高考数学复习 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆课件 文

1、第五节椭圆总纲目录教材研读1.椭圆的定义考点突破2.椭圆的标准方程和几何性质3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质考点一椭圆的定义及标准方程考点三直线与椭圆的位置关系考点三直线与椭圆的位置关系1.椭圆的定义椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距.集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.(1)若ac,则集合P表示椭圆;(2)若a=c,则集合P表示线段;教材研读教材研读(3)若ac,则集

2、合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质3.点点P(x0,y0)和椭圆的位置关系和椭圆的位置关系(1)P(x0,y0)在椭圆内+1.202xa202yb202xa202yb202xa202yb与椭圆的焦点三角形相关的结论与椭圆的焦点三角形相关的结论(含焦半径公式含焦半径公式)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆+=1(ab0)上一点P(x0,y0)(y00)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的PF1F2中,若F1PF2=,则(1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半径公

3、式,e为椭圆的离心率),|PF1|+|PF2|=2a;22xa22yb(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos;(3)=|PF1|PF2|sin=c|y0|=b2tan,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取最大值,最大值为bc;(4)焦点三角形的周长为2(a+c).1 2PF FS1221 2PF FS1.(2015北京丰台一模)椭圆x2+my2=1(m0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于()A.B.2C.4D.1214答案答案D由x2+=1(m0)及题意知,2=221,解得m=,故选D.21ym1m14D2.已知F1,F2是椭圆+=1的两焦点,过点F

4、2的直线交椭圆于A,B两点.在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为()A.6B.5C.4D.3216x29y答案答案A根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边的长度为16-10=6.A3.(2016北京东城二模)如图,在由边长为m的正方形组成的网格中有椭圆C1,C2,C3,它们的离心率分别为e1,e2,e3,则()A.e1=e2e3B.e2=e3e3D.e2=e3e1D答案答案D建立如图所示的坐标系,椭圆方程可设为+=1(ab0).C1中:a=2m,b=1.5m,=;C2中:a=4m,b=2m,=;22xa22ybba34ba12C3中:a=6m,b=3m,=.

5、又e=,e2=e3e1.ba1222ca222aba21ba4.(2015北京门头沟一模)椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),P在椭圆上,若PF1F2的面积的最大值为12,则该椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1225x29y225x216y216x29y210 x29y答案答案A根据题意可设椭圆方程为+=1(ab0),P(x0,y0),则PF1F2的面积为|F1F2|y0|=8|y0|=4|y0|4b,所以4b=12,解得b=3,又c=4,所以a2=b2+c2=25,故该椭圆的标准方程为+=1,故选A.22xa22yb1212225x29yA5.已知中心在

6、原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是.12+=124x23y答案答案+=124x23y解析解析依题意,设椭圆方程为+=1(ab0),则有解得a=2,b2=3.故C的方程为+=1.22xa22yb2221,1,2,ccacab24x23y典例典例1(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1(2)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为(

7、)A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1264x248y248x264y248x264y264x248y22xa22yb33323x22y23x212x28y212x24y考点一椭圆的定义及标准方程考点一椭圆的定义及标准方程考点突破考点突破点,且.若PF1F2的面积为9,则b=.1PF2PF(3)已知F1、F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一22xa22yb答案答案(1)D(2)A(3)3解析解析(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=80,n0,mn)的形式.1-1一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴

8、上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1328x26y216x26y24x22y28x24yA答案答案A设椭圆的标准方程为+=1(ab0).由点P(2,)在椭圆上知+=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.22xa22yb324a23bca1222222431,1,2abcabca28x26y1-2(2015北京东城一模)椭圆C:+y2=1(a0)的左、

9、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为2,则PF1F2的周长是()A.2+2B.+2C.+D.4+222xa32323233A答案答案A因为O,M分别为F1F2和PF1的中点,所以OMPF2,且|OM|=|PF2|,同理,ONPF1,且|ON|=|PF1|,所以四边形OMPN为平行四边形,由题意知,|OM|+|ON|=,故|PF1|+|PF2|=2,即2a=2,a=,由a2=b2+c2知c2=a2-b2=2,即c=,所以|F1F2|=2c=2,故PF1F2的周长为2a+2c=2+2 ,故选A.12123333

10、2232典例典例2(1)(2016北京丰台期末)如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是()A.B.C.D.12142232考点二椭圆的几何性质考点二椭圆的几何性质(2)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),|=1,且=0,则|的最小值为.225x216yAMPMAMPM答案答案(1)D(2)3解析解析(1)当P运动到(0,2)时,点M的坐标为(0,1),由题图知b=1;当P运动到(2,0)时,点M的坐标为(2,0),由题图知a=2.故c=.椭圆的离心率e=.(2)

11、由|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,=0,PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则|=,又P在椭圆上运动,当|min=5-3=2时,| |min=.22ab3ca32AMPMAMPM22|PAAM2|1PAPAPM3方法技巧方法技巧求椭圆离心率的常用方法(1)直接求出a,c,利用定义求解.(2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解.(3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.2-1(2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该

12、椭圆的离心率为()A.B.C.D.1413122334答案答案B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc=a,所以e=.故选B.2bca12B2-2已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是()A.0B.1C.2D.21PF2PF2答案答案C设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0),=(1-x0,-y0),+=(-2x0,-2y0),|+|=2=2.点P在椭圆上,01,当=1时,|+|取最小值,为2.1PF2PF1PF2PF1PF2PF220044xy220022yy202y20y20y1PF2

13、PFC典例典例3(2018北京海淀期末)已知椭圆C:+=1(m0),直线l:x+y-2=0与椭圆C相交于P,Q两点,与x轴交于点B,点P,Q与点B不重合.(1)求椭圆C的离心率;(2)当SOPQ=2时,求椭圆C的方程;(3)过原点O作直线l的垂线,垂足为N.若|PN|=|BQ|,求的值.23xm2ym考点三直线与椭圆的位置关系考点三直线与椭圆的位置关系解析解析(1)a2=3m,b2=m,c2=2m,e2=,e(0,1),e=.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).22ca2363由得到4x2-12x+12-3m=0,2233 ,20,xymxy依题意,得=(-12)2-44(12-3m)

14、0,解得m1.且有|PQ|=|x1-x2|=,原点到直线l的距离d=.所以SOPQ=|PQ|d=2,解得m=1,故椭圆方程为+=1.(3)直线l的垂线为ON所在直线:y=x,由解得交点N(1,1),因为|PN|=|BQ|,又x1+x2=3,12123,123,4xxmx x21k29(123 )m61m2121261m27327x237y,20,yxxy所以=1,故的值为1.|PNBQ12|1|2|xx22| 2|2|xx方法技巧方法技巧(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题,涉及弦中点的问题常用“点

15、差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=(k为直线斜率,k0).提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.221212(1)()4kxxx x21212211()4yyy yk3-1(2017北京通州期末)已知椭圆C1,C2均为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,离心率均为,其中C1的焦点坐标分别为(-1,0),(1,0),C2的左右顶点坐标为(-2,0),(2,0).(1)求椭圆C1,C2的方程;22(2)若直线l与C1,C2相交于A,B,C,D四点,如图所示,试判断|AC|和|BD|的大小,并说明理由.解析解析(1)设椭圆C1的焦距为2c1,长轴长为2a1,短轴长为2b1,设椭圆C2的焦距为2c2,长轴长为2a2,短轴长为2b2,依题意得解得所以椭圆C1的标准方程为+y2=1,椭圆C2的标准方程为+=1.(2)|AC|=|BD|.1112221112,21,cacabc2222222222,22,caaabc112,1,ab222,2,ab22x24x22y当直线l的斜率不存在时,显然有|AC|=|BD|.当直线l的斜率存在时,设直线l的