2017高中数学抽象函数专题

1、三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y, f(x+y尸f(x)f(y)总成立,且存在Xi X2,使得f(Xi)f(X2),求函数f(x)的值域。解：令 x=y=0,有 f(0)=0 或 f(0)=1 。若 f(0)=0 ,则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数xi x2,使得f(xi) f(x2)成立矛盾，故f(0) ? 0,必有f(0)=1 。由于f(x+y尸f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，x 2 0 ,1 (x)1 ()0又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0) #0 矛

2、盾，所以 f(x)>0.四、求解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例6、设对满足x#0,x # 1的所有实数x,函数f(x)满足，fx fU 1 x，求f(x) x的解析式。解: f(x) f (-) 1 x (x 0且 x 1), (1) 用 H代换 x得：f (_) f() 2A, (2) xxx 1 x x再以 上代换(1)中的 x得：f(工)f (x) 2-x. - (3)由 ? 得:f(x) x3 2 1 (x 0Mx 1) 1 - x'1-x，'，1x22x2 2x例8.是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：f(n)>0,

3、n N;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2 6 N* ；f(2)=4 同时成立? 若存在，求出 函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解：假设存在这样的函数f(x)，满足条件，得f(2)=f(1 + 1)=4，解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23，由此猜想:f(x)=2x (x 6 N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用 递推法来求解.练习：1、设y f(x)是实数函数(即x,f (x)为实数)，且f (x) 2f () x,求证：|f(x)| 272. x3解：用工代换 x,得 f(1)

4、 2f (x) 1,与已知得 x2 3xf (x) 2 0,由0 得 9f 2(x) 4 2 0, |f(x)| -"2.xxx33、函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f( x+y)-f(y)=( x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0 ,(1)求f(0)的值；(2)对任意的x1 (0,1), x2 (0,1),都有f(x1)+2<logax2成立时，求a的取值范 22围.解：(1)由已知等式 f(x y) f(y) (x 2y 1)x,令x 1, y 0得 f(1) f(0) 2,又 f(1)0,二 f(0) 2.2,2, f(x) 2 x x . xi(0,；),

5、f (xi)2 (0, 3).要使任意4xi f(x) 2 x2 x (x ；)2 4在 xi(0,g)上单调递增，(0)，x2 (0,1)都有 f (xi) 2 logax2 成立，必有 22(2)由 f(x y) f(y) (x 2y 1)x,令 y 0 得 f(x) f (0) (x 1)x,由(1)知 f(0)3 1一 logax2都成立.当a 1时，log a x2 Na-，显然不成立.当0 a 1时，4 2(logax2 )loga1 3,解得巫a 1. a的取值范围是,1).2 444五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时

6、，f(x)>1,且对于任意实数x、y,有 f(x+y)=f(x)f(y),求证：f(x)在R上为增函数。证明：设 R上 xyk,则 f(x 2-x 1)>1 ,f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x3 因为f(x1)的正 负还没确定)。取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若 f (0)=0，令 x>0,y=0，则 f(x)=0 与 x>0 时，f(x)>1 矛盾，所以 f(0)=1 , x>0 时，f(x)>1>0,x<0 时，-x>0, f(-x)>1,

7、由f (0) f (x) f ( x) 1 得 f(x)10 ,故 f(x)>0 ,从而 f(x 2)>f(x 1).即 f(x)在 R 上是f ( x)增函数。(注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性) 练习：已知函数f(x)的定义域为R,且对m、n6R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且f( 2)=0,当乂>2时，曲)>0.求证：f(x)是单调递增函数；证明：设 乂1< x2,则 x2 -x1 2 >- 2，由题意 f(x2 x1 -2 )>0, < f(M) f(x1)=f 佻一 xD+xJ f(x1)=f(x2-x1)+f(x

8、1)- 1 -f(x1)=f(x2-x1)- 1=f(x2-x1)+f( - 2)-1=f (x2 x1)； >0,：f(x)是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)#0,当x>1时,f(x)<1 试判断f(x)在(0,+s)上的单调性。解：Xx R 有f(x) f(而？而)f2(而)0,又 f(x) 0,故 f(x) 0,设 x1,x2 r，且 x1 x2，则n 1,则Xix 2x 2 f(x2)(丁 K . (xi) f(x±) 1,所以 f(xi)>f(x2)，故 f(x)在 R+上为减函数.f

9、 (x 1 ) f (x 1 )f ( x 1 )x 1练习6、.已知函数f(x)的定义域为0,1 ,且同时满足：(1)对任意x 0,1，总有 f(x) 2； (2) f(1) 3,(3)若 X0,x20 且刈x21,则有 f(x1x2)f(x1)f(xz)2.(I)求f(0)的值；(II)求f(x)的最大值；(III)设数列an的前n项和为Sn,且满足 Sn2(an3),n N*.求证：f(&)f(a2)f(%)Lf(a0)3 2n74n7.22 3解：令x1x2 0,由(3)，则f (0) 2f(0) 2, f (0) 2由对任意x 0,1，总有f (x) 2, f (0) 2(I

10、I)任意 X,x20,1 且 x1x2 ,则0 % 为 1,f(x2x) 2f(xOf (x2x x)f(次x)f(x1)2f(x1)fmax(x) f (1) 3(111) Q Sn2 (an3)(n N ) Sn 12 (an1 3)(n2)an3 an1( n2),Q a110an可f (an) f (31)f ($ 3n 3n)f 仔)fG)2 3f(3n) 4f(3n) 1f()4 > 即 f(an1)1f (an) £ 3f(a1)3 f(a1 1)g32f (an 2)323 L311f (a)奈奈 L 7 4 2 故 f (an)2 法1 (1)n rf(a1)

11、 f(a2) L f(an) 2n 7V 即原式成立。1 3六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与f(x)的关系(2)已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是(D )A.x=1B.x=2 C.x=- - D.x=-2 2解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称，故f(2x)关于2x=1对称.注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F (x) =f(2x+1)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1)-f(x)关于 x=1 对称。例15:设f(x)是定义在R上的偶函

12、数，且在(，0)上是增函数，又f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1)。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：f(x)在(0,)上减，而2a2 a 1 0, 3a2 2a 1 0, 所以由 f(2a2 a 1) f (3a2 2a 1)得 2a2 a 1 3a2 2a 1,解得 0 a 3。(设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：f (a 1) ”1)或£信1) f (1 2a)等；也可将定义域作一些 调整)例16:定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)= log2 3且对任意x, y R都有 f(x+y尸 f(x)+

13、f(y).(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k 3x)+f(3x-9x-2) <0对任意xG R恒成立，求 实数k的取值范围.解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x , y R)-令 y=-x ,代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令 x=y=0,代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.即 f(-x)=-f(x)对任意x6R成立，f(x)是奇函数.(2)解:f(3)=log 23>0,即f(3) >f(0),又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数.f(k - 3x

14、)< -f(3x-9x-2)=f(-3 x +9x +2), k -3 <-3x+9x+2, 32x-(1+k) 3x+2>0 对任意 x6R 成立.令 t=3x>0,即 t2-(1+k)t+2 >0对任意t>0恒成立.令f (t) t2(1 k)t 2,其对称轴 x 1_k当 LJk_ 0 即 k1 时，f (0)当空0时, 222 0,符合题意；故：k 1 2d2时,f(k3x) f(3( 93 2) 0对任意x R恒成对任意t 0, f (t)0恒成立解彳导-1 k1 2 2-022(1k)280立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)

15、是奇函数且在x6R上是增函 数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2 对于任意t>0恒成立.对二次函 数f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的解法：分离系数由k-3x<-3x+9x+2得k 3x41Mu 3x与1 2V2 1,要使对x R不等式k 3x21.恒成立，只需 3x3x3x'k<2 2 1七、周期性与对称性问题(由恒等式 简单判断：同号看周期，异号看对称) 编号周 期 性对 称 性1f x a f x a fT=2af x a f x a 7对称轴 x a y f x a 是偶函数；f x a fxa 7对称中心 (a,0 )y f x a

16、是奇函数2fax f b x T= b afax f b x 7对称轴 x -a-b ;fax f b x 7对称中心(ab ,0)；23f(x)= -f(x+a)T=2af(x)= -f(-x+a) -对称中心-a,04fax f b x T=2b afax f b x7对称中心,025f(x)= 士T=2af xf(x)= b-f(-x+a) 一对称中心 |,-b61f(x)=1-,f(x) 0 -f x aT=3a结论：(1)函数图象关于两条直线x=a, x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数,且 T=2|a-b|(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x

17、)是周期函数,且 T=2|a-b|(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数,且 T=4|a-b|(4)应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别：y=f(a+x)与 y=f(b-x)关于 x bya 对称；y=f(a+x)与 y=-f(b-x)关于点(-bya ,0)对称(可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对 称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0,解得的x为对称轴)1 13、函数f(x)是7E乂在R上的奇函数，且f(- x) f(- x),则ff(2) f(3) fM5)_ 解析：法一：因f

18、(x)为奇函数且关于x 1对称，T=2,可借助图象解答，得结果为 0.小结：此方法为数形结合法法二：因f(x)为奇函数且关于x 1对称，类比f(x) sinx联想函数f(x) sin x 2f(1) ff(3)f(4)f(5)0, 小结：此方法为抽象函数具体化法4、已知函数y f(2x 1)是定义在R上的奇函数，函数y g(x)是y f(x)的反函数，若 x & 0则 g(x1)g(x2)()A) 2B) 0C) 1D) -2解析：法一：(函数具体化)设f(x) x 1符合题意，则g(x) x 1则g(x) g%) (Xi 1) (x2 1) (Xi 4) 2 2,法 二：y=f(2x

19、-1)是 R 上的奇 函数 7f(-2x-1)=-f(2x-1), 即f(-2x-1)+f(2x-1)=0,由反函数的关系就可以取Xi= f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以g(x1)+g(x 2)=-2x-1+(2x-1)=-2.函数综合1.奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致(在整个定义域内未必单调)，推广：函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的 远近。解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性，但必须注意定义域。 关注具体函数“抽象化”。举例2设函数f (x) x3

20、 x 若0W W时，f (msin ) f (1 m) 0恒成立，则实数 2m的取值范围是解析：此题不宜将msin及1-m代入函数f(x) x3 x的表达式，得到一个“庞大” 的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，原不等式等价于：f(msin ) f(m 1),又函数f(x)递增，.msin >m-1对0w W恒2成立，分离参变量m (这是求参变量取值范围的通法)得：m<一1一，(0<1- sin1 sinW1,事实上当sin =1时不等式恒成立，即对 m没有限制，所以无需研究)，记g( )=1，则 m<g( )min, 1 sin又

21、.0<1- sin <1, .-.g( )min=1 (当且仅当=0 时等号成立)，m<1。巩固定义在-1 , a上的函数f(x)满足:f(2+x)=f(2-x),且在2,5上递增，方程f(x)=0的一根为4,解不等式f(3+x)>0提高定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=，且f(x)在-3 , -2上是减函 f(x)数，又、是钝角三角形的两锐角，则下列结论中正确的是：A.f(sin )>f(cos )B. f(sin )<f(cos ) C.f(sin )<f(sin ) D. f(cos )<f(cos2 .关注“分段函数”。分段函

22、数的反函数、值域一般分段求，分段函数的奇偶性、 单调性一般要借助于图象。f(x)=maxg(x),h(x)、f(x)=ming(x),h(x) 也是一种分段函数，作出它的图象是研究这类函数的有效途径。3 .研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次方程 根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数性 质、已知函数值域研究定义域等一般用函数图象(作图要尽可能准确) 。4 .求最值的常用方法：单调性：研究函数在给定区间内的单调情况是求函数值 域的最重要也是最根本的方法。基本不等式：满足条件“一正、二定、三相等” 时方可使用，如果“不相等”，常用函数y x -,(a 0)的单调性解决。逆求法：x用y表示x,使关于x的方程有解的y的范围即为值域，常用于求分式函数的值 域，判别式法就是其中的一种。换元法：需要把一个式子看作一个整体即可实施换元， “三角换元”是针对“平 方和 等于1”实施的，目的多为“降元”；求值域时的换元主要是为了 “去根号”。 数形结合。2 n7 n举例1已知函数y x 2x 2(x 1),则其图象的最低点的坐标是()x 1A、(1, 2)B、(1, 2)C、(0, 2)D、不存在解析：求函数图象的最低点的坐标即