函数周期的常用求法

1、三角函数周期的常用求法一、公 式法2对于函数 y Asin( x ) B 或 y Acos( x ) B 的周期公式是 T ， |对于函数 y Atan( x ) B或 y cot( x ) B 的周期公式是 T |例1 函数 y sin(x)的最小正周期是 ( )32 2解 ：由公式，得 T 2 4 ，故选12T2求2评注 ：对于函数 y Asin( x ) 或 y Acos( x ) 可直接利用公式得；对于 y Atan( x )或 y Acot( x ) 可直接利用公式 T 求得。二、图像法例 求下列函数的最小正周期 y sin x ysin x解： 分别作出两个函数的图像知 y sin

2、 x 的周期 T y sin x 不是周期函数第9 页共7 页评注 ：对于一些含有绝对值的三角函数周期问题，常可借助于三角函数的图像来解决定义法例 求函数 y sin x cosx 的最小正周期解：sin(xk2)cos(x k2sin x cosxk 中最小者是2k 是函数 y sin x cosx 的周期显然2面证明 是最小正周期0 T ，使得：22假设 不是 y sin x cosx 的最小正周期，则存在 2f(x T) sin(x T) cos(x T) sinx cosx 对x R恒成立，令 x 0，则 f (0 T) sinT cosT sinT cosT sin0 cos0 1

3、但 0 T ， sinT cosT 1 2 与矛盾， 假设不成立， 是 y sin x cosx 最小正周期2 评注：这种方法依据周期函数的定义，从式子 f(x T) f(x) 出发，设法找出周期 T中的最小正数(须用反证法证明) 四、转化法1、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例求函数 y 2 3sin xcosx 2sin2 x的周期解： y 2 3sinxcosx 2sin2 x3sin2x cos2x 12( 3sin 2x 1cos2x) 1 2 sin( 2 x ) 12 2 6变式 求函数 y sin6 x cos6 x 的最小正周期解：y (sin 2 x

4、 cos2 x)3 (3sin4xcos2 x 3sin2 xcos4 x)2 2 2 31 3(sin x cos x)2 (sin 2 x cos2 x) 1 (1 cos 4 x)8 5 3cos4x886 6 2 函数 y sin6 x cos6 x 的最小正周期是 T42评注： 就是先根据三角公式已知式转化为一个脚的一个三角函数的形式，再利用公式去求这是最常见的求周期题型，也是高考考察的热点2、遇到绝对值时，可利用公式 |a| a2, 化去绝对值符号再求周期例 5 求函数 y |cosx| 的周期解：2 1 cos2x y |cosx| cos x例 6 求函数 y |sin x|

5、|cosx| 的周期2解： y |sinx| |cosx| |sinx| |cosx| 21 |sin2x| 1 sin2 2x1 cos4x21(1 cos4x)2 函数 y |sin x| |cosx| 的最小正周期 T 42五、最小公倍数法例 7 求函数 y=sin3x +cos5x 的最小整周期解：设sin3x 、 cos5x 的最小整周期分别为 T1、T2，则T1 3 ， T222 y=sin3x +cos5x 的最小整周期为 2评注：设 f(x)与 g( x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、 T2分别是它们的周期，且 T1 T2，则 f (x) g( x)的最小整周期是

6、 T1、 T2的最小公倍数分数的最小公倍数分子的最小公倍数 分母的最小公倍数抽象函数的周期的求法象函数指解析式没有明确给出的一类函数， 对于此类函数性质的研究， 须充分运用题目 条件，寻找问题的切入点，本文谈谈确定抽象函数周期的几种方法.重点谈以下几类问题：对于函数 f (x) ，如果对于定义域中的任意 x ，若满足 f (x a) f (x b) 0(a b)， 则周期 T 2(b a) ；若满足 f (x a) f (a x), f (x b) f (b x)(a b)，即函 数图象有 x a,x b两条对称轴，则周期 T 2(b a) ；若满足 f (x a) f (x b) 1 ( a

7、 b )，则周期 T 2(b a) ；若满足 f(x a) f(x b) 1(a b )，则周期1 f (x b)T 2(b a) ；若满足 f (x a)( a b )，则周期 T 4(b a) .1 f (x b)一、函数值之和等于零型，即函数 f (x) 满足 f (x a) f (x b) 0( a b) 对于任意 x满足 f (x a) f(x b) 0(a b)，即 f(x a) f (x b) ，则 f(x 2a) f(x a) a f(x a) bf(x b) a f(x b) b，即f(x 2a) f (x 2b) f(x 2a) 2b 2a ，等价于 f(x 2b 2a)

8、f(x) ，故函数 f(x) 的周期 T 2(b a).1 例1(05年天津卷 16)设函数 f(x)是 R上的奇函数，且 y f (x)的图象关于直线 x 11b ,a，f (x) 的周期 T 2(b a) 2 .在(* )式中令 x可得 f (1) f(0) 0， 22利用函数的周期为 2，则 f(0) f(2) f(4) 0 f(1) f(3) f (5) ，因此，f(0) f (1) f (2) f(3) f (4) f (5) 0 .二、函数图象有 x a,x b( a b )两条对称轴型函数图象有 x a,x b两条对称轴，即 f(x a) f (a x), f(x b) f(b

9、x)， 改写为 f (x a) f (a x) fb (x a b) fb (x a b) f(x 2b a) ，即2 对称，则 f (0) f (1) f(2) f (3) f (4) f(5)等于 .111解析 y f (x)的图象关于直线 x 对称，则 f( x) f( x )( * )，函数 f (x)2221111是 R上的奇函数，则 f( x) f(x) ，( * )式即 f( x) f ( x) 0，2222f(x a) f(x a) 2b 2a ，等价于 f(x 2b 2a) f(x)，周期 T 2(b a).例 2(05年广东卷 19)函数 f(x)在( , ) 上满足关系式

10、 f(2 x) f(2 x)，f(7 x) f(7 x) ，且在闭区间 0,7 上，只有 f(1) f (3) 0.(1)判断函数 y f ( x)的奇偶性；(2)求方程 f (x) 0在闭区间 2005,2005上根 的个数，并证明你的结论 .解析 函数 f(x)满足 f(2 x) f(2 x),f(7 x) f(7 x)(*)，则 f(x)的图象有 x 2,x 7两条对称轴， f ( x)在闭区间 0,7上，只有 f (1) f(3) 0，而 f(0) 0，f(7) 0，故函数 f (x)不是奇函数；由对称性和 f(1) f(3) 0得 f(11) f(13) 0， 且 f( 7) f(

11、9) 0，由 f( 7) 0而f(7) 0可得函数 f ( x)不是偶函数；因此函数 y f (x) 是非奇非偶函数 .由( * )式还可以表示为 f(x) f (4 x), f (x) f (14 x)，由 f (4 x) f(14 x) 可知函数 f(x)的周期 T 10 (或直接利用上面的结论 a 2,b 7，T 2(b a) 10). f ( x)在闭区间 0,7上，只有 f(1) f(3) 0， f(11) f(13) 0，f ( 7) f ( 9) 0，且周期 T 10 ，故方程 f (x) 0在闭区间 0,10和 10,0上都有两 个解(分别为 1,3和 7, 9 )，从而方程

12、f(x) 0在闭区间 0,2005上有 402个解，在闭区 间 2005,0 上有 400个解，从而方程 f (x) 0在闭区间 2005,2005上根的个数为 802 个.三、两个函数值之积等于1 ，即函数值互为倒数或负倒数型1若 f (x a) f (x b) 1，显然 f (x a) 0, f (x b) 0，则 f(x a) 1 f(x b)即 f (x a) a1f(x a) b1f(x b) a，而 f(x b) a1f(x b) b因此 f(x a) a1f(x b) af(x b) b f(x 2a) 2b 2a ，即f(x 2a) f(x 2a) 2b 2a，函数 f(x)的

13、周期 T 2(b a) ；同理可证，若函数f(x)满足 f (x a) f (x b) 1( a b )，则周期 T 2(b a) .例3 已知函数 f (x)是R上的偶函数，且 f(x 2) f(x) 1， f(x) 0恒成立，则f (119) 的值等于解析 由 f (x 2) f (x) 1可知f (x 4)1f (x 2)f (x)，函数 f (x)的周期为 4，f (119) f(120 1) f ( 1)，函数 f (x)是R上的偶函数且 f (x) 0，则 f ( 1) f (1) ， 在 f(x 2) f(x) 1中，令x 1得 f( 1) f(1) f 2( 1) 1，f( 1

14、) 1， f (119) 1.四、分式型，即函数 f(x)满足 f(x a) 1 f(x b) (a b)1 f (x b)由 f (x a)1 f(x b)1 f(x b)a b)，则 f(x a a) 1 f (x a b)1 f (x a b)*)，f(x a b)f(x b) a1 f(x b) b1 f(x b) b，代入( * )式得 f (x 2a)1f (x 2b)即 f (x 2a) f(x 2b)1，由上面的类型三，求出周期 T 4(b a) .例4已知函数 f(x)在( , )上满足关系式 f(x 2) 1 f(x) .若 1 f (x)f(1) 2 3 ，则 f (20

15、05) 等于 .1 f(x 2)1 f(x)解析 由题意 f(x 2 2)(*)，将 f(x 2) 代入( *)式整1 f(x 2)1 f (x)理得f (x 4)1 f(x)，所以 f (x 8)1f (x 4)f (x) ，函数 f(x) 的周期为 8，f (2005) f(250 8 5) f(5)， f(5) f (1 4) 1 1 3 2，f (1) 2 3f (2005) 3 2.设计抽象函数周期问题， 要注意严密， 下面的“函数” 就是一个流传十分广的典型错例： 例5 已知定义在 ( , )上的奇函数 f (x)满足关系式 f(x 1) 1 f(x).当1 f (x)0 x 1时， f (x) 2x，则 f (5.5)的值等于()A 1 B 1 C 1 D2不少资料选入此题，并给出答案为(5.5)1，提示思路是： f(x 1) 1 f (x)1 f (x)f (x 2) f (x) ，周期为 2，则 f (x 2) 1 f(x 1)，将 f (x 1) 1 f(x) 代入可得1 f(x 1) 1 f(x)则 f (5.5) f( 0.5) f (0.5)1.显然，如果原函数的周期为 2，则周期也可为 4，则 f(5.5) f (1.5