方程的根与零点

1、 思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？2(0)y axbx c a20(0)axbxca 问题问题1 1观察下表观察下表( (一一) )，说出表中一元二次方程的实数根与相，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与应的二次函数图象与x x轴的交点的关系轴的交点的关系。没有交点没有交点(1,0)(1,0)x x2 2-2x+3=0-2x+3=0 x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(-1,0),(3,0)(-1,0),(3,0)x x2 2-2x-3=0-2x-3=0?-2?-4?-30?-25?-20?-15?-

2、10?-5?-1?3?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-25?-20?-15?-10?-5?1?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30?-25?-20?-15?-10?-5?11.1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x x轴交点的个数轴交点的个数. .。结结 论论: : 无实数根无实数根x x1 1=x=x2 2=1=1x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3y=xy=x2 2-2x+3-2x+3y=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x-3-2x-3图象与图象与x x轴的轴的交点

3、交点函数的图象函数的图象一元二次方一元二次方程程方程的根方程的根二次函数二次函数2.2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)问题200=0=0判别式判别式 =b24ac方程方程axax2 2 +bx+c +bx+c=0=0(a0)(a0)的根的根函数函数y= axy= ax2 2 +bx +bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象函数的图象函数的图象与与 x x

4、轴的交点轴的交点0在区间在区间-2,1上，上，f(-2) _0, f(1)_0,则则 f(-2) f(1) _0 ，在区间（在区间（-2，1）上，）上，x=-1是是 x2 2x30的一个根的一个根再观察对数函数再观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:在在0.1 , 2 内内 , f(0.1) _0 0， f(2) _ 0f(0.1)f(2) _0()函数函数f(x)在（在（0.1 , 2) 内有一个零点内有一个零点 x _， xy0121 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么

5、，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。1、图像是连续不断的曲线图像是连续不断的曲线0)()(2bfaf讨论：讨论： （1）如果函数具备上述两个条件时，）如果函数具备上述两个条件时， 函数有多少零点呢？函数有多少零点呢？（2）如果把结论中的条件）如果把结论中的条件“图象连续不断图象连续不断”除去不要，又会怎样呢？除去不要，又会怎样呢？（3）如果把结论中的条件）如果把结论中的条件“f(a) f(b)0去掉呢？去掉呢？（4）若函数）若函数y=f(x) 在区间在区间(a,

6、b)内有零点，内有零点，一定能得出一定能得出f(a) f(b)0的结论吗？的结论吗？（5）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？abxy0ab0yxab0yxab0yx 如果函数如果函数 y=f(x) 在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，的，并且在闭区间的两个端点上的函数值并且在闭区间的两个端点上的函数值互异互异（即（即f(a) f(b)0）,且是且是单调单调函数函数那么，这个函数在那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一内必有惟一的一个零点。个零点。零点唯一性的探索?例例1求函数求函数f(x)=x3x的零点，并画出它的图的零点，并画出它的图象。

7、象。 解：解：x3x=x(x+1)(x1)，令，令f(x)=0，即，即x(x+1)(x1)=0， 解得解得x1=0，x2=1，x3=1，所以函数，所以函数y=f(x)的零点有三个，为的零点有三个，为1，0，1， 这三个点把这三个点把x轴分成四个区间，轴分成四个区间，(，1)、(1，0)、(0，1)、(1，+)，在这四个区间，在这四个区间中取一些中取一些x的值，列出函数的对应值表：的值，列出函数的对应值表： x1.510.500.511.5y 1.87500.37500.37501.875在直角坐标系中描在直角坐标系中描点作图得到图象。点作图得到图象。f(x)=x3x1、对于定义在、对于定义在R

8、上的函数上的函数y=f(x),若若f(a).f(b)0 (a,bR,且且a?2?B?m2?D?m23、函数函数f(x)=x3-16x的零点为的零点为( )A?(0,0),(4,0)?B?0,4?C?(?4?,0),?(0,0),(4,0)?D?4?,0,44、函数、函数f(x)= x3 3x+5的零点所在的大致区间为（的零点所在的大致区间为（ ）A （1，2） B （ 2 ，0） C （0，1） D （0， ）21DBDA5、已知函数已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如的图象是连续不断的，有如下的下的x,f(x)对应值表：对应值表：x1234567f(x) 239 7 1151226那么函

9、数在区间那么函数在区间1，6上的零点至少有（上的零点至少有（ ）个）个 A 5 B 4 C 3 D 2C6、方程、方程lnx= 必有一个根的区间是（必有一个根的区间是（ ） A （1，2） B （2，3) C ( , 1 ) D (3, )x2e1B由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)= x33x+5在区间在区间(1, 1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy01321125432(1) f

10、(x)= x33x+5利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下： 因为因为f(3)30,所以所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x) =2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-242(2) f(x)=2x ln(x2)3利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：作出函数的图象

11、，作出函数的图象，如下：如下： 因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)= ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x) = ex1+4x4是是( ，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3) f(x)=ex1+4x4xy0132112123424利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40, f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有上各有一个零点。一个零点。2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：课堂小结：、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法代数法，图像法。布置作业：布置作业： 习题习题3.1 组组 第第2题题1 1、求下列函数的零点：、求下列函数