第2章误差分析与数据处理ppt课件

1、 在工程技术及科学研究中，对被测量进行测量时，在工程技术及科学研究中，对被测量进行测量时，测量的可靠性至关重要，不同场合对测量结果可靠性测量的可靠性至关重要，不同场合对测量结果可靠性的要求也不同。的要求也不同。 例如，在量值传递、经济核算、例如，在量值传递、经济核算、 产品产品检验场合应保证测量结果有足够的准确度。当测量值检验场合应保证测量结果有足够的准确度。当测量值用作控制信号时，则要注意测量的稳定性和可靠性。用作控制信号时，则要注意测量的稳定性和可靠性。因而，测量结果的准确程度，应与测量的目的与要求因而，测量结果的准确程度，应与测量的目的与要求相联系，相适应，那种不惜工本，不顾场合，一味追

2、相联系，相适应，那种不惜工本，不顾场合，一味追求越准越好的作法是不可取的，要有技术与经济兼顾求越准越好的作法是不可取的，要有技术与经济兼顾的意识。的意识。 真值的定义：被测量在一定条件下，有一个真正反真值的定义：被测量在一定条件下，有一个真正反映它的大小的量值，这个量值是客观存在的，它就映它的大小的量值，这个量值是客观存在的，它就是被测量的真实值，简称是被测量的真实值，简称“真值真值”。（1理论真值理论真值 所谓理论真值即绝对真值，是所谓理论真值即绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论、按照定义指在严格的条件下，根据一定的理论、按照定义确定的数值。一般情况下，理论真值是未知的。确定的数值

3、。一般情况下，理论真值是未知的。（2约定真值约定真值 所谓约定真值是指对于给定的具有所谓约定真值是指对于给定的具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。约定真值有时称为指定值、最佳估计值、约采用的。约定真值有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值。定值或参考值。（3相对真值相对真值 即实际值，所谓相对真值是指将测即实际值，所谓相对真值是指将测量仪表按精度分为不同等级时，用高等级的测量仪表量仪表按精度分为不同等级时，用高等级的测量仪表所测量得到的数值。所测量得到的数值。 测量误差是测得值减去被测量的真值。测量误差是测得值减去被测量的

4、真值。 由于真值往往不知道，因此测量的目的是希望通由于真值往往不知道，因此测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因，例如，过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因，例如，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，传感器本身性能不十分优良，测量方法不十分完善，外界干扰的影响等，造成被测量的测得值与真实值不外界干扰的影响等，造成被测量的测得值与真实值不一致，因而测量中总是存在误差。由于真值未知，所一致，因而测量中总是存在误差。由于真值未知，所以在实际中，有时用约定真值代替真值，常用某量的以在实际中，有时用约定真值代替真值，常用某量的多次测量结果来确定约定真值；或用精度高的仪器

5、示多次测量结果来确定约定真值；或用精度高的仪器示值代替约定真值。值代替约定真值。 测量误差的表示方法有多种，含义各异。测量误差的表示方法有多种，含义各异。 （1） 绝对误差绝对误差 绝对误差可用下式定义：绝对误差可用下式定义：= x x0式中式中: 绝对误差；绝对误差； x 测量值；测量值； x0 真值。真值。 绝对误差是有正、绝对误差是有正、 负并有量纲的。负并有量纲的。 在实际测量中，有时要用到修正值，修正值是在实际测量中，有时要用到修正值，修正值是与绝对误差大小相等、与绝对误差大小相等、 符号相反的值，符号相反的值， 即即 c = - 式中，式中，c为修正值，通常用高一等级的测量标准或标

6、为修正值，通常用高一等级的测量标准或标准仪器获得修正值。准仪器获得修正值。 利用修正值可对测量值进行修正，从而得到准确利用修正值可对测量值进行修正，从而得到准确的实际值的实际值, 修正后的实际测量值修正后的实际测量值x为为 x= x + c 修正值给出的方式，可以是具体的数值，也可以是一条修正值给出的方式，可以是具体的数值，也可以是一条曲线或公式。曲线或公式。 绝对误差的特点绝对误差的特点 1单位单位 并与测量值和实际值的单位相同；并与测量值和实际值的单位相同； 2符号符号 表示测量值与实际值的大小关系；表示测量值与实际值的大小关系； 3限制限制 仅能表示测量值与实际值之间的偏仅能表示测量值与

7、实际值之间的偏离程度和方向，但不能说明测量质量的好坏。离程度和方向，但不能说明测量质量的好坏。 （2） 实际相对误差实际相对误差%1000 x式中：式中：实际相对误差，实际相对误差， 一般用百分数给出；一般用百分数给出； 绝对误差；绝对误差； x0真值。真值。 由于被测量的真值由于被测量的真值x0无法知道，实际测量时用测无法知道，实际测量时用测量值量值x代替真值代替真值L进行计算，这个相对误差称为标称相进行计算，这个相对误差称为标称相对误差，对误差， 即即 %100=x （3） 引用误差引用误差 引用误差是仪表中通用的一种误差引用误差是仪表中通用的一种误差表示方法。表示方法。 它是相对于仪表满

8、量程的一种误差，又称它是相对于仪表满量程的一种误差，又称满量程相对误差，一般也用百分数表示。满量程相对误差，一般也用百分数表示。 即即 %100-测量范围下限测量范围上限r式中：式中： r 引用误差；引用误差； 绝对误差。绝对误差。 例：某指针式电压表的精度为2.5级，用它来测量电压时可能产生的满度相对误差为2.5% 。 仪表精度等级是根据最大引用误差来确定的。仪表精度等级是根据最大引用误差来确定的。例如，例如，0.5级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过0.5%；1.0级表的引用误差的最大值不超过级表的引用误差的最大值不超过1% 。 在仪表和传感器使用时，经常会遇到基本误在

9、仪表和传感器使用时，经常会遇到基本误差和附加误差两个概念。差和附加误差两个概念。 （4） 基本误差基本误差 基本误差是指传感器或仪表在规定基本误差是指传感器或仪表在规定的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源电压电压2205V、电网频率、电网频率502Hz、环境温度、环境温度205）、湿度、湿度65%5%的条件下标定的。如果传的条件下标定的。如果传感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。 （5附加误差

10、附加误差 附加误差是指传感器或仪表的使用附加误差是指传感器或仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。例如，温度附加误差、条件偏离额定条件下出现的误差。例如，温度附加误差、频率附加误差、频率附加误差、 电源电压波动附加误差等。电源电压波动附加误差等。 例例1 某电压表的等级为某电压表的等级为1.5，试标出此表在，试标出此表在0100V量程中的最大绝对误差。量程中的最大绝对误差。例例2 某某1.0级电流表，满度值为级电流表，满度值为100 A，求测量，求测量值分别为值分别为100A、80 A、20 A时的绝对误差和相时的绝对误差和相对误差。对误差。例例3 要测量要测量100度的温度，现有度的温度，

11、现有0.5级、测量范围级、测量范围为为0300和和1.0级、测量范围为级、测量范围为0100的两种温度的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。计，试分析各自产生的示值误差。练习练习1 用电压表测量电压，测得值为用电压表测量电压，测得值为5.42V，改用标，改用标准电压表测量，其示值为准电压表测量，其示值为5.60V。求前一只电压表测量。求前一只电压表测量的绝对误差、相对误差。的绝对误差、相对误差。练习练习2 用用0.1级、满刻度值为级、满刻度值为100A的电流表测量电的电流表测量电流，求测量示值分别为流，求测量示值分别为80A、40A时的绝对误差和相时的绝对误差和相对误差。对误差。练习练习3

12、一只测量范围为一只测量范围为0250V的电压表，当测量的电压表，当测量200V电压时，绝对误差为电压时，绝对误差为+1V；当测量；当测量10V电压时，电压时，绝对误差为绝对误差为+0.9V；试分析各自相对误差，并说明哪只；试分析各自相对误差，并说明哪只仪表好。仪表好。方法误差方法误差理论误差理论误差装置误差装置误差环境误差环境误差人身误差人身误差 由心电图仪放大器带宽不够引起的误差 当被测量随时间迅当被测量随时间迅速变化时，系统的输出速变化时，系统的输出量在时间上不能与被测量在时间上不能与被测量的变化精确吻合，这量的变化精确吻合，这种误差称为动态误差。种误差称为动态误差。 2.2.1 系统误差

13、系统误差2.2.2 随机误差随机误差2.2.3 粗大误差粗大误差2.2.4 测量精度测量精度 在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律如线性、如线性、 多项式、周期性等函数规律变化的误多项式、周期性等函数规律变化的误差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变值系统误差。值系统误差。 根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。因可将其分为系统

14、误差、随机误差和粗大误差。 在我国新制订的国家计量技术规范在我国新制订的国家计量技术规范JJF1001-2019中，对系统误差的定义中，对系统误差的定义是，在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量是，在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。它可用下式所得结果的平均值与被测量的真值之差。它可用下式表示：表示： 系统误差系统误差= x - x0 式中，式中， x0为被测量的真值。为被测量的真值。 因为真值不能通过测量获知，所以通过有限次测因为真值不能通过测量获知，所以通过有限次测量的平均值量的平均值x与与x0的约定真值近似地得出系统误差，称的约定真值近似地得

15、出系统误差，称之为系统误差的估计，得出的系统误差可对测量结果之为系统误差的估计，得出的系统误差可对测量结果进行修正，但由于系统误差不能完全获知，因此通过进行修正，但由于系统误差不能完全获知，因此通过修正值对系统误差只能有限程度地补偿。修正值对系统误差只能有限程度地补偿。 引起系统误差的原因复杂，如测量方法不完善，引起系统误差的原因复杂，如测量方法不完善，零点未调整，采用近似的计算公式，测量者的经验零点未调整，采用近似的计算公式，测量者的经验不足等等。对于系统误差，首先要查找误差根源，不足等等。对于系统误差，首先要查找误差根源，并设法减小和消除，而对于无法消除的恒值系统误并设法减小和消除，而对于

16、无法消除的恒值系统误差，可以在测量结果中加以修正。差，可以在测量结果中加以修正。 夏天摆钟变慢的原因是什么？ 系统误差也称装置误差，它反映系统误差也称装置误差，它反映了测量值偏离真值的程度。凡误差的了测量值偏离真值的程度。凡误差的数值固定或按一定规律变化者，均属数值固定或按一定规律变化者，均属于系统误差。于系统误差。 系统误差是有规律性的，因此可系统误差是有规律性的，因此可以通过实验的方法或引入修正值的方以通过实验的方法或引入修正值的方法计算修正，也可以重新调整测量仪法计算修正，也可以重新调整测量仪表的有关部件予以消除。表的有关部件予以消除。 0.6 3A153VAV 在同一测量条件下，多次测

17、量被测量时，在同一测量条件下，多次测量被测量时，其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差其绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差。称为随机误差。 在我国新制订的国家计量技术规范在我国新制订的国家计量技术规范JJF1001-2019中，对随机误差的定义是根据国中，对随机误差的定义是根据国际标准化组织际标准化组织ISO等七个国际组织制订的等七个国际组织制订的定义的，即随机误差是将测量结果与定义的，即随机误差是将测量结果与在重复性条件下，在重复性条件下， 对同一被测量进行无限多次测量所对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。重复性条件包括相同的测量程序，得结果的平均值之差。重复

18、性条件包括相同的测量程序，相同的观测者，相同的观测者， 在相同的条件下使用相同的测量仪器，在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同的地点，在短时间内重复测量。相同的地点，在短时间内重复测量。-=xxi式中：式中：xi被测量的某一个测量值；被测量的某一个测量值； x重复性条件下无限多次的测量值的平重复性条件下无限多次的测量值的平均值，均值， 即即 nxxxxn+.+=21(n) 随机误差随机误差 由于重复测量实际上只能测量有限次，因此实用由于重复测量实际上只能测量有限次，因此实用中的随机误差只是一个近似估计值。中的随机误差只是一个近似估计值。 对于随机误差不能用简单的修正值来修正，当对于随机误差不

19、能用简单的修正值来修正，当测量次数足够多时，随机误差就整体而言，服从一定测量次数足够多时，随机误差就整体而言，服从一定的统计规律，通过对测量数据的统计处理可以计算随的统计规律，通过对测量数据的统计处理可以计算随机误差出现的可能性的大小。机误差出现的可能性的大小。 长度相对测量值长度相对测量值次次数数统统计计 超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差， 粗大误差又称疏忽误差。粗大误差又称疏忽误差。 这类误差的发生是由于测量者疏忽大意，测错、这类误差的发生是由于测量者疏忽大意，测错、读错或环境条件的突然变化等引起的。含有粗大误读错或环境条件的突然变化等引起的。

20、含有粗大误差的测量值明显地歪曲了客观现象，故含有粗大误差的测量值明显地歪曲了客观现象，故含有粗大误差的测量值称为坏值或异常值。差的测量值称为坏值或异常值。 在数据处理时，要采用的测量值不应该包含有在数据处理时，要采用的测量值不应该包含有粗大误差，粗大误差， 即所有的坏值都应当剔除。所以进行误即所有的坏值都应当剔除。所以进行误差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差差分析时，要估计的误差只有系统误差和随机误差两类。两类。 不精密随机误差大）不精密随机误差大） 准确系统误差小）准确系统误差小） 精细随机误差小）精细随机误差小）不准确系统误差大）不准确系统误差大）准确度；精密度；精确度。准确度；

21、精密度；精确度。不精密随机误差大）不精密随机误差大）不准确系统误差大）不准确系统误差大）精细随机误差小）精细随机误差小）准确系统误差小）准确系统误差小）准确度；精密度；精确度。准确度；精密度；精确度。2.3.1 测量数据的统计参数测量数据的统计参数2.3.2 随机误差及其处理随机误差及其处理2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现2.3.4 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法 随机误差的大小及符号通常事先无法知道，但随随机误差的大小及符号通常事先无法知道，但随着观测次数的增多，即测得值增多时，则将遵循一定着观测次数的增多，即测得值增多时，则将遵循一定的统计规律。的统计规律。 随机

22、误差的分布规律，可以在大量测量数据的随机误差的分布规律，可以在大量测量数据的基础上总结出来，就误差的总体来说是服从统计规律基础上总结出来，就误差的总体来说是服从统计规律的。由于大多数随机误差服从正态分布，因而正态分的。由于大多数随机误差服从正态分布，因而正态分布理论就成为研究随机误差的基础。布理论就成为研究随机误差的基础。 随机误差一般具有以下几个性质：随机误差一般具有以下几个性质： 对称性对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等。次数大致相等。 有界性有界性 在一定测量条件下的有限测量值中，在一定测量条件下的有限测量值中，其随机误差的绝对值不会超过

23、一定的界限。其随机误差的绝对值不会超过一定的界限。 单峰性单峰性 绝对值小的误差出现的次数比绝对值绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的次数多。大的误差出现的次数多。 抵偿性抵偿性 对同一量值进行多次测量，其误差的对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随着测量次数算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零。的增加趋向于零。 抵偿性是由第一个特性推导出来的抵偿性是由第一个特性推导出来的, 因为绝因为绝对值相等的正误差与负误差之和可以互相抵消。对值相等的正误差与负误差之和可以互相抵消。对于有限次测量，随机误差的平均值是一个有对于有限次测量，随机误差的平均值是一个有限小的量，限小的量， 而当

24、测量次数无限增多时，它趋向而当测量次数无限增多时，它趋向于零。抵偿性是随机误差的一个重要特征，凡于零。抵偿性是随机误差的一个重要特征，凡是具有抵偿性的，是具有抵偿性的， 原则上都可以按随机误差来原则上都可以按随机误差来处理。处理。x0 xxxi 设对某一被测量进行多次重复测量，得到一系列设对某一被测量进行多次重复测量，得到一系列的测量值为的测量值为xi，设被测量的真值为，设被测量的真值为x0，则测量列中的，则测量列中的随机误差随机误差 为为 i=1,2, ,n1） 随机误差的正态分布规律随机误差的正态分布规律正态分布的概率分布密度正态分布的概率分布密度f（ ）为）为 222-21)(xexfx

25、 正态分布的分布密度曲线如图所示，即为一条钟正态分布的分布密度曲线如图所示，即为一条钟形的曲线，称为正态分布曲线，其中形的曲线，称为正态分布曲线，其中x0、0是是正态分布的两个参数。正态分布的两个参数。 从图中还可以看到，曲线在从图中还可以看到，曲线在x0或或处有两个拐点。处有两个拐点。 正态分布曲线正态分布曲线 f (x)xL L Lf ()(a)(b)o0 xf 000 xxx0 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 (1) 算术平均值算术平均值x 正态分布是以正态分布是以x=L为对称轴，它是正态总体的平均为对称轴，它是正态总体的平均值。由于在测量过程中，不可避免地存在随机误差，值。由于

26、在测量过程中，不可避免地存在随机误差，因此我们无法求得测量的真值。但如随机误差服从正因此我们无法求得测量的真值。但如随机误差服从正态分布，算术平均值处随机误差的概率密度最大，即态分布，算术平均值处随机误差的概率密度最大，即算术平均值与被测量的真值最为接近，随着测量次数算术平均值与被测量的真值最为接近，随着测量次数增加，算术平均值越趋近于真值。增加，算术平均值越趋近于真值。 如果对某一量进行无限多次测量，就可以得到如果对某一量进行无限多次测量，就可以得到不受随机误差影响的值，或其影响甚微，可以忽略。不受随机误差影响的值，或其影响甚微，可以忽略。由于实际上是有限次测量，因而有限次直接测量中由于实际

27、上是有限次测量，因而有限次直接测量中算术平均值是诸测量值中最可信赖的，把它作为等算术平均值是诸测量值中最可信赖的，把它作为等精度多次测量的结果，即被测量的最佳估计值。精度多次测量的结果，即被测量的最佳估计值。 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （1） 算术平均值算术平均值x 对被测量进行等精度的对被测量进行等精度的n次测量，得次测量，得n个测量值个测量值x1, x2, xn，它们的算术平均值为，它们的算术平均值为 1=211=)+(1=niinxnxxxnx 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （1） 算术平均值算术平均值x 由于被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代由于被测量的真

28、值为未知，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，替被测量的真值进行计算， 则有则有 xxvii-式中式中, vi为为xi的剩余误差残余误差，残差）。的剩余误差残余误差，残差）。 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （1） 算术平均值算术平均值x 标准偏差简称为标准差，又称均方根误差。标准标准偏差简称为标准差，又称均方根误差。标准差差刻划总体的分散程度，对于刻划总体的分散程度，对于L相同，相同，不同不同=0.5，=1，=1.5的正态分布曲线，的正态分布曲线，值愈大，曲线愈平坦，值愈大，曲线愈平坦，即随机变量的分散性愈大；反之，愈小，曲线愈尖锐即随机变量的分散性愈大；反之，愈小，曲线愈尖

29、锐集中），随机变量的分散性愈小。集中），随机变量的分散性愈小。 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （2） 标准偏差标准偏差 标准差标准差由下式算得由下式算得 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （2） 标准偏差标准偏差 nxnxxniinniin12120lim-lim）（不同不同的正态分布曲线的正态分布曲线 yox 0.5 1 1.5 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （2） 标准偏差标准偏差 是在当测量次数趋于无穷时得到的，它是正态总是在当测量次数趋于无穷时得到的，它是正态总体的平均值，称为理论标准差或总体标准差。但在实际体的平均值，称为理论标准差或总体标准差。但在实际测量

30、中不可能得到，测量中不可能得到， 因为被测量是在重复性条件下进因为被测量是在重复性条件下进行有限次测量，用算术平均值代替真值，此时表征测量行有限次测量，用算术平均值代替真值，此时表征测量值随机误差分散性的量用标准差的估计值值随机误差分散性的量用标准差的估计值 表示，表示，它是评定单次测量值不可靠性的指标，它是评定单次测量值不可靠性的指标， 由贝塞尔公式由贝塞尔公式计算得到。计算得到。 1-1-1lim1212nvxxnniiniin）（ 2随机误差的数字特征随机误差的数字特征 （2） 标准偏差标准偏差 式中，式中，xi 第第i次测量值；次测量值； x n次测量值的算术平均值；次测量值的算术平均

31、值； vi 剩余误差，即剩余误差，即vi=xi-x。单次测量的标准差单次测量的标准差例例 对某一对某一温度进行温度进行10次精密测量，次精密测量，测量数据如测量数据如表所示，设表所示，设这些测得值这些测得值已消除系统已消除系统误差和粗大误差和粗大误差，求测误差，求测量结果。量结果。 0.00090.00250.00090.00090.00010.00010.000400.00040解解 算术平均值算术平均值 68.85=101=101=iixx标准差的估计值标准差的估计值 Cxxii026. 01-100062. 0)-(1-1011012算术平均值的标准差算术平均值的标准差 Cnx01. 0

32、008. 010026. 0测量结果可表示为测量结果可表示为 %27.68=, )01. 068.85(=axPCxx或或 %73.99=, )03. 068.85(=3=axPCxx 按照上面分析，测量结果可用算术平均值表示，按照上面分析，测量结果可用算术平均值表示，因为算术平均值是被测量的最佳估计值，在测量结果因为算术平均值是被测量的最佳估计值，在测量结果中还应包括测量不确定度。中还应包括测量不确定度。 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现 由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同。主要是如何有效地找出系统误差的根源，差完全不同。主

33、要是如何有效地找出系统误差的根源，并减小或消除。并减小或消除。 查找误差根源的关键，查找误差根源的关键， 就是要对测量就是要对测量设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有设备、测量对象和测量系统作全面分析，明确其中有无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修无产生明显系统误差的因素，并采取相应措施予以修正或消除。由于具体条件不同，在分析查找误差根源正或消除。由于具体条件不同，在分析查找误差根源时，并没有一成不变的方法，这与测量者的经验、水时，并没有一成不变的方法，这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。平以及测量技术的发展密切相关。 所用传感器，所用传感器， 测量仪表或组成

34、元件是否准确测量仪表或组成元件是否准确可靠。比如传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准可靠。比如传感器或仪表灵敏度不足，仪表刻度不准确，变换器、放大器等性能不太优良等都会引起误差，确，变换器、放大器等性能不太优良等都会引起误差， 而且是常见的误差。而且是常见的误差。 测量方法是否完善，如用电压表测量电压，电测量方法是否完善，如用电压表测量电压，电压表的内阻对测量结果有影响。压表的内阻对测量结果有影响。 2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现1 1） 系统误差的主要来源系统误差的主要来源 传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。传感器仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如，未调好仪表

35、水平位置，安装时仪表指针偏心等都例如，未调好仪表水平位置，安装时仪表指针偏心等都会引起误差。会引起误差。 传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。定条件。 例如，例如， 环境、环境、 温度、温度、 湿度、湿度、 气压等的变化气压等的变化也会引起误差。也会引起误差。 测量者操作是否正确。测量者操作是否正确。 例如，例如， 读数时视差、读数时视差、 视视力疲劳等都会引起系统误差。力疲劳等都会引起系统误差。 2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现1 1） 系统误差的主要来源系统误差的主要来源 （1） 实验对比法实验对比法 这种方法是通过改

36、变产生系统这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量，来发现系统误误差的条件从而进行不同条件的测量，来发现系统误差的。这种方法适用于发现固定的系统误差。例如，差的。这种方法适用于发现固定的系统误差。例如，一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多一台测量仪表本身存在固定的系统误差，即使进行多次测量也不能发现，只有用更高一级精度的测量仪表次测量也不能发现，只有用更高一级精度的测量仪表测量时，才能发现这台测量仪表的系统误差。测量时，才能发现这台测量仪表的系统误差。 2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现 2 2） 系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别 （2）

37、残余误差观察法残余误差观察法 这种方法是根据测量值这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差的残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无变化的系统误差。数据或误差曲线图形来判断有无变化的系统误差。把残余误差按照测量值先后顺序作图，如下图。把残余误差按照测量值先后顺序作图，如下图。2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现 2 2） 系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别 残余误差变化规律 oonnno(a)(b)(c)图图(a)残余误差有规律地递增或递减），表明存在残余误差有规律地递增或递减），表明存在线性变化的系统误差。线性变化的

38、系统误差。残余误差变化规律 oonnno(a)(b)(c)图图(b)中残余误差大小和符号大体呈周期性，可以认为中残余误差大小和符号大体呈周期性，可以认为有周期性系统误差。有周期性系统误差。残余误差变化规律 oonnno(a)(b)(c)图图(c)残余误差变化规律较复杂，怀疑同时存在线性残余误差变化规律较复杂，怀疑同时存在线性系统误差和周期性系统误差。系统误差和周期性系统误差。 （3） 准则检查法准则检查法 目前已有多种准则供人们检验目前已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。测量数据中是否含有系统误差。 不过这些准则都有一不过这些准则都有一定适用范围。定适用范围。 如马利科夫判据将残

39、余误差前后各半分为两组，如马利科夫判据将残余误差前后各半分为两组，假设假设“vi前与前与“vi后之差明显不为零，则可能后之差明显不为零，则可能含有线性系统误差。含有线性系统误差。2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现 2 2） 系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别 阿贝检验法是检查残余误差是否偏离正态分布，阿贝检验法是检查残余误差是否偏离正态分布，若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残若偏离，则可能存在变化的系统误差。将测量值的残余误差按测量顺序排列，且设余误差按测量顺序排列，且设假设假设 12nA则可能含有变化的系统误差，则可能含有变化的系统误差， 但类型不能判定。

40、但类型不能判定。 2.3.3 2.3.3 系统误差的发现系统误差的发现 2 2） 系统误差的发现与判别系统误差的发现与判别 111niiivvA（1） 在测量结果中进行修正在测量结果中进行修正 对于已知的恒值系统对于已知的恒值系统误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变误差，可以用修正值对测量结果进行修正；对于变值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公值系统误差，设法找出误差的变化规律，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误式或修正曲线对测量结果进行修正；对未知系统误差，则按随机误差进行处理。差，则按随机误差进行处理。 2.3.4 减小系统误差的方法减小系统误差的方法（2

41、） 消除系统误差的根源消除系统误差的根源 在测量之前，仔细检查在测量之前，仔细检查仪表，正确调整和安装；防止外界干扰影响；选好观仪表，正确调整和安装；防止外界干扰影响；选好观测位置消除视差；测位置消除视差； 选择环境条件比较稳定时进行读数选择环境条件比较稳定时进行读数等。等。（3） 在测量系统中采用补偿措施在测量系统中采用补偿措施 找出系统误差规找出系统误差规律，在测量过程中自动消除系统误差。律，在测量过程中自动消除系统误差。 如用热电偶测如用热电偶测量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，量温度时，热电偶参考端温度变化会引起系统误差，消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端消除此

42、误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器，从而实现自动补偿。补偿器，从而实现自动补偿。2.3.4 减小系统误差的方法减小系统误差的方法 （4） 实时反馈修正实时反馈修正 由于自动化测量技术及微机由于自动化测量技术及微机的应用，的应用， 可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时，应尽可能找出其影响测量结果的明显的复杂影响时，应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系。在测量过程中，用传感函数关系或近似的函数关系。在测量过程中，用传感器将这

43、些误差因素的变化，转换成某种物理量形式器将这些误差因素的变化，转换成某种物理量形式一般为电量），及时按照其函数关系，通过计算机一般为电量），及时按照其函数关系，通过计算机算出影响测量结果的误差值，算出影响测量结果的误差值， 并对测量结果作实时的并对测量结果作实时的自动修正。自动修正。 2.3.4 减小系统误差的方法减小系统误差的方法2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法1） 3准则准则 通常把等于通常把等于3的误差称为极限误差，对于正态的误差称为极限误差，对于正态分布的随机误差，落在分布的随机误差，落在3 以外的概率只有以外的概率只有0.27%，它在有限次测量

44、中发生的可能性很小。它在有限次测量中发生的可能性很小。3准则就是如准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|3时，则该测量值为可疑值坏值），应剔除。时，则该测量值为可疑值坏值），应剔除。应用于测量次数充分多的情况。应用于测量次数充分多的情况。 2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法2格罗布斯准则格罗布斯准则 格罗布斯准则也是以正态分布为前提的，理论格罗布斯准则也是以正态分布为前提的，理论上较严谨，上较严谨， 使用也较方便。使用也较方便。 某个测量值的残余误差某个测量值的残余误差的绝对值的绝对值|v

45、i|g，则判断此值中含有粗大误差，应，则判断此值中含有粗大误差，应予剔除，此即格罗布斯准则。予剔除，此即格罗布斯准则。g值与重复测量次数值与重复测量次数n和置信概率和置信概率a有关。有关。 以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布，正态分布， 特别是测量次数很少时，判断的可靠性特别是测量次数很少时，判断的可靠性就差。因而，对待粗大误差，除用剔除准则外，更重就差。因而，对待粗大误差，除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外，要保证测量条件的稳定，以防止因环境条件剧烈外，要

46、保证测量条件的稳定，以防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。变化而产生的突变影响。 2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法例例 对某一电压进行对某一电压进行12次等精度测量，测量值如表所示，次等精度测量，测量值如表所示，若这些测量值已消除系统误差，试判断有无粗大误差，若这些测量值已消除系统误差，试判断有无粗大误差， 并写出测量结果。并写出测量结果。 解解 求算术平均值及标准差求算术平均值及标准差 mVvmVUUiisii032. 01-12372011. 01-121401.20121121212112.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的

47、判别和剔除方法测测 量量 值值 判断有无粗大误差。判断有无粗大误差。 由于本例中测量次数比较少，不采用由于本例中测量次数比较少，不采用3准则判断粗准则判断粗大误差。大误差。 这里采用格罗布斯准则这里采用格罗布斯准则, 已知测量次数已知测量次数n=12，取置信概率取置信概率a=0.95, 查表得格罗布斯系数查表得格罗布斯系数g=2.28。 gs=2.280.032=0.073|v6| 故故U6应剔除应剔除, 剔除后重新计算算术平均值和标准差。剔除后重新计算算术平均值和标准差。 2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法mVvmVUUiisii0145. 0=1111

48、=409.20=111=111=22111=2再次判断粗大误差，查表得格拉布斯系数再次判断粗大误差，查表得格拉布斯系数g=2.23。 gs2=2.230.0145=0.032所有所有vi2均小于均小于gs2, 故其它故其它11个测量值中无坏值。个测量值中无坏值。 2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方法 计算算术平均值的标准差计算算术平均值的标准差 mVnsx005. 0100145. 0=2 最后测量结果可表示为最后测量结果可表示为 mVxxx02. 041.20=3= Pa=99.73% 2.3.5 2.3.5 粗大误差的判别和剔除方法粗大误差的判别和剔除方

49、法2.4.1 测量数据的表示方法测量数据的表示方法2.4.2 线性回归初步线性回归初步2.4.1 2.4.1 测量数据的表示方法测量数据的表示方法 表格法表格法 图示法图示法 经验公式法经验公式法 在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。回归分析就是应用数理统计的方法称为回归分析。回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变法，对实验数据

50、进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。量间相互关系的经验公式，也称回归方程。当经验公式为线性函数时，例如当经验公式为线性函数时，例如 y=b0+b1x1+b2x2+bnxn 称这种回归分析为线性回归分析，称这种回归分析为线性回归分析， 它在工程中应它在工程中应用价值较高。用价值较高。 在线性回归分析中，当独立变量只有一个时，即函在线性回归分析中，当独立变量只有一个时，即函数关系为数关系为 y=b0+bx 这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研这种回归称为一元线性回归，这就是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。中常遇到的直线拟合问题。 bxby0 设有设有n对

51、测量数据对测量数据xi, yi），用一元线性回归方），用一元线性回归方程程 拟合，则根据测量数据值，实际上只要拟合，则根据测量数据值，实际上只要求出方程中系数求出方程中系数b0、b的最佳估计值，一元线性回归的最佳估计值，一元线性回归方程也就确定了。方程也就确定了。 求取一元线性回归方程中系数求取一元线性回归方程中系数b0、b的值，最常的值，最常用的方法有端点拟合、平均法拟合、以及利用最小二用的方法有端点拟合、平均法拟合、以及利用最小二乘法原理即应使各测量数据点与回归直线的偏差平乘法原理即应使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小拟合。方和为最小拟合。 bxby0用最小二乘法求回归直线用最小二

52、乘法求回归直线 v1v3y4v5yxnxx5x4x3x2x1ynbxby024noy2y1y3y5误差方程组为误差方程组为 nnnnnvbxbyyyvbxbyyyvbxbyyy)()()(0220222110111式中： 分别为在x1, x2, , xn点上y的估计值。 nyyy,21 用最小二乘法求系数用最小二乘法求系数b0、b。 在求经验公式时，有时用图解法分析显得更方便、在求经验公式时，有时用图解法分析显得更方便、直观，直观， 将测量数据值将测量数据值xi, yi绘制在坐标纸上绘制在坐标纸上(称之为称之为散点图散点图)，把这些测量点直接连接起来，根据曲线包，把这些测量点直接连接起来，根据

53、曲线包括直线的形状、特征以及变化趋势，可以设法给出括直线的形状、特征以及变化趋势，可以设法给出它们的数学模型即经验公式）。它们的数学模型即经验公式）。 这不仅可把一条形这不仅可把一条形象化的曲线与各种分析方法联系起来，而且还在相当象化的曲线与各种分析方法联系起来，而且还在相当程度上扩展了原有曲线的应用范围。程度上扩展了原有曲线的应用范围。 最小二乘法原理是一数学原理，要获得最可信赖最小二乘法原理是一数学原理，要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和为最小，的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和为最小，这就是最小二乘法原理。可用算术平均值作为多次测这就是最小二乘法原理。可用算术平

54、均值作为多次测量的结果，因为它们符合最小二乘法原理。最小二乘量的结果，因为它们符合最小二乘法原理。最小二乘法作为一种数据处理手段，在组合测量的数据处理、法作为一种数据处理手段，在组合测量的数据处理、实验曲线的拟合及在其它多种学科方面，均获得了广实验曲线的拟合及在其它多种学科方面，均获得了广泛的应用。泛的应用。 例如有一组数据，其趋向是线性的，我们就在这些数例如有一组数据，其趋向是线性的，我们就在这些数据点之间作一条直线，认为这条直线就是实验数据所据点之间作一条直线，认为这条直线就是实验数据所代表的曲线，这条直线必须满足两个条件：代表的曲线，这条直线必须满足两个条件： (1) (1) 自变量自变

55、量x x的各给定值无误差，因变量的各给定值无误差，因变量y y的各值带的各值带有测量误差，但测量精度是相同的。有测量误差，但测量精度是相同的。 (2) (2) 各实验数据各实验数据y y值同直线的偏差的平方和最小。值同直线的偏差的平方和最小。 这条直线的表达式为一次多项式这条直线的表达式为一次多项式y=a0+a1xy=a0+a1x，式，式中，中，a0a0就是直线在就是直线在y y轴上的截距，轴上的截距，a1a1就是直线的斜率。就是直线的斜率。 第第i个实验值个实验值yi和直线的偏差为和直线的偏差为di，di=yi-a0-a1xi，各，各实验点实验点y值的偏差的平方和为值的偏差的平方和为miii

56、miixaaydS121012 选择选择a0和和a1的大小使得的大小使得S最小，这就是最小二乘最小，这就是最小二乘法。一条曲线是否最能反映实验点所代表的曲线，也法。一条曲线是否最能反映实验点所代表的曲线，也就是判断这条曲线是否最佳有不同的准则，最小二乘就是判断这条曲线是否最佳有不同的准则，最小二乘法是从概率论中的高斯误差定律导出的，在常用的几法是从概率论中的高斯误差定律导出的，在常用的几种方法中，这是最好的方法。种方法中，这是最好的方法。 .22220211010 xaayxaayaS.2222022110111xaayxxaayxaS00aS01aS为了确定为了确定a0和和a1，求，求S式的偏导数式的偏导数令令及，得联立方程，得联立方程miiimiimiimiiimiiyxaxaxyaxma111201110解出解出miimiimiimiimiimiimiimiimiimiimiiixmxxmyxaxmxxyxyxa1221121111221121110 xy例例 已知一组实验值为已知一组实验值为用最小二乘法求实验曲线的表达式。用最小二乘法求实验曲线的表达式。 解解 y和和x的关系接近于线性，故用一次多项式的关系接近于线性，故用一次多项式 y=a0+a1x作为实验曲线的表达式。列出下表，由作为实验曲线的表达式。列出下表，由m=8，可得，可得