1.1《任意角和弧度制》教案(新人教必修4)

1、4-1.1.1 任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立 适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角” “象限角” “终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。 三角函数也是高中数学的一个重要内容， 在今后的学 习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容， 它能够简单地解决许多数学问题， 在中学数学 中有着非常广泛的

2、应用。二、新课1 .回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解, 但它的弊端在于“狭隘” 师：初中时，我们已学习了 0。360°角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。师：如图1, 一条射线由原来的位置 OA绕着它的端点 。按逆 时针方向旋转到终止位置 OR就形成角”。旋转开始时的射线 OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点 O叫做叫a的顶点。师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720°” （即转体2周），“转体1080°”（即

3、车t体3周）；再如时钟快了 5分钟, 现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了 5分钟，又该如何校 正？ 生：逆时针旋转30°顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转.说明旋转第二周、第三周，则形成 了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法.2 .角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置 OA,绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB,就形成了角”。其中射线OA叫角”的始边，射线 OB叫角a的终边，。叫角a的顶点。3 .正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们

4、把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500;我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。师：如图3,以OA为始边白角a =-150°, 3=-660°。特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说 明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角a”，因W或“/a”可简记为a .4 .象限角师：在

5、今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？生：角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了 “象限角”的概念了。下面 请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：1 .定义中说：角的始边与X轴的非负半轴重合， 如果改为与X轴的正半轴重合行不行， 为什 么？2 .定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3 .是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：学

6、生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）；2.端点在原点上；3.不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300, 3900, -3300角，都是第一象限角；3000, -600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家： （1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；

7、师：（2）锐角就是小于900的角吗？生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是00900的角吗？生：锐角：。0 0。900 ; 00900 的角：。|0 噎 0 900.学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1） 4200;（2） -75 0;（3） 8550;（4） -510 0.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5 .终边相同的角的表示法师：观察下列角你有什么发现 ？ 3903303014701770生：终边重合.师：请同学们思考为什么？能否再

8、举三个与300角同终边的角？生：图中发现 3900, -330 0与 300相差 3600 的整数倍，例如，3900=3600+300, -330 0=-360 0+300;与300角同终边的角还有 7500, -690 0等。师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2 X 3600+300; -6900=-2 X 3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：3 X 3600+300-3 X 3600+3004 X 3600+300-4 X 3600+300由此，我们可以用 S=3 | 3 =kx 3600+ 300

9、, kCZ来表示所有与300角终边相同的角的集合。 师：那好，对于任意一个角”，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S= 3 | 3=a+kX3600, kCZ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数 个周角的和。6 .例题讲评例1设E 小于90o的角F 锐角, G=第一象限的角,A.B.C.D例 2 用集合表示：（ 1）各象限的角组成的集合2）终边落在轴右侧的角的集合解：（1）第一象限角：小360 o 兀v ak360o+90o,k C Z 第二象限角： a|k360 o+90o< a< k360o+180o,k 6 Z 第三象限角：处360 o+180o< “

10、V k360o+270o,k 6 Z 第四象限角： a |k360o+270o< a< k360o+360o ,k Z2）在中,轴右侧的角可记为,同样把该范围“旋转”后，得说明：一个角按顺、逆时针旋转轴右侧角的集合为）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转）角后，所得“区间”仍与原区间重叠.例3 (1)如图，终边落在位置时的角的集合是 k360o+l20o ,kCZ ;终边落在位置，且在内的角的集合是 45o,225o :终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 a |k360o 45ov "V k360o + l20o ,k C Z.练习：(1)请用集

11、合表示下列各角.间的角 第一象限角 锐角小于角.解答（1）2）分别写出：终边落在轴负半轴上的角的集合；轴上的角的集合;终边落在终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;终边落在四象限角平分线上的角的集合.解答（#） ； 说明：第一象限角未必是锐角， 小于角不一定是锐角,间的角，根据课本约定它包括，但不包含例4在间，找出与下列各角终边相同的角，并判定（ 3）它们是第几象限角1）（ 2）解：（ 1 ）角终边相同的角是角，它是第三象限的角；3)终边相同的角是,它是第四象限的角;#)所以与角终边相同的角是,它是第二象限角.总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以,按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它

12、的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大 练习：1，以使余数为正值1 ）一角为,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为(2)集合 M = “ =k 90okC Z中，各角的终边都在（C ）A轴正半轴上，B轴正半轴上，C轴或轴上，D轴正半轴或轴正半轴上(3)设C= a | a = k180o+45°,ke Z,则相等的角集合为 _B=D, C=E_.三.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴判断一个角上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。是第几象限角，只要把改写成在第几象限,就是第几象限角，若角与角适合

13、关系:终边相同；若角适合关系:终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为:这种模式） ，然后只要考查的相关问题即可另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法四 . 作业 :4-1.1.1任意角（ 2）教学目标 ：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角” “负角” “象限角” “终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角”“负角” “象限角” “终边相同的角”的含义教学难点： “旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广，

14、推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。生：略师：上节课我们还学习了所有与a角终边相同的角的集合的表示法，板书S= 3 | 3 =a +kx 3600, kC Z这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。 二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-3600W 3 <7200的元素3写出来：(1) 60°(2) -21 0;(3) 363014解：(1) S= 3 | 3 =600+kX 3600, kCZS 中适合-360 0w 3 <7200 的元素是 600+ (-1

15、 ) X 3600=-300 0600+0X 3600=600600+1 X 3600=4200.(2) S= 3 | 3 =-21 0+kX 3600, kC Z S 中适合-360 0< 3 <7200的元素是-21 0+0X 3600=-21 0-21 0+1 X 3600=3390-21 0+2 X 3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-21 0角终边相同的角的集合。(3) S= 3 | 3 =363014' +kx 3600, kCZ S 中适合-360 °w 3 <7200 的元素是363014 + (

16、-2) X 3600=-356 046363014 + (-1 ) X 3600=3014363014 +0X 3600=363014说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。例2.写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；(2) y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即a ,然后在后面加上k X 3600即可。解：(1)二在0°360°间，终边在x轴负半轴上的角为 1800, 终边在x轴负半轴上 的所有角构成的集合是 3 I 3 =1800+kX 3600, kCZ (2)二在0。360°间，终

17、边在y轴上的角有两个，即900和2700, 与900角终边相同的角构成的集合是 S= 3 | 3 =900+kX 3600, kCZ 同理，与2700角终边相同的角构成的集合是4= 3 I 3 =2700+kX3600, kCZ 提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：S1= 3 I 3 =900+kX 3600, kC Z = 3 | 3 =900+2kx 1800, kCZ (1)S2= 3 | 3 =2700+kX 3600, kCZ = 3 | 3 =900+1800+2k X 1800, kCZ = 3 | 3

18、=900+ (2k+1) X 1800, kCZ ( 2)师：在(1)式等号右边后一项是1800的所有偶数(2k)倍；在(2)式等号右边后一项是1800的所有奇数(2k+1)倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，(1)式和(2)式可统一写成900+nX 1800 (nCZ),故终边在y轴上的角的集合为S= S1US2 = 3|3=900+2kX 1800, kCZ U 3 I 3 =900+ (2k+1 ) X 1800, kCZ = 3 | 3 =900+nX 1800, nC Z 处理：师生讨论，教师板演。提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？

19、(思考后)答：3|3=kX 1800, kCZ , 3 I 3 =kX 900, kCZ 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？答： 3 I 3 =450+nX 1800, nC Z 推广： 3 I 3 =a +kx 1800, kCZ , 3, a有何关系？(图形表示)处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。例1若 是第二象限角，则 2 , 3，三分别是第几象限的角？师：是第二象限角，如何表示？解：(1) 是第二象限角，900+kx 3600V <1800+kx 3600 (kC Z) .180 °+kX 7200<

20、;2<360°+kX 7200 .2 是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。 k 18045 k 1802处理：先将k取几个具体的数看一下(90(k Z),k=0, 1, 2, 3)，再归纳出以下规律:当 k 2n(n Z)时，n 36045 n 36090 (k Z),是第一象限的角;22当 k 2n 1(n Z)时，n 360225角。 n 360270 (k Z),一是第三象限的22 是第一或第三象限的角。2说明：配以图形加以说明。(3)学生练习后教师讲解并配以图形说明。(是第一或第二或第四象限的角)3进一步求是第几象限的角( 是第三象限的角)，学生练习，教

21、师校对答案。三、例题小结1 .要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；2 .要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如0 =a+kx 1200 (kCZ)所表示的角所在的象限。四、课堂练习练习2 若 的终边在第一、三象限的角平分线上，则2 的终边在y轴的非负半轴上练习3 若 的终边与600角的终边相同，试写出在(00, 3600)角。(20°, 140°, 260°)(备用题)练习4如右图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出-950 012,是否是该集合中的角。( a | 120 0+kX 3600WaW 25

22、00+kX 3600, kC Z;是)探究活动经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度?五、作业A组：1 与终边相同的角的集合是 ，它们是第 象限的角， 其中最小的正角是， 最大负角是2 在0o360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：(1 )265(2)1000o (3)843o10(4) 3900oB组3 写出终边在x 轴上的角的集合。4 .写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一 360ow 3 v 360o的元素 写出来：C组：若(1)60o (2) 75o (3) 824o30 (4) 475o (5) 90o (6) 270o (

23、7) 180o (8) 0o是第二象限角时，则4-1.1.2 弧度制（1）教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R对应关系的概念。教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制它的单位是rad读作弧度士7E义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图： AOB=1radAOC=2rad周角=2 rad1 .正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02 .角 的弧度数的绝对值-（l为弧长，r为半径）r3 .用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用

24、角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360=2 rad z. 180 = rad1=rad 0.01745rad1801801rad57.3057 18'例一 把67 30'化成弧度.113解：67 30'67-67 30' rad 67 rad2180283例二把3 rad化成度5 33斛：一 rad - 18010855中学数学用表进行;注意几点：1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”四、练习例三.今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“表示 3rad sin 表示 rad 角的正弦rad”可以省略如：3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表).应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立