数学建模课件第七讲微分方程模型

1、第七讲第七讲 微分方程模型微分方程模型( (二二) )7.1 正规战与游击战正规战与游击战7.2 降落伞问题降落伞问题7.1 正规战与游击战正规战与游击战战争分类战争分类: 正规战争、游击战争、混合战争正规战争、游击战争、混合战争第一次世界大战期间第一次世界大战期间, Lanchester (兰彻斯特兰彻斯特)提出提出了预测战争结局的模型。了预测战争结局的模型。 Lanchester是英国第一部汽车的设计者，对第一次是英国第一部汽车的设计者，对第一次世界大战中交战双方在多次战役中的兵力与折损量世界大战中交战双方在多次战役中的兵力与折损量之间的关系进行了分析，提出著名的之间的关系进行了分析，提出

2、著名的“兰彻斯特法兰彻斯特法则（则（Lanchesters Law）”。他认为，两个竞争对。他认为，两个竞争对手之间的差距越大，优势方的损失就越小。手之间的差距越大，优势方的损失就越小。正规战争模型正规战争模型正规战争正规战争: 战争双方的士兵公开活动战争双方的士兵公开活动, 都处于对方都处于对方每个士兵的监视和杀伤范围之内每个士兵的监视和杀伤范围之内游击战游击战游击战争游击战争: 战争双方的士兵都在对方看不到的某战争双方的士兵都在对方看不到的某个隐蔽区域内活动个隐蔽区域内活动, 双方士兵不是向对方士兵开双方士兵不是向对方士兵开火火, 而是向对方的隐蔽区域射击而是向对方的隐蔽区域射击, 并且不

3、知道杀伤并且不知道杀伤情况情况混合战争混合战争: 战争一方的士兵在对方看不到战争一方的士兵在对方看不到的某个隐蔽区域内活动的某个隐蔽区域内活动, 另一方的士兵在另一方的士兵在对方士兵的监视和杀伤范围之内对方士兵的监视和杀伤范围之内混合战争混合战争 只考虑只考虑双方兵力多少双方兵力多少和和战斗力强弱战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少兵力因战斗及非战斗减员而减少, 因增因增援而增加援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关Lanchester(兰彻斯特兰彻斯特)提出的模型提出的模型一般模型一般模型每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战

4、斗力, 甲乙方的甲乙方的战斗减员率战斗减员率分别用分别用f(x,y), g(x,y)表示表示每方每方非战斗减员率非战斗减员率与本方兵力成正比与本方兵力成正比甲乙双方的甲乙双方的增援率增援率分别为分别为u(t), v(t)x(t) 甲方兵力甲方兵力, y(t) 乙方兵力乙方兵力 模型假设模型假设( , )( ),0( , )( ),0dxf x yxu tdtdyg x yyv tdt f, g取决于战争类型取决于战争类型模型建立模型建立0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx或或正规战争模型正规战争模型甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙

5、方的兵力和战斗力, 简单简单地设地设f与与y成正比成正比, 即即f(x, y)=ay双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战a进一步分解为进一步分解为a=ry py, ry 射击率射击率, py 命中率命中率只分析甲方的战斗减员率只分析甲方的战斗减员率f(x,y)a 表示表示乙方每个士兵的乙方每个士兵的杀伤率杀伤率(单位时间杀伤数单位时间杀伤数), 称为称为乙方的战斗有效系数乙方的战斗有效系数( , ),xxg x ybx br p类似有类似有)()(tvybxytuxayx于是有于是有忽略非战斗减员忽略非战斗减员假设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayx为判断战争的结局为

6、判断战争的结局, 不直接求不直接求x(t), y(t), 而在相而在相平面上讨论平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系aybxdxdy2020bxaykkbxay22)(ty)(tx0由上式确定的由上式确定的相相轨线轨线是双曲线是双曲线)(ty)(tx0ak0k0kbk0k000yxk时平方律模型平方律模型000 xyk时000yxk时yyxxprprabxy200乙方胜乙方胜222200,aybxkkaybx相轨线相轨线:甲方胜甲方胜平局平局游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关, 还随着甲还随着甲方兵

7、力的增加而增加方兵力的增加而增加简单地设简单地设f(x, y)=cxy, c乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率 可以分解为可以分解为c = ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry /sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积yrxxxxssrprddxyyxg/,),(类似有类似有)(tycm0dm)(tx0m0m0m00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线线性性律律 模模型型cddxdy忽略非战斗减员忽略非战斗减员假设没有增援假设没有增援00)0(,)0(yyxxdxyycxyx0m 甲方胜

8、甲方胜0m 平局平局)(ty)(tx0乙方胜, 0n平局, 0n甲方胜, 0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队甲方为游击部队乙方为正规部队乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n100)/(200 xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必须乙方必须10倍于甲方倍于甲方的兵力方可取胜的兵力方可取胜设设x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=0.1km2, sry=1m27.2 降落伞问题降落伞问题跳伞中的安全性至关重跳伞中的安全性至关重要，研究飞行和着陆的数要，研究飞行和着陆的数学模型对

9、此大有帮助。学模型对此大有帮助。本节将对跳伞中的一些本节将对跳伞中的一些问题进行描述、分析并建问题进行描述、分析并建模。这些模型采用简化数模。这些模型采用简化数据仅用于说明问题。据仅用于说明问题。背景背景 假设跳伞员体重是假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为，飞机飞行高度为 4000 m（z轴方向），飞行速度为轴方向），飞行速度为 115 m/s（y轴轴方向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度方向），跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为为 0.555 m/s（x轴方向）。轴方向）。问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？p 对骨骼的冲

10、击是否会导致骨折？对骨骼的冲击是否会导致骨折？p 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？背景背景xyoz跳伞示意图跳伞示意图问题分析问题分析跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒秒是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。打开降落伞的同时，跳伞员还受到打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴向上大小轴向上大小为为1.2m/s的横向风的影响。的横向风的影响。此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各个轴加速度非恒定的三

11、维抛射运动。个轴加速度非恒定的三维抛射运动。 模型假设模型假设 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着陆方式。陆方式。 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩无需考虑。无需考虑。 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们忽略这些影响，只考虑骨

12、头损伤。忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段v打开降落伞时的高度打开降落伞时的高度Z轴轴vX轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）200( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段v打开降落伞时的高度打开降落

13、伞时的高度Z轴轴vX轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）vY轴向位置（加速度为轴向位置（加速度为0）200( )0.5zzz tzv ta t200( )0.5xxx txv ta t200( )0.5yyy tyv ta t位置：位置：X=6.3825X=6.3825Y=1322.5Y=1322.5Z=3352.0Z=3352.0降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段此时的速度此时的速度X, Y轴速度不变轴速度不变Z轴速度为轴速度为降落时间和路径：自由落体阶段降落时间和路径：自由落体阶段此时的速度此时的速度X, Y轴速度不变轴速度不变Z轴速度为轴速度为0zzzvva t

14、(,)(0.555,115, 112.7)xyzv v v阶段二：降落伞打开到垂直速度恒定阶段阶段二：降落伞打开到垂直速度恒定阶段运动状态复杂，只能简化处理运动状态复杂，只能简化处理假定降落伞瞬时打开假定降落伞瞬时打开跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终速度）速度）实验基础上假定这个时间段为实验基础上假定这个时间段为 3 秒秒在此期间下降在此期间下降 54 米米阶段三：垂直速度恒定降落阶段三：垂直速度恒定降落v受力情况受力情况垂直方向空气阻力垂直方向空气阻力 D = dv2 （d = 20）Y轴方向空气阻力轴方向空气阻力 F = -bv （b =

15、 10）X轴方向横向风影响轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小，产生的力大小为为()Gb wv阶段三：垂直速度恒定降落阶段三：垂直速度恒定降落v最终速度：最终速度：此时加速度为此时加速度为0垂直方向空气阻力垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg （d = 20）故故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s即跳伞员以此速度下降即跳伞员以此速度下降 3352 54 = 3298 m，所需，所需时间为时间为 464.2 s总时间为总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s确定着陆坐标确定着陆坐标v牛顿第二定律牛顿第二定律 F = mavX轴轴()Fb

16、 wvbwbvmamxbxbw103 10 12xx确定着陆坐标确定着陆坐标v牛顿第二定律牛顿第二定律 F = mavY轴轴Fbv ybvma0myby103 10 0yy方程求解方程求解103 10 12(0)6.3825(0)0.555xxxx103 10 0(0)1322.5(0)115yyyy( 10/103)( )2507 1184.5ty te( 10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet 将将 t = 467.2 代入可得代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0 着陆速度着陆速度( 10/103)( )2507 1184.5ty te(

17、10/103)( )0.261 6.64351.2tx tet ( 10/103)( 10/103)( )( 1184.5)( 10/103)115ttyv tee ( 10/103)( )(6.6435)( 10/103)1.2txv te( 10/103)467.2(467.2)0.6451.21.20 xve ( 10/103)467.2(467.2)1150yve(467.2)7.1042zv 着陆速度着陆速度v碰撞时速度的大小为碰撞时速度的大小为 v动量（动量（p = mv）改变量为）改变量为v冲击力（时间冲击力（时间200毫秒）毫秒）2227.2048xyzspeedvvv 0742.0944742.0944finalinitialppp /(742.0944)/ (0.2)3710.472Fpt 结论结论骨头骨头极限抗拉强度极限抗拉强度平均横截面积平均横截面积