三角函数的图像与性质题型归纳总结

1、三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型 1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为 yA sin( x)或 yA cos( x )， A>0,>0,要根据 ysin x，y cos x 的整体性质求解。一、函数的奇偶性例 1 f(x)sin (x )(0 < )是 R 上的偶函数，则 等于( )A.0BCD42【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则k (kZ);(2) 若 yAsin( x)是偶函数，则k+2(kZ);(3) 若 yAco

2、s(x)是奇函数，则k2(kZ);(4) 若 yAcos( x)是偶函数，则k(k Z);(5) 若 yA tan(x)是奇函数，则k2(k Z).变式 1.已知 aR，函数 f (x)sin x| a |为奇函数，则a等于( )A.0B 1C1D1变式 2.设R，则0”是“f(x) cos(x )(xR)为偶函数 ” 的()A 充分不必要条件B必要不充分条C充要条件D无关条件变式3.设f (x)sin(x)，其中0，则f (x)是偶函数的充要条件是()A. f(0) 1Bf (0)0Cf '(0) 1D f '(0) 0例2.设f (x) sin(2x 2)(x R)，则f

3、( x)是( )A.最小正周期为 的奇函数B 最小正周期为 的偶函数C 最小正周期为 的奇函数 D 最小正周期为 的偶函数 222变式1.若f(x) sin2 x 1(x R)，则f(x)是( )A. 最小正周期为 的奇函数B 最小正周期为 的偶函数C 最小正周期为 2 的奇函数D 最小正周期为 2 的偶函数变式2.下列函数中，既在 (0, 2)递增，又是以 为周期的偶函数的是 ( )A. y cos2xBy |sin2x|C y |cos2x|D y|sin x|二、函数的周期性例3.函数y sin(2 x)cos(2x66 )的最小正周期为 ( )A.2 B 4C 2D评注】关于三角函数周

4、期的几个重要结论：(1) 函数 y Asin( x ) b, y Acos( x )22的周期分别为 2 , 2| | |(2) 函数 y | Asin( x) |, y | Acos( x)|,y(3) 函数 y | A sin( x) b |(b 0), y | A cos(b, y A tan(| Atan( xx ) b |(b) | 的周期均为0)的周期均为|2|变式1.函数ysin(2x) cos(2x ) 的最小正周期和最大值分别为 ( )A. ,1B,2C 2 ,1D 2 , 2变式 2. 若f(x)sin x(sin x cos x), 则f ( x)的最小正周期是变式 3.

5、 若f(x)sin3x |sin3x|则f(x)是( )A.最小正周期为 3的周期函数B 最小正周期为22 的周期函数3C 最小正周期为 2的周期函数D 非周期函数三、函数的单调性例 4.函数y sin(2x)(x0, )的递增区间是 ( )A.0, B , 3 12 12 【评注】求三角函数的单调区间： 若函数 y Asin( x )(AC3,560,0)则D56(1) 函数的递增区间由2kx22k (k2Z ) 决定；(2) 函数的递减区间由2kx232k (k2Z ) 决定；(3) 若函数 y A sin(x)中 A 0,0，可将函数变为y A sin( x )则 y Asin( x)的

6、增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；(4) 对于函数 y A cos( x)和 y A tan( x) 单调性的讨论同上。3变式1.函数y sinx f(x)在 ,3 内单调递增，则 f ( x)可以是( )44A.1B cosxC sinxDcosx变式2. 若f(x) sin( x 4)(0)在( 2 ,) 上单调递增，则 的取值范围是( )15 1 31A. , B , C(0, D (0, 22 4 2 42变式3.已知函数 f (x)3sinx cos( x) cos( x )( 0)33(1)求f ( x)的值域；(2) 若f ( x)的最小正周期为,x 0, ， f

7、( x)的单调递减区间 .四、函数的对称性(对称轴、对称中心)例5.函数y sin(2 x 3 )图象的对称轴方程可能是 ( )3A. xB xC xD x6 12 6 12【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：(1) 函数 ysin x的对称轴为x k (k Z ),对称中心(k ,0)( kZ);2(2) 函数 ycos x的对称轴为x k(k Z ),对称中心 (k ,0)( kZ);2k(3) 函数 y tan x无对称轴，对称中心( , 0)( k Z );2(4) 函数 y Asin( x) b的对称轴的求法：令对称中心的求法 : 令 xk (k Z)得 x= k (kk 2

8、(kZ ), 对称中心为k Z ), 得 x=(kk( k ,b)( k Z) ；Z);(5) 函数 y Acos( x) b 的对称轴的求法：令x k (k Z),得x= k (k Z);对称中心的求法 : 令 xkk(k Z)得 x=2 (k Z ),对称中心为 ( 2 ,b)(k Z)2变式1.已知函数ysin( x )(0)的最小正周期为 ，则f ( x)的图象( )A. 关于点 ( ,0) 对称3C关于点 ( ,0)对称4B 关于直线 x 对称4D 关于直线 x 对称3变式 2.函数 y sin(x )的图象的一个对称中心是 ( )433A.( ,0)B(,0)C ( ,0)D( ,

9、0)4 4 2 变式3.函数f ( x) sin 2x cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是 .55变式4.若函数y sinx 3 cosx的图象向右平移 a个单位( a 0)后的图象关于 y轴对称，则 a的最小值是 ( )7A.BCD 6 2 6 3五、三角函数性质的综合思路提示】三角函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、对称性)中，对称性尤为重要；1)对称性奇偶性：若函数 f ( x)的图象关于 y轴对称，则 f (x)是偶函数；若函数 f (x)的图象关于原点对称，则 f (x)是奇函数；(2) 对称性 周期性：相邻两条对称轴之间的距离为T ；相邻两个对称中心的距离为 T ；22

10、相邻的对称中心与对称轴之间的距离为 ；4(3) 对称性 单调性：在相邻的对称轴之间，函数f ( x)单调；特殊的，若 f(x) Asin( x),A 0，0函数f (x)在 1, 2上单调 ，且0 1, 2设 max| 1 |, 2 ，则 T 。4例6.设f (x) asin2x b cos2x, ab 0,若f (x) f ( ) 对任 x R成立,则117(1)f( ) 0;(2) f( ) f( );(3) f (x)不具奇偶性；121052(4) f (x)的单调递增区间是 k ,k 2 (k Z)； 63(5) 存在经过点 (a,b)的直线与函数 f (x)的图象不相交 . 以上结论

11、中正确的是 .例 7.已知函数 f (x) 4cos( x )sin x cos(2 x )( 0)63(1)求f (x)的值域；(2)若f ( x)在区间 3 , 为增函数，求 的最大值 .的取值范围.2变式1.已知函数 f (x) 2sin x( 0),若f (x)在 , 上递增，求43题型 2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角函数的部分图象，求函数解析式。思路提示】由图象求得 yA sin（ x） （A>0 ，>0）的解析式一般不唯一， 只有限定 的取值范围，才 能得到唯一解。依据五点法原理，点的序号与式子的关系是：第一点（即图象上升时与横轴的交点）为 x0

12、 ，第二点（即图象最高点）为 x）（A, R）部分图象如下图所示，则 f （0） （ ）与横轴的交点）为 x 象上升时与横轴的交点）为 例9.函数f （x） A sin（2 x，第四点（即图象最低点）为x 2 . 。，第三点（ 即图象下降时23x ，第五点（即图22D 3变式2.f (x) Acos( xC320,0)部分图象如下图所示，则 f(0)2)部分图象如下图所示， f(2) 23 ,则f (0)f(x) 的解析式。例10.已知函数 f (x) Asin( x )(A 0, 0,| | )部分图象如下图所示，求2使得函数变式 1.已知 f (x) cos2( x ) ( ， 为常数)，

13、如果存在正整数 和实数f(x) 的图象如图所示(图象经过点( 1,0)，求 的值 .方向二：知性质(如奇偶性、单调性、对称性、最值)求函数解析式。3例11.已知函数 f (x) sin( x )( 0,0)为R上的偶函数，点 ( ,0) 是其一对称中心，4且函数在 0, 上单调，求函数 f (x)的解析式。变式 1.已知函数 f (x) 4sin( x )( 0,0)图象的相邻两条对称轴的距离为，且经过点 (0,2) ，求函数 f (x)的解析式。题型 3：函数的值域（最值）般是通过三角变换【思路提示】求三角函数的最值，通常要利用正、 余弦函数的有界性， 化归为下列基本类型处理：(1)yasi

14、nxb at b,sin x t1,1;(2)yasinxbcosx c a2b2sin(x ) c,tan(3)y2 asin xbsinx c at2btc,sin x t 1,1;baat2 bty acos2 x bsinx c y acos2x bsinx c22at 2 bt(4)y a cosxsin x b(sin x cosx)y acosx sin x b(sin x cosx) c(a c),sin x t 1,1;(a c),sin x t 1,1; t2 1c a bt (a c),sin x cosx t 2, 2;1 t2a bt (a c),sin x cosx

15、 t 2, 2;(5)y asinx b 与y asinx b 根据正、余弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可 csin x d ccosx d用不等 式法求最值，更可用数形结合法求最值，但都必须要注意 sin x、cosx的范围。例12.函数 f(x) sin x cos x的最小值是 ( )11C. D.12A. 1 B.2变式 1.函数 f(x)sin x cos(x )的值域为(A. 2,2 B.3, 3 C. 1,1 D.变式 2.函数 f(x)sin2x3sin x cosx在区间, 上的最大值为()42A.1B.132C.32D.1 3例 13.函数 f (x)4sin( x

16、 )3sin(x)的最大值为()6A.7 B.2 332C.5D.42 变式1.求函数f (x) cos(x) 2cos2 2x的值域 .变式2.求函数f (x)cos(2x )2sin(x 4)sin( x 4)(x12 , 2)的值域.2例 14.求函数 f (x) 2cos 2x sin2 x 4cos x的最值 .变式1.求函数f (x)cos2x sin x(| x | )的最小值 .4变式2.求函数f (x)sin2 x5 acosx a832(0x 2 )的最大值.a的取值范围变式 3.若 sin2 x cosx a 0有实数解，试确定变式 4.若关于 x的方程 cos2 x s

17、in x a 0在 (0, 上有解，则 a的取值范围是()255A.( , B.( 1,1 C. 1,1 D.( 1, 44变式5.若关于x的不等式 cos2x sinx a 0在(0, 上恒成立，求 a的取值范围 .sin x 1 例15.对于函数 f(x) sin x 1(0 x)，下列结论中正确的是 ( )sin xA.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值和最小值D.无最值变式1.求函数 y3 cosx的值域.2 sin x变式2.若 4 x 2 ，求函数y tan2xtan3 x的最大值.题型 4 ：三角函数图象变换思路提示】由函数 y sin x的图象变换为函数 y As

18、in( x )b(A,0)的图象 .途径一：先平移变换再周期变换 (伸缩变换 ) x变为原来的 1向左平移 个单位y sinx y sin(x )向上平移 b个单位y Asin( x ) y Asin(途径二：先周期变换 (伸缩变换 )再平移变换。y sin(b；y变为原来的 A倍x)x 变为原来的 1向左平移 个单位y sinx sin x向上平移 b个单位y Asin( x ) y Asin( 平移口诀：左加右减，上加下减(不要管sin( xy 变为原来的 A倍) b.、b的正负 , 注意先弄清楚由谁平移到谁)。例 16.把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变 )，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是()变式1.为得到函数 y cos(2x) 的图象，只需将函数 y sin 2x的图象( )3A.向左平移 5 个单位12C.向左平移 5 个单位6B.向右平移 5 个单位12D.向右平移 5 个单位6变式2.已知f ( x) sin(xA.与g(x)的图象相同),g(x) cos(x ),则f ( x)的图象()B.与g(x)的图象关于 y轴对称C.是由g(x)的图象向左平移 个单位得到的D.是由g( x)的图象向右平移