上海昂立智立方数学高中高一(秋季班)高一新课-10-不等式的证明学生版-刘昌林

1、昂立普立方共成长中步竽viptr肯科1 / 12高一数学新课课程不等式的证明(学生版)不等式的证明知识回顾不等式基本性质 不等式的性质对称性：a>b? b<a；(2)传递性:a>b, b>c? a>c；(3)可加性：a>b? a+c>b + c, a>b, c>d? a+c>b+d；(4)可乘Ti： a>b, c>0? ac>bc； a>b, c<0? ac<bc； a>b>0, c>d>0? ac>bd；(5)可乘方：a>b>0? an>bn(n N

2、 , n>2)； (6)可开方：a>b>0? n/a> nfb (n6 N , n>2);(7) a>b,ab>0 ? 1 1 ； a>b>0,0<c<d?- - a bc d不等式的常见证明方法知识讲解及例题分析比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种:1 .作差比较法(1)应用范围：当欲证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，常用此法。(2)方法：欲证 A>B,只需要证 A-B>0(3)步骤：“作差-变形-判断符号”。(4)使用此法作差后主要变形形式的处理：a2>0判断。将差变

3、形为常数或一常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征 差符号。将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。【例1】求证x2 2x 2专业引领共成长D【例2】已知a, bC R,且a+b=1.求证252# / 12高一数学新课课程不等式的证明(学生版)【例 3】设 a>b>c,求证 bc2 ca2 ab2 b2c c2a a2b2 .作商比较法(1)应用范围：当要证的式子两端是乘积的形式或哥、指数时常用此法。(2)方法：要证 A>B,常分以下三种情况： A若B>0,只需证明a 1 ;B若B=0,只需证明A>0;A若B&l

4、t;0,只需证明 A 1。B(3)步骤：“作商-变形-判断商数与1的大小”【例1】若a>2,b>2,求证ab>a+b品立普立方专业引领共成长3 / 12数学新课课程不等式的证明(学生版).n.同I【例2】已知a>b>0,求证：aabb【巩固训练】、一 121.证明：ab22(a b 1)22.证明:a2b222c d abbc cdda3.已知a 0,b 0,(1)求证:3.3a b(2)求证:b211a2 b2。立智立方中学生viprnv单科专业引领共成长. 、3,334.已知 a, b, cCR +,求证：a b c 3abc.综合法：(顺推)用综合法证明不等

5、式，就是利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是由因导果"，从巴知"看可知”，逐步推出 结论”综合法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在步步注明推理依据。常用的不等式有：(1) a2 b2 2ab当且仅当a tH取等号(2) ab 而 a,b R当且仅当a b寸取等号2cba一(3) a2 0 (4) 2 a,b同号a b【例1】已知a,b,c为实数，求证、；a%歹C2 y'Cr"2 &(a b c)2 22a b ca b c【例2】已知：a,

6、b,c均为正数，求证 b c a11【例3】已知：a,b R ,a b 1求证：1 1 9.ab【巩固训练】1已知& b R,求证：2 a2 b22已知Ovav!，且M= +N=a-+b-,则 M N的大小关系是（）b1+a 1+b1+a 1+bA. M> N B . M NC. M= N D .不能确定5 / 12数学新课课程不等式的证明（学生版）.n.同I昂立智立方中步注 VIPfHtlMMSi*专业引领共成长3证明：已知a, b, m都是正数，并且 a<b,求证：b m b4 已知 a, b, c是实数，证明 a2+b2+c2ab+bc+ca三.分析法：（逆推）分析法

7、是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。分析法一般用于综合法难以证明的不等式。不等式形式复杂，不宜直接由一端过渡到 另一端，可作等价变形用分析法证明。【例1】已知x y 0,求证JX jy JX_y【例 2】若 0<a<c,b<c,求证：cc2 ab a c . c2 ab【巩固训练】111 . 已知a>b>c,求证：a b b c2 .若 a b 0 ,证明：<a 2bb7 / 12数学新课课程不等式的证明（学生版）.n.同I昂立智立方中学专

8、业引领共成长3.已知：ad bc,求证：a2 b2 c2 d2ac2bd四.反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B,先假设AW B,由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A >Bo凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。1 b 1 a ,例1已知a>0,b>0,且a+b>2求证：,，中至少有一个小于 2。a ，b ，# / 12数学新课课程不等式的证明（学生版）.n.同I昂 AZ 智立方中学球VIPfTW 掌髭*专业引领共成长9 / 12数学新课课程不等式的证明（学生版）.

9、n.同I例2设0 <a, b, c< 1,求证:(1 a)b, (1b)c, (1 一 1c）a,不可能同时大于_4【巩固训练】1 已知 0 a 2, 0 b 2,0 c 2,求证:2 b ,b 2 c ,c 2 a不可能都大2.已知a, b R,且a+b=1.求证252专业引领共成长小结:1 .掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命

10、题的重点2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法.当欲证的不等式两端是乘积的形式或哥指不等式时常用商值比较法，即欲证_、一 aa b, （a 0, b 0）可证 一 1 b4基本思想、基本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析法探索证明的途径， 然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证

11、的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达1:分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较 复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式# / 12数学新课课程不等式的证明（学生版）.n.同I专业引领共成长课后练习1.判断下列各命题的真假(1)若 ac2 bc2，贝U a

12、b.11若a b,则1 1.a b(3)若 a b,c 0,则 c -. a b(4)若 a b,c d ,则 a c b d.(5)若 a b 0,a c ,则 a2bc.(6)若 a b,m N ,则 am bm.2.若a b c,则一定成立的不等式是C. a |c b |cA. a c b c B. ab acc d 4 .右ab 0 ,且 一 一，则下列各式中，恒成立的是 a bA bc ad B 、bc ad C、一 一 d 、一一 c dc d5 .若a b 0, m 0,则且与旦的大小关系是a 旦b b mb b m5的大小.6 .已知x,y R ,比较x2 y2与2 2x y7 .设a 5 ,则 府力 府4与Ta-4 府二 的大小关系是8 .某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a元/kg ,二级棉花b元/kg b