系q柱坐标和球坐标系中的连续性方程和其它传递方柱坐标和球坐标系中的连续性方程和其它传递方程的推导，原则上与直角坐标系相类似，可采用程的推导，原则上与直角坐标系相类似，可采用直接推导直接推导获得获得。q也可以通过坐标系的对应关系由直角坐标也可以通过坐标系的对应关系由直角坐标间接间接转换转换而得到相关方程，但由于运算繁杂，一般而得到相关方程，但由于运算繁杂，一般不宜采用不宜采用。v图图22a 表示柱坐标系与直角坐标系的关系表示柱坐标系与直角坐标系的关系。v

11、连续性方程在柱坐标系的表达式为连续性方程在柱坐标系的表达式为： P38v柱坐标中的表达式柱坐标中的表达式： （2-14） 011 zruzurrurrt 式中式中： r 径向坐标径向坐标；z 轴向坐标轴向坐标；方位角方位角 dtdru 表示线速度表示线速度 直角坐标系直角坐标系与与柱坐标系柱坐标系的关系的关系v图图2-2b 示出球坐标系与直角坐标系的关系示出球坐标系与直角坐标系的关系。v 球坐标中的表达式球坐标中的表达式： 0sin1sinsin1122 ururrurrtr式中：式中： r 径向坐标；径向坐标；余纬度；余纬度； 方位角。方位角。P38直角坐标系直角坐标系与与球坐标系球坐标系的

12、关系的关系 P394连续性方程的简化连续性方程的简化（特殊情况）（特殊情况） 稳态时稳态时 （以直角坐标为例以直角坐标为例）0 t 或或0)( u 不可压缩（均质）流体不可压缩（均质）流体 )(const 0 u.0)(ECut (2-13)5. 方程衡算的应用举例方程衡算的应用举例 【例【例】导出流体在圆管中作轴对称二维（径向、轴向）导出流体在圆管中作轴对称二维（径向、轴向）流动时的流动时的连续性方程连续性方程。 这种情况通常发生在圆管的入口端，边界层的发展段。这种情况通常发生在圆管的入口端，边界层的发展段。见图见图【解解一一】 在圆管内取一同轴筒形薄壳流体作为控制体，对其作在圆管内取一同轴

13、筒形薄壳流体作为控制体，对其作质量衡算，见质量衡算，见图图 z向向 r 向向 r 向向Z 向向的质量净出率的质量净出率： rdrdzzuuzz 2 )( r 向向的质量净出率的质量净出率： dzdrrdrruurr 2)()( 薄壳薄壳C.V.C.V.内质量内质量累积率累积率为为： rdrdzt 2 三项相加三项相加 , ,略去高阶略去高阶无穷小无穷小 , ,得到沿管流动的连续性方程得到沿管流动的连续性方程 0)()(1 zururrtzr rdruz 2 rdzur 2 v建立多组分流体的微分质量衡算方程。建立多组分流体的微分质量衡算方程。v在后面的章节中主要考虑在后面的章节中主要考虑双组分

14、双组分（A，B）体系的体系的扩散传质过程。扩散传质过程。v考虑可能有化学反应的存在的情况。考虑可能有化学反应的存在的情况。二、组元微分质量衡算方程二、组元微分质量衡算方程（质量基准质量基准） P213v衡算时传质包括两部分：衡算时传质包括两部分： 1.1.由于由于流体流动流体流动引起的引起的 组分组分 i 对流传递；对流传递； 2.2.由于由于浓度梯度浓度梯度引起的引起的 组分组分 i 扩散传递。扩散传递。v这两部分传质表示为：这两部分传质表示为：iiijun 对流传递对流传递 扩散传递扩散传递i 表示多组分体系表示多组分体系, , 两组分体系时则常写为两组分体系时则常写为 A组元传质量组元传

15、质量研究对象：研究对象： 微元微元控制体控制体衡算根据：衡算根据： 质量守恒质量守恒 衡算原则：衡算原则：净出净出C.V.组元组元 流率流率- C.V.内内组元组元 积累积累率率+= 0 C.V.内内组元组元 生成生成率率绕微元控制体对组元衡算，对上述三项分别加以衡算。绕微元控制体对组元衡算，对上述三项分别加以衡算。用用 ni 代表通过控制面的组分代表通过控制面的组分i 的质量通量。的质量通量。 iiijun dxxnix x 向组元质量通量向组元质量通量净净变化率变化率第一项第一项，作作 x 向组元的质量净出率（流出向组元的质量净出率（流出- -流入）流入）： 净出净出C.V.组元组元A流率

16、流率- C.V.内内组元组元A积累积累率率+= 0 C.V.内内组元组元A生成生成率率dydzdxxnix x 向对应的面积向对应的面积 x 向组元质量通量向组元质量通量skg /dxdzdyyniy 同理得同理得，y 向向净出率净出率dxdzdyzniz z 向向三向合并得三向合并得 dxdydzni 第二项第二项 组元积累率组元积累率: tdxdydzi )( dxdydzti 第三项第三项 组元生成率组元生成率： dxdydzri三项相加消去三项相加消去dxdydz组元微分质量衡算方程组元微分质量衡算方程 第一项第一项dxdydzni 0 iiirtn 得得：净出净出C.V.组元组元A流

17、率流率- C.V.内内组元组元A积累积累率率+= 0 C.V.内内组元组元A生成生成率率)(ujniii 0 iiirtn 式中式中：所以所以 组元微分质量衡算方程组元微分质量衡算方程 还可以写成还可以写成： 0 iiiirjuDtD （9-41）iiiuuj iiut 合并为合并为： 对此项求导对此项求导DtDi 随体导数随体导数组元微分质量衡算方程组元微分质量衡算方程的的简化简化1）不可压缩流体不可压缩流体0 iiirjDtD 2）静止流体静止流体 0 u0 iiiirjuDtD iiijirDt 2当无化学变化时当无化学变化时 iijiDt 2 费克第二定律费克第二定律（Ficks se

18、cond law） 三、能量微分衡算方程三、能量微分衡算方程 v在工程实践中，有一类很重要的问题，就是流体与壁在工程实践中，有一类很重要的问题，就是流体与壁面、流体内部、固体内部的热量传递现象。面、流体内部、固体内部的热量传递现象。v解析这类问题要利用微分能量衡算方程解析这类问题要利用微分能量衡算方程。 本节内容：本节内容：q1.能量方程（能量方程（ E.E. ）的建立）的建立q2. 其他坐标系下的形式其他坐标系下的形式q3. E.E.的简化的简化q4. E.E.的的应用举例应用举例1. 方程的建立方程的建立 ( E.E. ) v衡算根据衡算根据：热力学第一定律热力学第一定律，即某过程中体系从

19、环境中所吸，即某过程中体系从环境中所吸收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量收的热量减去对体系所作功之差，等于该体系在过程前后的能量变化，其数学表达式为变化，其数学表达式为： WqE v衡算原则衡算原则：能量净出率能量净出率对外做功率对外做功率-吸热率吸热率=能量积累率能量积累率+方程的建立方程的建立q假定：假定： 研究对象是微元控制体，所以动能，位能忽略不计研究对象是微元控制体，所以动能，位能忽略不计, , 只计只计内能内能： U = q - (pv) 温度不是很高，不计辐射热，只计温度不是很高，不计辐射热，只计导热导热和和对流对流传热传热。 对于微元控制体，不包含轴功，只

20、计对于微元控制体，不包含轴功，只计流动功流动功。 不涉及高粘度流体或是高速不涉及高粘度流体或是高速 ( (超音速超音速) ) 下运动的流体，下运动的流体，因此因此忽略摩擦忽略摩擦损耗功率损耗功率。 恒密度恒密度，恒物性恒物性流体流体。 能量衡算图能量衡算图 1）流动带来的）流动带来的内能内能变化变化2）导热导热带来的能量变化带来的能量变化3）流动功流动功带来的变化带来的变化)( Udxdydzt 4）能量）能量积累积累dxdydzuU)( 1 1）能量净出率能量净出率2)2)吸热率吸热率dxdydzUt )( 4)4) 能量积累率能量积累率dxdydzq)( 3)3) 做功功率做功功率 dxd

21、ydzup )( (J/s)1）2）3）4），），除以微元体积得除以微元体积得： qqtUupuU )()( 能量衡算微分方程能量衡算微分方程 内热源内热源流动输入流动输入积累积累导热导热qqtUupuU )()( 改写成改写成以以温度温度表示的能量方程表示的能量方程，具体步骤为具体步骤为 在左侧第一项中，根据在左侧第一项中，根据与与的关系，写成的关系，写成 upuU uH uCpT 在上式右侧第一项中，因不计辐射热，吸热只是以导热方式在上式右侧第一项中，因不计辐射热，吸热只是以导热方式 Tkq 在左侧第二项中，对于恒密度流体在左侧第二项中，对于恒密度流体 CpTCvTU 将上式结果分别代入上

22、述能量衡算方程得将上式结果分别代入上述能量衡算方程得： )( pUu 将上式结果分别代入上述能量衡算方程得将上式结果分别代入上述能量衡算方程得： qTkuTCtCpTp )()()( 展开得展开得： , 0, uconstCconstp qTkTuCuTCtTCppp 2 两边除以两边除以 得得 Cp ppCqTCkTutT 2以以温度温度表示的能量方程表示的能量方程CpqTCpkTutT 2或或 CpqTTutT 2或或 CpqTDtDT 2以温度表示的微分能量衡算方程以温度表示的微分能量衡算方程 式中式中 Cpk 热扩散系数（导温系数）热扩散系数（导温系数） sm2P1302其他坐标系其他

23、坐标系微分能量衡算方程表达式微分能量衡算方程表达式 （无热源无热源）柱坐标中的表达式柱坐标中的表达式： zTuTrurTutTzr 222221)(1zTTrrTrrrCpk (6-21)P131球坐标中的表达式球坐标中的表达式： TruTrurTutTrsin 222222sin1(sinsin1)(1 TrTrrTrrrCpk(6-22)找出方程中，找出方程中，对流对流传热、传热、导热导热和和积累积累项？项？3E.E.的简化的简化以直角坐标为例以直角坐标为例 无内热源情况无内热源情况 )0( q CpqTTutT 2 静止介质（如固体）中的导热情况静止介质（如固体）中的导热情况 TtT2

24、LawSecondsFourier)0( q TCpkTutT2 (6-16)(6-18) 固体介质一维非稳态导热固体介质一维非稳态导热 （x 向向) )0( q 22xTtT 对一对一 球形固体球形固体 进行冷却（或加热）进行冷却（或加热）。假设与球心对称假设与球心对称球面上球面上的的温度相同温度相同，固体的物，固体的物性恒定。性恒定。试用试用两种方法两种方法导出该情况下的热传导方程导出该情况下的热传导方程。 4. 【解解1】 根据普遍化方程进行简化处理根据普遍化方程进行简化处理。 取球坐标进行简化处理，见下取球坐标进行简化处理，见下 TruTrurTutTrsinsin11)(sinsin

25、1)(12222222 TrTrrTrrrCpk球形物体的导热问题球形物体的导热问题无流动无流动球面温度对称球面温度对称简化得简化得： )(122rTrrrtT q动量衡算遵循动量衡算遵循动量定律动量定律，即运动流体的即运动流体的动量随动量随时间的变化率等于作用在流体上诸外力之和时间的变化率等于作用在流体上诸外力之和。q本节将通过动量衡算，导出描述流体运动的方本节将通过动量衡算，导出描述流体运动的方程和奈维尔程和奈维尔（Navir）斯托克斯斯托克斯（Stokes）方程方程 。q将微分将微分动量衡算方程动量衡算方程和和连续性方程连续性方程结合起来，结合起来，可以处理许多流体运动问题，所以在三传中

26、是可以处理许多流体运动问题，所以在三传中是求解流体运动的基础方程求解流体运动的基础方程。 四、微分动量衡算方程四、微分动量衡算方程 运动方程运动方程 1以以应力应力表示的动量衡算方程表示的动量衡算方程 运动方程运动方程（M.E.） 衡算根据：牛顿第二定律衡算根据：牛顿第二定律 dtuMdaMF)( 衡算对象衡算对象：随体运动的质元随体运动的质元 AVFFDtuMD )( 体积力体积力 表面力表面力 动量动量变化率变化率 下面逐项说明上式，并以下面逐项说明上式，并以 x 向向为例为例。 AVFFDtuMD )( 动量的变化率动量的变化率( x 向向 ) )(dxdydzuDtDx 微元质量微元质

27、量 M 体积力体积力( x 向向 )，仅考虑重力仅考虑重力 dxdydzgFxVx (2-18a)DtDudxdydzx AVFFDtuMD )( 表面力表面力 AxF表面力作用于流体的表面上，由外部流体所施加，表面力作用于流体的表面上，由外部流体所施加， 它的大小与作用的它的大小与作用的面积面积成正比，它又有两种形式：成正比，它又有两种形式： 正应力（法应力）正应力（法应力）- - 与作用面与作用面垂直垂直的应力的应力 ii 切应力（剪应力）切应力（剪应力）- - 与作用面与作用面相切相切的应力的应力 ij P41式中式中， - 表示应力的大小表示应力的大小 第一个下标第一个下标表示应力作用

28、面的表示应力作用面的面向面向（外法线外法线 n 方向方向 ） 第二个下标第二个下标表示应力的作用方向表示应力的作用方向（力向力向） 举例说明两个下标的区别举例说明两个下标的区别： 在在图图中表明：力的作用中表明：力的作用面向面向为为 y，力力的作用方的作用方向向为为 x 向向。 ii ij ij zyxyx 注意：每个面向上均有注意：每个面向上均有 x 向向 的力的力流体的应力性质流体的应力性质 （1 1）切应力：具有切应力：具有对称性对称性 jiij 如如： yxxy ii ij （2）正应力正应力 a对于对于静止流体静止流体 pzzyyxx （压应力压应力） 即在流体各方向上所受的正应力即

29、在流体各方向上所受的正应力彼此相等彼此相等，且等于流体的静压且等于流体的静压力。力。 b对于对于运动流体运动流体 iiip iixu 法向粘性应力法向粘性应力，与与 有关有关。 i ii 将上述对将上述对，的的分析结果代入分析结果代入牛顿第二定律牛顿第二定律 ，消去消去 dxdydz ，得得 x 向向动量衡算结果动量衡算结果， zyxgDtDuzxyxxxxx dydzdxxxx x 面向面向dxdzdyyyx y 面向面向dxdydzzzx z 面向面向同理，得到同理，得到 y, z 项的表达式分别为：项的表达式分别为： 表面力表面力 AxFAVFFdtuMD )(x 向向运动方程运动方程z

30、yxgDtDuzxyxxxxx zyxgDtDuzyyyxyyy y 向向运动方程运动方程z 向向运动方程运动方程zyxgDtDuzzyzzxzz 合并写为矢量式合并写为矢量式 gDtuD用应力表示的粘性流体用应力表示的粘性流体运动方程运动方程请找出运动方程中的未知数？请找出运动方程中的未知数？运动方程在流体力学领域，常用于讨论流体的运动方程在流体力学领域，常用于讨论流体的应力分布和受力情况的讨论。应力分布和受力情况的讨论。在三传中，我们更关心的是流场中在三传中，我们更关心的是流场中速度分布速度分布以以及速度分布对传热、传质的影响。及速度分布对传热、传质的影响。显然运动方程不能满足这一要求，因

31、此需以运显然运动方程不能满足这一要求，因此需以运动方程为基础，进一步导出以速度表示的运动动方程为基础，进一步导出以速度表示的运动方程，方程， 即即 NavierStokes 方程方程 在上述的三个运动方程中共有在上述的三个运动方程中共有：1010个未知数个未知数： zyxuuu,)3( 个ii )3( 个ij q 4 4个方程数个方程数：3 3个运动方程个运动方程 和和 1 1个连续性方程个连续性方程。 q 4 4个方程解个方程解1010个未知数显然是不可能的个未知数显然是不可能的。 q 因此还需设法找出因此还需设法找出： 上述这些未知数之间或未知数与已知数之间的关系，上述这些未知数之间或未知

32、数与已知数之间的关系， 补充若干个关系方程补充若干个关系方程 q 以减少独立变量法，使得方程完备。以减少独立变量法，使得方程完备。 2以以速度速度表示的运动微分方程表示的运动微分方程（N-S方程方程） 奈维尔奈维尔（Navir1827）斯托克斯斯托克斯（Stokes1845）方程方程 1） 应力与应变速率之间的关系应力与应变速率之间的关系 剪应力与应变速率的关系剪应力与应变速率的关系 对于对于一维一维流动的牛顿型流体，剪应力与应变速率的关系为流动的牛顿型流体，剪应力与应变速率的关系为dyduxyx Stokes 把一维应力与应变关系扩展到三维运动的牛顿流体中把一维应力与应变关系扩展到三维运动的

33、牛顿流体中 得到得到三维三维运动的应力与应变速率之间的关系式运动的应力与应变速率之间的关系式 )(yuxuxyyxxy (2-34a)对称对称同理，得到同理，得到P43)(yuxuxyyxxy )(xuzuzxxzzx )(zuyuyzyzyz 通过上面三个方程可以消去通过上面三个方程可以消去3个未知数个未知数 ij zyxuuu,)3( 个ii )3( 个ij 正应力（法向应力）与应变关系正应力（法向应力）与应变关系 正应力是由两部分组成正应力是由两部分组成： 其一为其一为 的作用产生，它使流体微元承受压缩应力，发生的作用产生，它使流体微元承受压缩应力，发生体积形变体积形变； 其二为其二为由

34、流体流动时，由流体流动时，剪应力剪应力作用所产生的作用所产生的，使微元流体使微元流体在法线方向上承受拉伸和压缩应力，发生线性形变在法线方向上承受拉伸和压缩应力，发生线性形变。 可压缩粘性流体的正应力与应变速率之间的关系如下可压缩粘性流体的正应力与应变速率之间的关系如下， uxupiiii 32(2-35)式中式中：3zzyyxxp 在流体在流体运动运动时，法向应力彼此不等，也不等于静压时，法向应力彼此不等，也不等于静压强强 pzzyyxx 注意：注意：但对但对静止静止或对或对理想流体理想流体时则有时则有， pzzyyxx 2 2）奈维）奈维斯托克斯方程（斯托克斯方程（N-S方程）方程） 在在1)1)节中已导出运动微分方程，将上面所讨论的应力与应节中已导出运动微分方程，将上面所讨论的应力与应变关系代入，便可得到变关系代入，便可得到 N-S 方程（直角坐标）方程（直角坐标）)(31)(2