人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：28【提高】简单的线性规划问题

1、简单的线性规划问题【学习目标】1 .了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2 .掌握线性规划问题的图解法.3 .能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力【要点梳理】要点一：线性规划的有关概念：线性约束条件：如果两个变量x、y满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=f（x,y）是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域

2、和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题要点二：线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二

3、是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.3.在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等要点三：确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划（即简单的线性规划）问题，可以用图解法求解.其基本的解决步骤是：设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；画出可行域；求出线性目标函数在可行域内的最值（即最优解）;作答.要点诠释：确定最优解的思维过程：A A7-C线性目标函数 z=Ax+By+Cz=Ax+By+C（A,B不全为 0 0）中，当 B=0B=0 时，y=-

4、x-x+ +-,这样线性目标函 BBBBA A数可看成斜率为-一，且随 z z 变化的一组平行线，则把求 z z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域 B B有公共点，直线在 y y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线 y y= =公 x x, ,再平行移动这条直B B线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B0时，z z 的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B0时，z z 的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的

5、所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x,y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点-验证-选最优解【典型例题】类型一：求目标函数的最大值和最小值. .x2yM4例 1.1.已知关于x、y的二元一次不等式组x-y1x2-0（1）求函数u=3xy的最大值和最小值；（2）求函数z=x+2y+2的最大值和最小值.x2yM4【解析】（1）作出二元一次不等式组x-y1表示的平面区域，如图所示.x2-0由u=3x-y,得y=3x

6、u,得到斜率为3,在y轴上的截距为一u,随u变化的一组平行线,由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距一u最大，即u最小，“、-x2y=4r解方程组Xy得C(-2,3),x2=0.Umin=3N2)3=9.当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，x2y=4解方程组xy得B(2,1),x-y-1.Umax=3X2-1=5.u=3xy的最大值是5,最小值是一9.x2yM4(2)作出二元一次不等式组x-y-1,表示的平面区域如图2x-y-3易知过C(2,1)时，目标函数z=2x+3y取得最小值.zmin=2X2+3X1=7.5x3y_15x、y满足约束条件yMx+1x-5y-3从图示可知

7、，直线z=3x+5y在经过不等式组所表示的公共区域内的点时,以经过点B(-2,-1)的直线所对应的z最小,_35以经过点A(一,一)的直线所对应的z最大.【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示:【变式2】求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的22所以zmin=3(-2)+5父(-1)二-11,八3一5一zmax=3-5-=17.220 0 x x . .2,2,【变式3】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 y y4 42,2,给定.若M（x,y）为D上的x72yx72y动点，点A的坐标为（应/）,则 z=OMOAz=OMOA 的最大值为（）.A.3B.4C.3 3 尤D.4 4

8、 点【答案】B【解析】画出区域D,如图中阴影部分所示，而z=z=OMOA=J2xz=OMOA=J2x+ +y,.y=-J2J2x+z,令l0：y=-J2J2x,将l0平移到过点（J2 2, ,2）时，截距yMx例2.（2018湖南）若变量x,y满足约束条件x+yW4,且z=2x+y的最小值为一6,则k=.J之k答案：2.解析：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y,得y=2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小.目标函数为2x+y=-6,x=-2即A(-2,-2),一点A也在直线y=k上，k=-2,故答案为：

9、2.【点评】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解举一反三：xyxy_1,_1,【变式 1 1】若 x,yx,y 满足约束条件x xy y1,1,目标函数 z=ax+2yz=ax+2y 仅在点(1,0)1,0)处取得最小值，则 a a2x-y2x-y2,0时，直线ax+2yz=0的斜率k=-akAC=-1,a2.2a当a0时，k=一一-4.综合得一4vav2.2Jxy-0I【变式2】(2018福建)变量x,y满足约束条件0时， 画出可行域， 如图所示， 其中B （，一,二m）.显然。（0,0）不是最优解， 故只

10、能B （，一， 口一） 2m-12m-12m-12m-1是最优解，代入目标函数得-2m-=2,解得m=12m-12m-1故选C.例 3.3.已知|2xy+m|v3表示的平面区域包含点A.(-3,6)B.(0,6)C.(0,3)D.(-3,3)2x-ym30【解析】|2x-y+m|3等价于i2x-ym-3：0,Lm33由右图可知,，故0vmv3,m-3二0【点评】此例中充分利用了不等式的几何意义，通过转化为图形语言进而转化为等价的不等式条件解得.举一反三：x2y-3-0,x2y-3-0,【变式】已知变量 x,x,y满足条件x+3yx+3y3 30,0,y-10.y-10）仅在点（3,0）处取得最

11、大值，则a的取值范围是（【答案】D（0,0）和（一1,1）,则m的取值范围是)A A【解析】画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z=ax+y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y=-ax+z的斜率应小于直线1111x+2y3=0的斜率，即一a-.2222类型三：求非线性目标函数的最值Jx-y2_0例 4.4.设实数x、y满足不等式组；2x-y-50则目标函数等价于z=x2y-4易得当直线z=x+2y-4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值为zmax=21.令P(x,y)为可行域内一动点、定直线x+2y4=0,则z=j5|PH|,其中|PH|为P(x,y)到直线x+2y4=0的距离

12、zmax=21【点评】求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值.x-y1_0【变式】已知不等式组x+y-20,则zxC(1,2)22z=|x+2y-4=x+2y-4由图可知|PH|max斗BH|=|729-4|21,5x-2-的取值范围为2xy1x0,y0,1-z=x2y八32=2,2xy2Tx令k=y,P(x,y)为可行域内一动点、x3贝Uz=2,k=kOP2kOPkOA-kOPEkOB,1k3, 1wzM7,即z=t2y的取值范围为1,7.52xy5J类型四：实际问题中的线性规划.例5.某企业生产A、B两

13、种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表:产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨,才能获得最大利润?【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元3x+10y3009x+4yE36。4x+5y0,y0作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，此直线经过点M（20,24）故z的最优解为（20,24）,z的最大值为720+12X24

14、=428（万元）.【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解举一反三：【变式1】（2018新课标I）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品10A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90k

15、g,则在不超过600,目标函数z=7x12y作出可行域，如图所示,个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000，1.5x+0.5y,150,x+0.3y,90,设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么由题意得约束条件5x+3y,600,x-0,y-0.目标函数z=2100 x900y.3x+y?300,10 x+3y,900,约束条件等价于5x+3y,600,x。，y-0.作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示：一.、与计3?=6003?=600X X-1-13 3/广30t30t将z=2100 x+900y变形，得y

16、=Zx+z-,作直线：y=7x并平移，当直线y=工x+z-经过390033900点M时，z取得最大值.10 x3y=900解方程组iy，得M的坐标为（60,100）.5x3y=600所以当x=60,y=100时，zmax=2100父60+900100=216000.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.【变式2】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）11研制成本与塔载费用之和（力兀/件）2030计划最大资金额300力兀产品重量

17、（千克/件）105最大搭载重量110千克预计收益（力兀/件）8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少?【答案】设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80 x+60y.20 x30yM300贝U（10 x+5yE110,作出可行域，如图.xwN N,ywN N作出直线I。：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值,x=9rr解得,即M（9,4）.y=4所以zmax=80X9+60X4=960（万元）.答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元.【巩固练习】一、选择题y1y1.若变量x,y满足约束条

18、件x+y20,则z=x2y的最大值为（）x-y-20A.4B.3C.2D.1xy-3-0,於x-y-3M0,夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直x-2y3-0线间的距离的最小值是（52x3y=302xy=222.（2018浙江文）若平面区域12x-y1-0（2018新课标出）若x,y满足约束条件x-2yM0则2=乂+丫的最大值为x2y-20）取得最小值的最优解x_3有无数个，则a的值为（）A.-3B.3C.-1D.1x+ya一，一，一4 .设x,y满足约束条件3,且z=x+ay的取小值为7,则a=（）x-y1A.-5B.3C.-5或3D.5或35.如图，目标函数z=ax-y的可行域为

19、四边形OACB（含边界），若 C C（2 2t t）是该目标函数z=ax-y的最优解，则a的取值范围是3535）A A/10/10%312312C.（,一）105105123123B.（, ,）510510123123D.（一一，）5105106,某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产1万元，2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是（）A.1吨

20、B. 2吨C. 3吨11叶D.一吨3二、填空题x0,则2x+y取最小值时的最优解是8.xy-3_0,xy-3_0,10.线性目标函数 z=x+y,z=x+y,在线性约束条件2x-y2x-y0,0,下取得最大值时的最优解只有一个，则实y-a.y-a.数a的取值范围x-y1.0,一一八八I，11 .(2018新课标n)若x,y满足约束条件x-2y0,，则z=x+y的最大值为.x2y-20,12 .(2018浙江)若实数x,y满足x2+y2w1,则|2x+y2|+|6x3y|的最小值是.三、解答题13 .某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料

21、1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.14 .某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，9名驾驶员， 在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？7x-5y-230)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=

22、1,选D22,一，11当a=0时A为(),2,2z=x+ay的最小值为1不满足题意;21517当av0时，由z=x+ay得y=_!_x+上，aa17要使7最小，则直线y=_x+2在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在;aa17当a0时，由z=x+ay得y=_x+,aa17由图可知，当直线过点A时直线y=_x+f在y轴上的截距最小，7最小.aaa-1a2a_此时7=+=7,解得：a=3或a=一5（舍）.22故选：B.5 .【答案】B123123【解析】C C 点是目标函数的最优解，k kACAC a a k kBCBC, ,解得12c ca ac c上5105106.【答案】A【解析】设该企

23、业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为3x+y13j2x+3y18x_1y-2所获得的利润7=x+3y,作出如图所示的可行域：作直线lo：x+3y=0,平移直线lo,显然，当直线经过点A（1,一）时所获利润最大，此时甲产品的产3量为1吨7.【答案】（1,1）【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令7=2x+y,y=-2x+7,作直线l：y=2x,作与I0平行的直线l,则直线经过点（1,1）时，（2x+y）min=3.169 .【答案】2200【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件20 x10y-1000Mx4，求线性目标函数z=400 x+300y的最小值.0y2-2x【斛析】z=2x+y-4+6x3y=4110-3x-4y,y2-2x由图可知当yR22x时，满足的是如图的AB劣弧，则z=2+x-2y在点A(1,0)处取得最大值5;当y0y0一,八则有