三男四女排队30问小结

1、三男四女排队三男四女排队3030问小结问小结 湖南省洞口一中湖南省洞口一中 曾维勇曾维勇 典例典例 ：有：有3名男生和名男生和4名女生，若分别满足下名女生，若分别满足下 列条件，列条件， 则各有多少种不同的排法：则各有多少种不同的排法：1全体排一排：全体排一排： _775040A解：解：无限制条件，无限制条件，问题可以看作：问题可以看作： 7个元素的全排列个元素的全排列A775040.选人排一排：选人排一排：_5555772520C AA5557572520CAA先选后排法：先选后排法：甲站在正中间：甲站在正中间： _66720A解：解：位置分析法位置分析法，先安排甲在第四号位，先安排甲在第四

2、号位，余下的余下的6个元素的全排列个元素的全排列A66 =720 (变式变式)7位同学站成一排，其中甲不站在首位位同学站成一排，其中甲不站在首位:解一：解一：甲站其余六个位置之一有甲站其余六个位置之一有A61种，其余种，其余6人人 全排列有全排列有A66 种，共有种，共有A61 A66 =4320。解二：解二：从其他从其他6人中先选出一人站首位有人中先选出一人站首位有A61，剩下，剩下6人人 （含甲）全排列，有（含甲）全排列，有A66 ，共有，共有A61 A66 =4320。解三：解三：7人全排列有人全排列有A77，甲在首位的有，甲在首位的有A66， 所以共有所以共有 A77- A66=7 A

3、66- A66=4320。位置分析法位置分析法 甲只能站在正中间或两头：甲只能站在正中间或两头： _16362160A A13A66A16362160A A 利用利用元素分析法元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲在，甲为特殊元素，故先安排甲在左、右、中共三个位置，有左、右、中共三个位置，有种，其余种，其余6人全排列，人全排列，有有 种由乘法原理得种由乘法原理得种种 甲既不在排头也不在排尾：甲既不在排头也不在排尾： _25761665765623600A A AA AA 由由位置分析法位置分析法,先从其余先从其余6人中选人中选2人放在排头和排尾，人放在排头和排尾，再排其它再排其它5个位，有：个位

4、，有：25653600;A A 15A66A1656A A767623600.AA或由或由元素分析法元素分析法，先安排甲在中间的位置上为，先安排甲在中间的位置上为 种，再排其余种，再排其余6人有人有种，故：种，故：也可由也可由间接法间接法得：得：甲、乙必须在两头：甲、乙必须在两头： _2525240A A根据分步计数原理：根据分步计数原理：第一步第一步: 甲、乙站在两端有甲、乙站在两端有A22种；第二步种；第二步: 余下的余下的5名同学进行全排列有名同学进行全排列有A55种种 则共有则共有A22 A55 =240种排列方法种排列方法.甲乙乙甲 abcde ebdcaA55A55A22A22甲、

5、乙不站排头和排尾：甲、乙不站排头和排尾： _25552400AA解法一：第一步解法一：第一步 从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5位同学中选位同学中选 2位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有A52种方法；第二步种方法；第二步 从余下的从余下的5位同学中选位同学中选5位进行排列（全排列）位进行排列（全排列） 有有A55种方法种方法 ，所以共有，所以共有A52 A55 2400种方法种方法解法二：若甲站在排头有解法二：若甲站在排头有A66种方法；若乙站在排尾有种方法；若乙站在排尾有A66种种 方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有A55种方法种方法

6、所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有 A77 4 A66 2A55=2400种种对于对于“在在”与与“不在不在”等有等有特殊元素或特殊位置特殊元素或特殊位置的排列的排列问题，通常是问题，通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置，称为，称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法）。）。（直接法）（直接法） （排除法）（排除法） 甲不在排头、乙不在排尾：甲不在排头、乙不在排尾： _765161561157656655655523720AA A AA AA A AAA位置分析法位置分析法先排最左边，除去甲外，有

7、先排最左边，除去甲外，有种，余下的种，余下的6个位置全排有个位置全排有剔除乙在最右边的排法数剔除乙在最右边的排法数条件条件的排法共有的排法共有种，但应种，但应1555AA16A66A种则符合种则符合161566553720A AA A甲在乙的右边：甲在乙的右边： _77125202A77125202A 对称性对称性(比例法比例法)甲、乙必须相邻：甲、乙必须相邻： _62621440A A解：解：先将甲、乙两位同学先将甲、乙两位同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素与其余的在一起看成一个元素与其余的 5个元素（同学）一起进行全排列有个元素（同学）一起进行全排列有 种方法；再将甲、种方法；再将甲、 乙

8、两个同学乙两个同学“松绑松绑”进行排列有进行排列有 种方法所以这样的排种方法所以这样的排 法一共有法一共有 种种对于相邻问题，常用对于相邻问题，常用“捆绑法捆绑法”（先捆后松）（先捆后松） 66A22A62621440A A甲、乙不能相邻：甲、乙不能相邻： _76252762563600AA AA A 解法一：解法一：（排除法排除法） A77-A66 A22 =3600 解法二：解法二：（插空法插空法）先将其余五个同学排好有）先将其余五个同学排好有A55种方法，种方法，此时他们留下六个位置（就称为此时他们留下六个位置（就称为“空空” ），再将甲、乙同学），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（分别

9、插入这六个位置（空空）有）有A62种方法，种方法，cbade所以一共有所以一共有A55 A62=3600种方法种方法乙乙甲甲说明：对于不相邻问题，常用说明：对于不相邻问题，常用“插空法插空法”（特殊元素后考（特殊元素后考虑）虑） (比例法比例法) 77536007A 甲、乙、丙三人都相邻：甲、乙、丙三人都相邻： _53537 2 0A A5353720AA解：先将甲、乙、丙三位同学解：先将甲、乙、丙三位同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素与在一起看成一个元素与 其余的其余的4个元素（同学）一起进行全排列有个元素（同学）一起进行全排列有 种方法；种方法； 再将甲、乙、丙三人再将甲、乙、丙三人“松绑

10、松绑”进行排列有进行排列有 种方法种方法 所以这样的排所以这样的排 法一共有法一共有 种种55A33A甲、乙、丙三人都不相邻：甲、乙、丙三人都不相邻： _43451 4 4 0AA 解：解：先将其余四个同学排好有先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们种方法，此时他们留下五个留下五个“空空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这这五个五个“空空”有有A53种方法，所以一共有种方法，所以一共有A44 A53 1440种种小结小结：对于：对于不相邻不相邻问题，常用问题，常用“插空法插空法”（特殊元素（特殊元素考虑）考虑）人排成一排，其中甲、乙、丙三人中，人排成一排，

11、其中甲、乙、丙三人中， 有两人相邻，但这三人不同时相邻：有两人相邻，但这三人不同时相邻： _2753434227534545232880CA AA AA AAA5353AA4345AA 解：解：（排除法）（排除法）剔除三人都相邻剔除三人都相邻和和三人都不相邻三人都不相邻即可即可. .男女生各站在一起：男女生各站在一起： _342342288A A A 解：将甲、乙、丙三个解：将甲、乙、丙三个男男同学同学“捆绑捆绑”在一起看成一个在一起看成一个 元素，另外四个元素，另外四个女女同学同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元在一起看成一个元 素，一共有素，一共有2 2个元素，个元素，先捆后松先捆后松 一共有

12、排法种数：一共有排法种数：342342288A A A （种）（种）. .男生必排在一起：男生必排在一起： _ ( 或女生必排在一起：或女生必排在一起：_ )3535720A A4444576A A 解解: : 3 3个男同学是特殊元素，个男同学是特殊元素，将甲、乙、丙三个男同学将甲、乙、丙三个男同学 “ “捆绑捆绑”在一起看成一个元素，在一起看成一个元素，与女同学排队，这与女同学排队，这 时是时是5 5个元素的全排列，应有个元素的全排列，应有A A5 55 5种排法种排法; ;再将再将3 3个男个男 同学松绑有同学松绑有A A3 33 3种排法种排法, ,由乘法原理，有由乘法原理，有: :

13、A A3 33 3A A5 55 5种种=720=720种不同排法种不同排法. .男女各不相邻男女各不相邻(即男女相间、即男女相间、 4女互不相邻女互不相邻)： _34341 4 4A A插空法插空法先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位， 共有共有 种排法种排法.3434144A A男生不排在一起：男生不排在一起： _7357354320AA A 解：解：（排除法）（排除法）剔除男生排在一起的剔除男生排在一起的即可即可. .3535A A任何两男生彼此不相邻：任何两男生彼此不相邻： _43451440A A 先将先将4女生排好女生排好, 共有共有A

14、44种排法种排法, 再在这再在这4个女生的中间及两头的个女生的中间及两头的5个空档中个空档中插入插入3个男生有个男生有A53种方案种方案, 故符合条件的排故符合条件的排法共有法共有A44A53=1440种不同排法种不同排法. 插空法先排女生，然后在空位中插入男生插空法先排女生，然后在空位中插入男生. 甲、乙两人之间须相隔人：甲、乙两人之间须相隔人： _1255251200A A A从除甲、乙以外的从除甲、乙以外的5人中选人中选1人排在甲、乙中间的排法有人排在甲、乙中间的排法有 种种,并视为一个整体，将整体和剩余并视为一个整体，将整体和剩余4人排成一排有人排成一排有 , 再将甲、乙再将甲、乙松绑

15、松绑有有 共有共有: 种种55A15A22A1255251200A A A甲、乙两人中间恰有甲、乙两人中间恰有3人：人： _25323255233720A AA A A甲、乙甲、乙2人先排好，有人先排好，有A22种排法种排法,再从余下再从余下5人中选人中选3个排在甲、乙个排在甲、乙2人中间人中间, 有有A53种排法种排法, 这时把已排好的这时把已排好的5人视为一个整体人视为一个整体, 与最后剩与最后剩下的下的2人再排人再排, 又有又有A33种排法，这样总共有种排法，这样总共有A22 A53A33 =720种不同排法种不同排法.甲、乙、丙甲、乙、丙3人自左至右顺序不变人自左至右顺序不变 (即男生

16、顺序一定即男生顺序一定,只排女生只排女生)： _ 7473738 4 0AAA（法一）：（法一）：设想有设想有7 7个位置，先将其他个位置，先将其他4 4人排好，有人排好，有 种排法；种排法； 再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的 3 3个位置上，只有个位置上，只有1 1种排法，一共种排法，一共 种方法种方法. .（法二）：（法二）：设想有设想有7 7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮 排在其中的排在其中的3 3个位置上，有个位置上，有 种排法；将其他种排法；将其他4 4人排在人排在 剩下的剩

17、下的4 4个位置上，有个位置上，有 种排法；共有种排法；共有: : 种方法种方法 47A471840A 44A37C3474840C A （变式题）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？（变式题）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？（插空法）（插空法）先将其余先将其余4个同学进行全排列一共有个同学进行全排列一共有 种方法，种方法， 再将甲、乙、丙三名同学插入再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中（但无个空位置中（但无 需要进行排列）有需要进行排列）有 种方法一共有种方法一共有: 种方法种方法（法三）（法三）：对甲、乙、丙进行全排列，则为七个

18、人的全排列，：对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此因此 77373733840.NNAAAA44A35C3445240CA从左到右，从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁名女生按甲、乙、丙、丁 的顺序不变的顺序不变(即只排男生即只排男生)： _7374742 1 0AAA 方法方法1：(比例法比例法) 737744210ANAA方法方法2 2：设想有：设想有7 7个位置，先将男生排在其中的任意个位置，先将男生排在其中的任意3 3个个 位置上，有位置上，有 种排法；余下的种排法；余下的4 4个位置排女个位置排女 生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有生，因为女生的位置已经指定，所以她们

19、只有 一种排法一种排法. .故本题的结论为故本题的结论为 （种）（种）. .37A371210A 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻：甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻： _422425960AAA安排甲、乙和丙安排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有A44种排种排法；由于甲、乙要相邻法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好故再把甲、乙排好, 有有A22种排法种排法, 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的别插入原先排好的4人的人的空档中空档中有有A52种排法种排法, 这这样样, 总共有总共有A44 A22 A52=960种不同排法种不同排法.甲

20、、乙相邻且丙不站排头和排尾：甲、乙相邻且丙不站排头和排尾： _242152652542452652(2)960A A AA A AAA A解法一：解法一：将甲、乙两同学将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共在一起看成一个元素，此时一共有有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个个元素中选取元素中选取2个元素放在排头和排尾，有个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的种方法；将剩下的4个元素进行全排列有个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑松绑”进行排列有进行排列

21、有A22种方法所以这样的排法一共有种方法所以这样的排法一共有:A52 A44 A22 960种方法种方法解法二：解法二：将甲、乙两同学将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，此时一共在一起看成一个元素，此时一共有有6个元素，个元素， 若若丙站在排头或排尾有丙站在排头或排尾有2A55种种方法，方法， 所以丙不能所以丙不能站在排头和排尾的排法有（站在排头和排尾的排法有（ A66 -2A55） A22=960种方法种方法 小结：小结：对于相邻问题，常用对于相邻问题，常用 “ 捆 绑 法捆 绑 法 ” （ 先 捆 后先 捆 后松松）解法三：解法三：将甲、乙两同学将甲、乙两同学“捆绑捆绑”在一起看成一个元素，在一起看成一个元素，此时一共有此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有以可以从其余的四个位置选择共有A41种方法，再将其种方法，再将其余的余的5个元素进行全排列共有个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙种方法，最后将甲、乙两同学两同学“松绑松绑”，所以这样的排法一共有，所以这样的排法一共有: A41 A55 A22 960种方法种方法排成前后两排，前排成前后两排，前3人后人后4人：人： _3477475040AAA解：解： （多排问题单排法