高数偏导数ppt课件

1、偏偏 导导 数数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化

2、率问题，这就是偏导数概念，对此给出如的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。下定义。定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.一、偏导数

3、的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对y的的偏偏导导数数， 为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记记为为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .如如果果函函数数),(yxfz 在在区区域域D内内任任一一点点),(yx处处对对x的的偏偏导导数数都都存存在在，那那么么这这个个偏偏导导数数就就是是x、y的的函函数数，它它就就称称为为函函数数),(yxfz 对对自自变变量量x的的偏偏导导数数， 记记作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.hyxfyhxfyx

4、fhx),(),(lim),(0 同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.hyxfhyxfyxfhy),(),(lim),(0 偏导数的求法偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法偏导数并不需要新的方法求求 时把时把 y 视为常数而对视为常数而对 x 求导求导xf 求求 时把时把 x 视为常数而对视为常数而对 y 求导求导yf 这仍然是一元函数求导问题这仍然是一元函数求导问题如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim)

5、,(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数一般地一般地 设设),(21nxxxfw ininiixixxxxfxxxxfxwi ),(),(lim110 ), 2 , 1(ni 例例 1 1 求求 223yxyxz 在在点点)2, 1(处处的的偏偏导导数数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 设设yxz )1, 0( xx， 求求证证 zy

6、zxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例 3 3 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx |)|(2yy .|22yxy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在例例 4 4 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，求证：为常数） ，求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;

7、2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV pVRT . 1 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分;、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求； 计算计算 f x (x0 ,y0 ) 时可先将时可先将 y = y0 代代入入 f (x ,y ) 再对再对 x 求导然后代入求导然后代入 x = x0 计算计算 f y (x0 ,y0 ) 时同时同理理).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 解解xxfxx0|

8、0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 3、4、 偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱量，但由于变量较多，易产生混乱-重要的是重要的是区分清函数的类型区分清函数的类型这是出错的主要原因。这是出错的主要原因。5、假设假设 f( x , y ) =f( y , x ) 则称则称 f( x , y ) 关于关于 x , y 具有轮换对称性具有轮换对称性在求在求 时时22,yuyu 只需将所求的只需将所求的 22,xuxu 中的中的 x

9、 , y 互换即可互换即可6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，例例如如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定义义知知在在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.7、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图几何意义几何意义: : 偏偏导导数数),(0

10、0yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线xTM0对对 x轴轴的的斜斜率率. 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对 y轴轴的的斜斜率率. 二、高阶偏导数二、高阶偏导数函函数数),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy 纯偏导纯偏导),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高

11、阶偏导数偏导数.例例 5设设13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .22xz ,62xy 33xz ,62y 22yz ;1823xyx yxz 2, 19622 yyxxyz 2. 19622 yyx观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：原函数图形原函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏二阶混合偏导函数图形导函数图形例例 6 6 设设byeuaxcos ，求求二二阶阶偏偏导导数数.解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax

12、,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？定定理理 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等例例 7 7 验验证证函函数数22ln),(yxyxu 满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程 解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22

13、yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 三、小结三、小结偏导数的定义偏导数的定义（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）思考题思考题若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题

14、解答思考题解答不能不能.例如例如,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.练练 习习 题题一一、填填空空题题: : 1 1、 设设yxztanln , ,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_

15、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5、设、设zyxu)( , ,则则 yzu2_. .二、二、 求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数: : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲线曲线 4422yyxz, ,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少? ?四、四、 设

16、设xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .六、六、验证验证: : 1 1、)11(yxez , ,满足满足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 满足满足 rzzryrxr 222222. . 七、设七、设 0, 00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff ,. . 练习题答案练习题答案一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22 ；2 2、)1(2 yxyexy, ,)1(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1 , , xxzyzyln2 ；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz . .二、二、1 1、 xyxyxy