两角差的余弦公式教学设计及点评

1、两角差的余弦公式 教学设计课题两角差的余弦公式项目内容理论依据或设计意图教教两角差的余弦公式是普通高中课程课程标准材材标准实验教科书人教A版数学4 (必修)中分地的第三章的3.1.1节内容，教学课时为1析位课时。前两章学生已经学习了任意角的三角及函数和平面向量等知识，对二角函数有了一作定的认识，有利于学生接受两角差的余弦公用式.两角差的余弦公式是三角包等变换这一早中的一个重要内谷，只后对两角差的不弦公式有了认识，才下t够以此为基础推导其他三角包等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征，体会三角包等变换特点的过程.教1.知识与技能根据新课程标准学(1)通过对两角差的余弦公式的

2、推导，的要求，从提高学生的目 标使学生体会应用向量解决数学问题的技能.(2)通过公式的灵活应用，使学生掌握 两角差的余弦公式的作用.2.过程与方法数学素质和能力出发， 结合学生心理发展的 需求，以及人格、情感、 价值观的具体要求制 订.(1)利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法.(2)在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想.3 .情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、业用的状取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。重

3、 难 点重点：两角差的余弦公式的运用.？ 难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及 逆用公式等技能.数学教学不仅使 学生理解知识的发生 过程，更重要是培养学 生对知识的应用能力.教一, 2通过学生熟知的学以我们已经知道cos4522cc33,cos30设境22特殊角余弦值引入问计激由此我们能否得到cos15的值呢？题，引发认知冲突，引教情对于 cos() cos cos出本节课题.学你们同意这个观点吗？说说理由？使学生明确数学是一以门严谨的科学，激励学计生探索新知.教二活动1:通过设问，激发学生学研（教师活动）提出问题：究竟该如何计算设自觉回顾二角曲数和探cos（ ） ?对于求角的余弦值这种问题

4、，计论向量的相关知识，为公教2TT我们有哪些方法？学证（学生活动）回忆三角函数定义、三角函式的探索提供思路.设一TTt数线以及平面向量数量枳运算等相关知识.通过带有指向性的问计研活动2:题，使学生意识到，向y 探（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来量方法可能是解决问论探究如何计算cos（).题的工具，引导学生建证先复习两个向量数量积的定义与坐标运立向量使用的数学环二算公式；境，培养学生自主探索研,I和数形结合的能力.探定义式：a b ab cos ；在教师的引导下，通过论求两个已知向量的火证坐标式：a bx1x2y1y2 角问题以及三角函数（学生活动）在平曲直角坐标系中作单位定义的应用得出新

5、的结论，使学生体会和认圆，以x轴非负半轴为始边作角 ，它识严格的推导过程是们的终边与单位圆O的交点分别为A、B、获取数学结论的方法。由学生得到结论，让学贝U A cos , sin , B cos ,sin ；生在数学课上体会成试用A、B两点的坐标表示 AOB的余弦功.由于向量工具已被引值。入，因此将问题归结为（教师活动）引导学生经历用向量方法探索角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式求cos（）,结合图形，明确应选择哪几的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？（学生活动）计算OA OB ,得到OA OB cos cos sin

6、sin ;另一方面，从定义式计算OA OB OA OB cos cos得出结论coscos cos sin sin活动3:（教师活动）引导学生思考，的范围，完善公式的推导.（学生活动）提出的任意性，而向量夹角为0,学生产生疑惑：与向量之间的夹角有什么关系呢？教师活动：几何画板动态展示，引导学生结 合计算机图形谛言和三角函数诱导公式对 公式的严密性进行论证.0，,2k ;根据终边相（2）（ ,2 ,2k同的角的性质，cos（） cos活动4:（教师活动）引导学生说出两角差的余弦公 式的结构特点.（学生活动）发现公式左边是差角的余弦， 右边是单角同名三角函数值乘积之和.活动5:例题分析（教师活动）

7、讲评例1.利用两角差的余弦公式求 cos15 的值.这是通过应用理解公式最基础的练 习，在讲评过程中引导学生注意以下几个要 点：降低了思考难度.另 外，在公式的完善过程 中，学生用对比、联系、 化归的观点去分析问 题、处理问题，使他们 在建立公式的过程中 发展逻辑推理能力口 对知识的迁移应用.培养学生用自己的 语言描述公式特征的 表达能力。加深对公式 的印象，掌握公式特 点，为下一步公式的应 用做好铺垫.学生到此刻，能够利用 本课新发现的两角差 的余弦公式解决这个 问题，呼应前面，同时 让学生获得了成果的 数学体验.通过正、余弦之间的转 化；非特殊角与特殊角 之间的转化，进一步巩 固公式的应用

8、，渗透化 归的数学思想.对题目进行解析，使学 生形成解决这类问题 的基本思路.在讲评例题的过程 中注重在表述规范性 上作出点评和要求，提 高学生的数学表达能 力.（1）三角变换关注角的拆分，易于理解.（2）由于是具体角，拆分过程容易进行.（3）拆分的多样性，决定变换的多样性.（学生活动）求出sin75的值.（1）通过诱导公式转化为cos15 ;（2）转化为先利用cos（120 45 ）求cos75 ,再用同角关系求sin 75（教师活动）讲评例题2:45已知 sin一，（,）,cos,是5213第三象限角，求cos（）的值.引导学生分析问题，形成如下思路：结合余弦公式，欲求cos（ ）的值，必

9、先知道sin ,cos ,sin ,cos 的值，然后禾用公式C（）即可求解.，注意角,所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号.三 反 馈 练 习活动6:课堂练习（学生活动）（教师活动）对学生的证明过程进行点评， 使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公 式的特殊情形.（学生活动）学生上台演板，运用公式解决以下问题：（教师活动）对学生的计算过程的每一步进 行点评，是学生认识到两角差余弦公式使用 时注意利用特殊角的正弦值余弦值.（学生活动）先请一位同学在黑板上演示， 然后再向全体同学讲解：（教师活动）找几份具有代表性的解答投 影，让同学们点评.（学生活动）学生认真审题，求解问题（教师活动）对学生

10、表述的步骤是否规范 作出必要的点评和要求。引导学生f要弄 清角的范围，准确判断三角函数值的符号.使学生独立完成证明， 培养学生独立思考的 数学思维品质和对数 学知识前后联系，建立 数学知识网络的能力. 学生上台演板，是本节 课教学的重要一环， 能充分调动学生学习 数学的实践活动能力， 使教师了解学生学习 情况，是激发学生学习 兴趣的启效途径.通过问题的设计，注 重培养学生分类讨论 的数学思想，在解题的 过程中培养学生思维 的严密性和逻辑的条 理性，同时注重对学生 的表述规范性的指导.引导学生认识到要使用两角差余弦公 式，应该运用同角三角 函数关系对四个数据 作出准备，培养学生“举一反三”的解决

11、数 学问题的能力.四变式训练活动7:义式训练(学生活动)应用本课所学的公式进行以下计算：(教师活动)点评，不仅要会公式的正用向 且要注意公式的逆用和变形应用.(学生活动)应用公式计算：(教师活动)引导学生比较已知的角30与所求的角之间的关系，注意构造角以及研究角的范围.在练习中加深对公式 结构和功能的认识，使 学生熟练、灵活运用公 式；掌握三角式变换的 特点，培养学生公式的 逆用能力.引导学生独立思考，得 出 (30) 30 ,从而具备使用两角差 余弦公式的条件，培养 学生解决数学问题的 化归思想.五应 用 评 价课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？1、探索并证明了两角差的余弦公,经历了，

12、 猜想一探究一证明，利用向量法得出了： cos() cos cos sin sin在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁肩效的工具，在后面的学习中我们 会继续感受它的便利.2、所涉及的数学思想与方法：猜想、化 归与转化、数形结合、分类讨论.布置作业：1.必做:P137, 2,3,43.课下思考：你能用cos( ),推导出cos()吗？让学生在课堂小 结中进行自我评价，回 顾当堂所学，交流学习 体会.注意公式特征，正 用，逆用和角的拼凑！ 在探究问题时，结合所 学知识，要大胆猜想， 细心证明！ 通过例题、练习、课堂 小结、作业等对学生在 三维目标方面进一步 评价，反思教学，改进 方法.板书设

13、计:两角差的余弦公式投影屏幕板演区域教学设计说明一、教材地位及其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简. 在数学中通过恒等变换， 可以把复杂的关系用简单的形式表示出来. 三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系. 由于和、差、倍之间存在的联系，和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系，因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系，因此现行的课改教材（人教 A版）安排学生学完三角函数后，先学习了平面向量，因此选择了运用向量方法推导公式cos（ ） cos cos sin

14、 sin 作为建立其它公式的基础，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。本节课的作用承前启后, 非常重要。二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式 C“-B）有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题，分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺，并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑. 但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心，这对教学是非常有利的。根据

15、学生的认知结构和心理特点，我制定了本课的学习目标如下：1知识与技能（ 1）通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。（ 2）通过公式的灵活应用，使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2过程与方法（ 1） 利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。（ 2）在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。3情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨，形成理性思维，体会向量及两角差的余弦公式的运用价值。三、教学重点及难点重

16、点：两角差的余弦公式的运用.？难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能 .四、教法选择和学法指导基于对教材和学生的分析，本节课我采用“引导发现”和“主动参与、独立探索” 等方法组织课堂教学.为了抓住重点，我从学生已有的认知水平出发，设计具有梯度的问题导入，激发学 生的求知欲，引导和组织学生参与探索公式的建立和推导过程，鼓励学生独立思考，让 学生在参与推理的过程中感受成功的快乐和提高逻辑推理能力；在突破难点上，主要通 过以下四个方面的师生活动：引导学生积极思考，大胆探索，学会对目标进行对比分析，把握思维方向；组织学生共同钻研，学会合作，开展讨论交流；对学生的探究活动适当指导，适时地给

17、与帮助；完善推理过程一一对0,的情况引导学生完善.通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发 学生的求知欲。采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。通过有梯度的 练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。学法分析.教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数的定义，向 量的数量积等。.在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，给出一些证明方 法的提示性问题，引导学生去推导公式。五、教学基本流程设计教学活动设计意图活动1:提出问题：究竟该如何计算cos()?对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？通过设问，激发

18、学生自觉回顾三角函数 和向量的相关知识，为公式的探索提供思 路.活动2:尝试用向量的方法来探究如何计算通过带有指向性的问题，使学生意识到， 向量方法可能是解决问题的工具，引导学 生建立向量使用的数学环境，培养学生自cos().主探索和数形结合的能力.活动3:引导学生思考，的范围，完善公式的推导.在公式的完善过程中，学生用对比、联 系、化归的观点去分析问题、处理问题， 使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理 能力口对知识的迁移应用.活动4:引导学生说出两角差的余弦公式的结 构特点.培养学生用自己的谛言描述公式特征的 表达能力。加深对公式的印象，掌握公式 特点，为下，公式的应用做好铺垫.活动5:例题

19、分析例1、利用两角差的余弦公式求cos15的 值.例2、已知4 ,、5sin-,(一, ), cos,5 213是第三象限角，求cos()的值.对题目进行解析，使学生形成解决这 类问题的基本思路.在讲评例题的过程中 注重在表述规范性上作出点评和要求，提 高学生的数学表达能力.活动6:课堂练习学生上台演板，是本节课教学的重要一 环，能充分调动学生学习数学的实践活动 能力，使教师了解学生学习情况，是激发 学生学习兴趣的肩效途径通过问题的设计，注重培养学生分类 讨论的数学思想，在解题的过程中培养学 生思维的严密性和逻辑的条理性，同时注 重对学生的表述规范性的指导.引导学生认识到要使用两角差余弦公 式

20、，应该运用同角三角函数关系对四个数 据作出准备，培养学生“举一反三”的解 决数学问题的能力.活动7:义式训练在练习中1口深对公式结构和功能的认 识，使学生熟练、灵活运用公式；掌握三 角式变换的特点，培养学生公式的逆用能 力.六、教学评价分析1 .本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的 过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。2 .在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式 的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的印象，及灵活应用 公式解题的能力。3 .在教学手段上使用多媒体技术，使重点得到突

21、出，抽象变得直观，有效增加课堂容量，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。4 . 面对不同程度的教学对象，在教学时间上和作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，但也要视教学对象的接受程度进行灵活的删减。两角差的余弦公式教学设计点评省级骨干教师周净两角差的余弦公式是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4（必修）第三章的3.1.1 节内容，教学课时为1 课时。本节课教师采用了活动教学法，将获取知识的猜想、论证和应用过程分解成为7 个教学活动，在活动中通过教师的问来启发引导学生，通过学生的练来巩固知识，是高效课堂的典型模式之一。本节课有以下4 个特点：1体现了教师在教学中的主导地位。教师在本节课的教学活动中主要是通过问题创设情境，激发学生的求知欲，在学生探究新知时对学生的方向和方法加以指导，在例题分析时注重启发学生的思路和规范学生的表达，在反馈练习和变式训练环节组织和激励学生独立思考，观察和点评学生的知识掌握情况，让学生动脑动手，积极参与到课堂，充分体现了教师作为课堂组织者的导学作用