2018版高考数学一轮复习第九章解析几何9.8曲线与方程理

1、第九章解析几何 9.8 曲线与方程理基础知识自主学习基础知识自主学习ET知识梳理- i .曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y) = 0 的实数解建立如 下的对应关系：2 求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1“曲线C是方程f(x,y) = 0 的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) = 0 的解” 的充分不必要条件.2 曲线的交点与方程组的关系：(1) 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2) 方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.【思考辨析】那么,2判断下

2、列结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1)f(xo,yo) = 0 是点P(xo,yo)在曲线f(x,y) = 0 上的充要条件.(V)2方程x+xy=x的曲线是一个点和一条直线.(X)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2= y2.(X)方程y=.x与x=y2表示同一曲线.(x)(5)y=kx与x=1y表示同一直线.(x)考点自测111.(教材改编)已知点F(4，0)，直线I:x= 4，点B是I上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M则点M的轨迹是()A.双曲线 B.椭圆C.圆D.抛物线答案 D解析 由已知|MF= |MB，根据抛物线的定义知，点M的

3、轨迹是以点F为焦点，直线I为准线的抛物线.2.(2017 广州调研)方程(2x+ 3y 1)(x 3 1) = 0 表示的曲线是()A.两条直线B.两条射线C.两条线段D. 条直线和一条射线答案 D2x+ 3y 1 = 0,_解析 原方程可化为*或/X 3 1 = 0,x30即 2X+ 3y 1 = 0(x3)或x= 4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.3.(2016 南昌模拟)已知A( 2,0) , R1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足/APO=/BPO其中O为原点，则P点的轨迹方程是()2 2A. (x+2)+y=4(yz0)2 2B. (x+1)+y=1(yz0)2 2C.

4、(x2)+y=4(yM0)D. (x1)2+y2=1(yz0)答案 C3解析 由角的平分线性质定理得|PA= 2|PB,设P(x,y)，则.X+?2+y2=2. x12+y2,整理得(x 2)2+y2= 4(y0)，故选 C.2 2x y4 .过椭圆+2= 1(ab0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N,则线段MN中点的轨迹方a b程是_ .4答案2 2x4y尹亍=1解析设MN的中点为P(x,y),则点x29y2Mx,2y)在椭圆上， =+ *= 1 ,2x4y2.即一2+T-= 1(ab0).5.(2016 唐山模拟)设集合A= (x,y)|(x 3)2+ (y 4)2= 4, B= (x,

5、y)|(x- 3)2+ (y2164) =,C= (x,y)|2|x 3| + |y 4| =入.若(AUB)nCM?，则实数 入的取值范围5是_.答案, 4216+ (y4)= 上的点的集合，集合C表示曲线 2|x 3| + |y 4| =入上的点的集合，这三个5集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A B表示圆，集合C则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示,可求得入的取值范围是誓，4.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一定义法求轨迹方程2例 1 如图，动圆C：x2+y2=t2,1t3，与椭圆C2: *+y2=1 相交于A,B,C, D四点.点A1,A分别为C2的左

6、，右顶点.求直线AA与直线AB交点M的轨迹方程.解析4由题意可知，集合A表示圆(x 3)2+ (y 4)2=上的点的集合,5集合B表示圆(x 3)52X2解 由椭圆C2: - +y= 1，知Ai( 3,0) ,A(3,0).设点A的坐标为(Xo,yo);由曲线的对称性，得B(xo, yo),设点M的坐标为(x,y),直线AA的方程为y= J(x+ 3).xo+ 3yo直线AB的方程为y=打(x 3).Xo 32由得y2=-y(x2 9) Xo 922Xo又点A(Xo,yo)在椭圆C2上，故yo= 1 .2xo将代入得 y= 1(x3,yo).2x2因此点M的轨迹方程为y= 1(x 3,yo).

7、思维升华应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.跟踪训练1已知两个定圆O和O,它们的半径分别是 1 和 2,且|OQ| = 4.动圆M与圆O内切，又与圆 Q 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解如图所示，以OQ的中点O为原点，OQ2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|OQ| = 4,得O( 2,o) , Q(2,o).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O内切，有|MO6=r 1;由动圆M与圆O外切，有|MO=r+ 2.I MO |MO =3b0)的一个焦点为

8、(5 0)，离心率为 #(1) 求椭圆C的标准方程；若动点P(xo,yo)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.解依题意得，c=5,e=-,a3因此a= 3,b2=a2-c2= 4,2 2故椭圆C的标准方程是 石+= 1.94(2) 若两切线的斜率均存在，设过点P(x0,y)的切线方程是y=k(x-x) +y.y=k xX。则由，x2y2+ = 1卫十 4，2 2 2即(9k+ 4)x+ 18k(yokxo)x+ 9(yo-kxo) 4 = 0, = 18k(yokxo) 36(9k+ 4)(yo-kxo) 4 = o, 整理得(xo 9)k 2Xoyok+yo

9、4 = o.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1,k2,2Ayo 4于是有k1k2= 1,即2_-= 1,xo 92 2即xo+yo= 13(xo工土 3).若两切线中有一条斜率不存在,Xo= 3,xo= 3,xo= 3,xo= 3,则易得*或1或*或*lyo=2lyo=2yo=2y= 2,经检验知均满足xo+yo= 13.点M的轨迹方程为4x23=1 (xb0)的左，右焦点已知FPF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e；设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足XM- BU-2,求点M的 轨迹方程.解(1)设Fi( c,0) ,F2(c,0)(c0).由题

10、意，可得|PF| =厅冋，即.ac2+b2= 2c,整理得 2c 2+c 1 = 0,丿a得-=1(舍去)或=；.所以e=yaa22由(1)知a= 2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+ 4y2= 12c2，直线PF2的方程为y= .3(xc) 3X2+4y2= 12c2,A,B两点的坐标满足方程组$=寸 3xc I消去y并整理，得 5x2 8cx= 0.8解得为=0,X2= 5c,1= 0,得方程组的解y= p3c,设点M的坐标为(x,y),8X2= 5c，c.不妨设A8c,B(0，3c).则AM=x-lc，3 ,3yc，BM= (x,y+3由y= . 3(xc)，得c=xTy.3,35

11、41018x 15J3将y=-代入c=xy,16 回3 2E 10 x+ 5 得c= i6L.所以x0.因此，点M的轨迹方程是 18x2 16 3xy 15= 0（x0）.题型三相关点法求轨迹方程_ 2 2例 3（2016 大连模拟）如图所示，抛物线C:x= 4y,C:x= 2py（p0）.点M（xo,yo）在抛物线C2上,过M作C的切线，切点为A B（M为原点0时，A,B重合于C）.当xo= 11时，切线MA勺斜率为一2（1）求p的值；当M在Q上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A,B重合于0时，中点为C）.2x解（1）因为抛物线C：x= 4y上任意一点（x,y）的切线斜率为y= ,1且切

12、线MA的斜率为-，一 1所以点A的坐标为（一 1,-）,41 1于是AM=BM=(x,3x)，由XM-目M= 2,化简得 18x2 16 3xy 15= 0.411故切线MA的方程为y= （x+ 1） + 4.因为点M1 . 2,y）在切线MA及抛物线C上,1 1所以y0= 2X（2 2） + 4=-宁，12由得p= 2.由N为线段AB的中点,2 2X1+X2y= -. 所以切线MAMB的方程分别为2X1X1 y=2(xxi) +4，2X2X2 y=2(xX2)+ -. 由得MA MB的交点Mxo,yo)的坐标为Xi+X2X1X2Xo=厂,yo=2因为点Mxo,yo)在C2上，即xo= 4yo

13、,2 2所以XiX2=X124由得x= y,x丰o.当Xi=X2时，A, B重合于原点O,24AB的中点N为点Q坐标满足x= y.y72yo=，2p322p.设N(x,y),A(xi,2 2Xi rX24 ,13点C的坐标为(xo,yo) ,A(xi,yi) ,B(X2,y2).xy= 4a,y2= 4ax,由方程组消去y并整理得2 2x I2ax+ 16a= 0. xi+X2=12a,yi+y2= (xi 4a) + (X2 4a) = (xi+X2) 8a= 4a./Qx,y)ABC的重心，xo+xi+X2x=3=o+yi+y2y=3=xo+ i2a3，yo+ 4a3，xo= 3x i2a

14、,yo= 3y 4a.又点Cxo,yo)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得2(3y 4a) = 4a(3x i2a), 即(丫-4)2=貴乂 4a).又点C与 A,B不重合，xoM(625)a, ABC的重心的轨迹方程为4a(yT)2=4a(x 4a)(x工(6 3a).思想与方法系列22.分类讨论思想在曲线方程中的应用典例2 2(i2 分)已知抛物线y2= 2px经过点M2 , 2,2)，椭圆 A +書=i 的右焦点恰为抛物线a bi的焦点，且椭圆的离心率为？.(i)求抛物线与椭圆的方程；14若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，IQ=入(入丰0), 试求Q的轨

15、迹.思想方法指导(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准,据x2,y2的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论.(2) 等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程.(3) 区分求轨迹方程与求轨迹问题.规范解答解(1)因为抛物线y2= 2px经过点M2 , - 2 2),所以(2 2)2= 4p,解得p= 2.2所以抛物线的方程为y= 4x,其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c= 1.1又椭圆的离心率为 2,所以a= 2,可得b2= 4 1 = 3，故椭圆的方程为2 2x y八4 + 3=1.3分（2）设Qx,y），其中x 2,2,设P(x,

16、yo)，因为P为椭圆上一点,2 2x , yo.所以丁 + 了= 143232解得yo= 3-qx.232x+ 3 4X故22= 入 ,x+y12 I 22 2得（入一 4）x+ 入y= 3,x 2,2 . 6 分21 12当入=4，即入=2 时，得y= 12,点Q的轨迹方程为y=2,3,x2,2,此轨迹是两条平行于x轴的线段；8 分21 1 当入4, 即 0入时,般情况下，根IOPIOQ=入可得152y T2入此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x 2,2的部分；10 分x轴上的椭圆满足x 2,2的部分.12 分课时作业课时作业91. (2017 宜春质检)设定点M(0, 3) ,M(0,3)

17、，动点P满足条件|PM| + IPM=a+-(其a中a是正常数)，则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.椭圆或线段答案 CD.不存在9-解析 a 是正常数，a+29 = 6.a当|PM| + |PM| = 6 时，点P的轨迹是线段MM;9当a+-6 时，点P的轨迹是椭圆，a故选 C.2 若曲线C上存在点M使M到平面内两点A 5,0),巳 5 , 0)距离之差的绝对值为 8，则 称曲线C为“好曲线” 以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y= 522x yc.+ = 1259B.x2+y2= 9D. x2= 16y答案 B解析 M 到平面内两点A 5,0)，巳 5,0)距离之差的绝对值为8, M

18、 的轨迹是以A 5,0),B(5,0)为焦点的双曲线，方程为2 2x6-y9 =1.A 项，直线x+y= 5 过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B 项，x2+y2= 9 的圆心为(0,0)，半径为 3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；2 2 2 2x yx yC项，25+ = 1 的右顶点为(5,0)，故椭圆 25+9= 1 与M的轨迹有交点，满足题意;1,21当入4，即1入2 时，得到此轨迹表示长轴在得到2x入2162 2 2XVy2D项，方程代入 169 = 1，可得y 9 = 1，即y 9y+ 9= 0, o,满足题意.3.（2016 银川模拟）已知点P是直线 2x-y+

19、 3= 0 上的一个动点，定点M 1,2） ,Q是线段PM延长线上的一点，且|PM= |MQ，则Q点的轨迹方程是（）A. 2x+y+ 1= 0B. 2xy 5 = 0C. 2xy 1 = 0D. 2xy+ 5 = 0答案 D解析 由题意知，M为PQ中点，设Qx,y），贝U P为（一 2x,4y）,代入 2xy+ 3= 0，得 2xy+ 5= 0.4.（2016 太原模拟）已知圆锥曲线mx+ 4y2= 4m的离心率e为方程2x2 5x+ 2= 0 的根，则 满足条件的圆锥曲线的个数为（）A. 4 B . 3 C . 2 D . 1答案 B解析/ e是方程 2x2 5x+ 2= 0 的根，1 e

20、= 2 或 e=22 222x ymx+ 4y= 4m可化为 丁+ = 1,74 m当它表示焦点在x轴上的椭圆时,当它表示焦点在y轴上的椭圆时,当它表示焦点在x轴上的双曲线时,2 2可化为一= 1可化为 4m，满足条件的圆锥曲线有 3 个.有- m=3;有m= 12.175 .已知点A（1,0），直线I:y= 2x 4，点R是直线l上的一点，若XP,则点P的轨迹方 程为（）A.y= 2xB. y= 2xC. y= 2x 8D. y= 2x+ 44i3Xi= 2 x,i)的点的轨迹.给出下列三个结论：1曲线C过坐标原点；2曲线C关于坐标原点对称；123若点P在曲线C上，则FiPB的面积不大于 歹

21、2.其中，所有正确结论的序号是 _.答案解析 因为原点O到两个定点Fi( i,0) ,F2(i,0)的距离的积是 i，且ai，所以曲线C不过 原点，即错误；因为Fi( i,0) ,F2(i,0)关于原点对称，所以|PF| PR| =a2对应的轨迹关iii232FiPR的面积不大于a2，所以正确.8.(20i7 西安月考)已知ABC的顶点A,B坐标分别为(一 4,0) , (4,0) ,C为动点，且满足5、sin B+ sinA=：sin C,则C点的轨迹方程为答案 B=1,解析设Rx,y) ,R(xi,yi),由RAAF知，点A是线段RP的中点,山=02o,19于原点对称，即正确；因为d Fi

22、PF=?PF| 丨PFsin /FPFa8=|AB，二满足椭圆定义.2 2令椭圆方程为二+匚=1,a b则a= 5,c= 4,b= 3,则轨迹方程为2y=1（x工士 5）.92 29.如图，P是椭圆扌+y2= 1 上的任意一点，F,F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且OQ= PF1+琵，则动点Q的轨迹方程是解析由于OQ= PF+PF2,又PF+PF2= PM=2PC=2OP设Qx,y）,T1Tx y则OF= ?OG= （ 2,勺,x y即P点坐标为（一 2, 2），又P在椭圆上,10._已知圆的方程为x+y= 4,若抛物线过点A 1,0) ,B(1 , 0)且以圆的切线为准线，贝 U 抛物线焦

23、点的轨迹方程是.2 2“宀x y答案 4 + 3 = 1(yM0)解析 设抛物线的焦点为F,过A,B, O作准线的垂线AA,BB,OO,则 |AA| + |BB| = 2|0O= 4,解析由 sin4b2+2X X -22-22- -a a则b22-=1 即2 2x yT2 + 2= 1.4a4b答案2x21由抛物线定义得|AA| + |BB| = |FA+ |FB,22I FA+ |FB| = 42= IAB，故F点的轨迹是以 A,B为焦点, 长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点).11.已知实数m1,定点Am,0) ,B(m,0) ,S为一动点，点S与A,B两点连线斜率之积为1m.(1)求

24、动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线;l: 2xy+1= 0(t0)与曲线C有且只有一个交点?y 0y 0解 设s（x,y），贝y ksA=xm ksB=xm2” X2即=+y一 1（x工土m.m焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴 长为2m短轴长为 2.2m= 2，则曲线C的方程为+y2一 1(x工土 2).2xy+1一 0,由x222+y-1,消去y,得 9x2+ 8tx+ 2t2 2= 0.2 2令一 64t 36X2(t 1) 一 0,得t一土 3./ t0,.t一 3.此时直线I与曲线C有且只有一个交点.12 .已知椭圆E：x2+右一 1(ab0)的离心率为 ，过

25、左焦点且倾斜角为45的直线被椭圆a b2截得的弦长为勺子.3(1) 求椭圆E的方程；(2) 若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M1 , 0)作I的垂线，垂足为Q求点Q的轨迹方程.解(1)因为椭圆E的离心率为，(2)若 m= ,2,问t取何值时，直线由题意，得1m，/ m1, 轨迹C是中心在坐标原点,23解得a2= 2b2，故椭圆E的方程可设为所以ya2b22a一 2 .24则椭圆E的左焦点坐标为(一b,0),过左焦点且倾斜角为45的直线方程为I 设直线I与椭圆E的交点为A,B,x+b2U得 3x+ 4bx= 0，解得xi= 0,X2=-.3因为 |AB= J 1 + 1 |xiX21_

26、 4 农b4扭=3=3，解得b= 1.2x2故椭圆E的方程为+y= 1.(2)当切线I的斜率存在且不为 0 时， 设I的方程为y=kx+m联立直线I和椭圆y=kx+m得x2I+ y=1,k221 km5+k+m所以x+y=厂.2 2 . 2 2一k m+k+m+ 1=+k2 25 2 2得(2k+ 1)x+ 4km)+ 2m 2= 0.因为直线I和椭圆E有且只有一个交点，所以 = 16k2m 4(2k2+ 1)(2m-2) = 0.化简并整理，得m= 2k2+1.因为直线MQ与I垂直，1所以直线MQ的方程为y= k(x 1).2F+b2=1,消去y,联立方程组x解得y=kx+m1 km1 +k

27、2，k+m1 +k2，y=x+b.E的方程,消去y并整理,25_k2+mi+|=mi+ 1_ 1 +k2，把mi_ 2k2+ 1 代入上式得x2+y2_ 2.(*)当切线 11 的斜率为 0 时，此时Q1,1)或Q1 , - 1)，符合(*) 式.当切线 11 的斜率不存在时，此时, 0）或Q羽,0）符合（*）式.综上所述，点Q的轨迹方程为x2+y2_ 2.*13.（2016 河北衡水中学三调）如图，已知圆E： （x+ 3）2+y2_ 16,点 F：, 3, 0） ,P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q（1）求动点Q的轨迹r的方程；设直线I与（1）中轨迹r相交于A,B两点，直线OA l,OB的斜率分别为k1,k,k2（其 中k0） ,OAB勺面积为S,以OA OB为直径的圆的面积分别为S, $,若k1,k,k