漫谈数学的两重性

1、漫谈数学的两重性张小平（发表于数学通报的文章，值得一读。） 摘要：数学在人类文明的进程中发挥了巨大的作用，人类对数学本质的认识随着数学的发展也应该是多视角的。通过对数学多个侧面的考察分析，揭示了数学在不同方面都折射出两重性的特点：数学是演绎的科学，也是归纳的事实；数学的真理性和数学基础中存在着裂缝；数学是工具，也是文化；数学是发现的，也是发明的；数学是抽象的，也是直观的。 关键词：数学 演绎 归纳 真理 文化 发现 发明 抽象 直观 数学在人类社会的历史演化中发挥着巨大的作用，数学是人类思维智慧的结晶，是人类文化和文明的思想瑰宝。数学理论的形成过程，就是人类对科学真理不断探索和追求的过程。巴尔

2、扎克曾经说过，没有数学，我们整个文明大厦将坍塌成碎片。数学作为人类心灵最崇高和独特的作品，永恒矗立在人类理性发展的巅峰之上。 人类对数学本质的认识随着数学的发展与时俱进。关于数学的定义，最为引人注目的有两个，一个是恩格斯在十九世纪给出的：数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。一个是数学的当代定义：数学是关于模式和秩序的科学。前一个直观，后一个抽象，人们对此见仁见智。我们认为，这两个定义的观点是一种继承关系，是数学发展历史积淀的必然结果。前者反映了数学的本源，后者是从数学的抽象过程和抽象结构方面对数学本质特征的阐释，反映了数学发展的当代水平。 美国著名数学家柯朗（CourantR）在数学是

3、什么中揭示了数学具有两重性的特点。他写道：“数学作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理和对完美境界的追求。它的基本要素是逻辑和直觉、分析和推理、一般性和特殊性。虽然不同的流派各自强调数学不同的侧面，然而，正是这些相互对立的侧面之间相互渗透和相互辨析，才构成了数学科学的生命力、实用性和崇高价值。” 因此，对数学的两重性，我们应该有一个深入的了解。 一、数学是演绎的，也是归纳的 一般说来，人们认识客观世界的方式有两种，一是由认识个别的、特殊的事物，进而认识一般的事物，这种认识方法称为归纳法。一是由认识一般的事物，过渡到认识特殊、个别的事物，这种认识方法称为演绎法。认识的深

4、化，是在归纳和演绎的交替过程中实现的。归纳把对许多事物的特殊属性的认识发展为对于一类事物的共同属性的认识。演绎把从归纳得出的一般结论作为依据，去研究其它个别事物的特性。因此，归纳是演绎的基础，而演绎是归纳的深化。 美国的数学教育家波利亚（PólyaG）曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学。另一方面，创造过程中的数学，却像是一门试验性的归纳科学。” 美国数学家冯·诺依曼（Von NeumannJ）认为，数学的本质具有两个侧面，就是数学理论的抽象性、严谨性和形式化与数学发现过程中的直观性、经验性和归纳性。 几何原

5、本是数学发展史上的第一座理论丰碑。欧几里得(Euclidean)将原有的数学知识进行梳理提炼，把理论的起点建立在人们的直觉上，找出少数最直观的原始概念和公设、公理，借助人类思维的先进逻辑推理模式，逐条推演出以后的命题，采用演绎法的体系建构了平面几何理论，从而确立了公理化思想，确立了演绎推理的范式。人们对数学演绎体系的推崇，表达了对科学理论方法的绝对信服。数学从此步入发展的坦途。公理体系使得数学具有鲜明的学科特点，清晰的逻辑起点，明确的概念，正确的判断。是演绎推理使得数学内容条理清晰，基础敦实，结论正确，因而显示出巨大的力量。演绎可以引导归纳，当演绎推理出现阻碍时，就是向归纳提出问题，促使归纳超

6、越模糊、零散和残缺。 然而，由逻辑演绎构筑起的理论体系制约着思维的自由，因为体系里面多是同语反复，只能环流，不能前进。这就是欧式几何理论成为长期制约非欧几何产生的藩篱的重要原因。由此看出，逻辑演绎的主要功能不是发现新的结论，而是架构基本概念、基本运算和基本命题之间的必然联系。逻辑演绎擅长的是检验这些联系之间的途径是否有效，却难以确定通往正确方向的途径，因为确定通往正确方向的途径是需要做出选择的，而这恰恰是归纳法之所长。 用公理化思想呈现出的数学理论，实际上也不是逻辑演绎的一统天下，其中的原始概念就是归纳的结果。甚至逻辑推理本身也不能说就完全是演绎的，它的发展路径是需要选择的，这只能靠归纳法来完

7、成。如果没有归纳法的参与，演绎法将寸步难行。另外，数学中的公理是不能用演绎法证明的，它是基于数学家的观念归纳出来的。演绎法所用的形式逻辑也是不能用演绎法证明的，它是基于人类思维经验的积淀和哲学信念的选择。由此看来，演绎法的过程须臾也离不开归纳，更不要说数学里的发现和创造了。 费尔马大定理是在1637年由法国数学家费尔马(Pierre de Fermat)提出的一个猜想。在猜想提出以后的三百多年里，一批天才的数学家都在研究它，尽管他们都是演绎推理的大师，也认识到要彻底解决这个难题是需要特殊理论工具的，但是苦于找不到这个工具，或者这个工具当时就没有诞生，所有尝试去证明它的努力都付诸东流。英国数学家

8、安德鲁·怀尔斯(Andrew J. Wiles)自小就立志要证明费尔马大定理。恰恰是他认识到谷山志村猜想与费尔马大定理之间的联系是突破这个难题的关键，而且选择了他非常熟悉的有理数域上的椭圆曲线理论作为工具， 在1994年攻克了这个数学难题。他说“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中饮茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经揭示了谷山-志村猜想与费尔马大定理之间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费尔马大定理，我必须做的一切就是证明谷山志村猜想。”由此可见，怀尔斯找到实现他童年梦想的道路首先应该取决于归纳法。 我们

9、在完成对一个数学问题的证明和计算之前，往往是通过归纳推理建立猜想，探究证明的途径和计算的程序，形成较为成熟的思路，而后才用演绎法把它呈现出来。归纳法通过试验、观察和联想，总能得到有别于逻辑的判断，因此，归纳法成为人们探索和发现真理的主要工具。要创造新的数学领域，就要有新的观念，开拓新的领域，创立新的方法，提出新的概念。在这些方面，演绎法都是望尘莫及的，试验、类比、观察、推广、概括、检验等归纳方法却起着不可替代的作用。坐标系的建立，集合论的发现，微积分的确立等几乎所有数学里程碑的矗立，无一不是归纳的结果。如此看来，归纳法是数学理论的助产士，它不仅不会影响数学的严谨性，而且还增强了人们对数学严谨性

10、的信心，使人们对数学的无矛盾性深信不疑。 归纳是演绎的基础，演绎是归纳的升华。归纳与演绎是人类认识世界的两个基本方法，他们相互影响，相互补充，相得益彰。 例如，在证明恒等式=，可以将的三个特殊值代入进行检验，如果等号都成立，就能肯定它是恒等式。这是归纳法。那么为什么只用三个特殊值就能证明这个恒等式呢？这就需要用演绎法证明，因为二次方程最多只有两个根。在这个具体问题上，演绎法支持了归纳法，演绎法证明了归纳法的有效性。中国古代的数学不可谓不发达，但是却只是停留在归纳的层次上，没有出现像欧几里德几何原本那样严密逻辑演绎的著作。历史告诉我们，没有逻辑演绎是可以有数学的，没有归纳法就一定不会有数学。但是

11、没有逻辑演绎不会有成熟的数学。中国古代的数学没有形成理论系统，就是因为中国没有逻辑演绎的传统。在数学发展的历史上，应该说归纳法是居于主导地位的，演绎则居于主体地位，它们共同组成了数学腾飞的双翼。中学数学作为数学的基础，当然兼具归纳和演绎的特征，我们在数学教学中既要培养学生演绎思维的缜密，又要培养学生观察、归纳、类比、联想、推广、猜想、实验等合情推理的思维习惯，在教证明之前，先教好猜想。在数学教材中，对知识的呈现形式大多都采用演绎的方式。我们的教师在做教学设计时，要根据学生的认知特点，大多情况下，都有必要将数学知识的呈现形式改造成归纳的方式，以利于激发学生的学习兴趣和创新能力。数学教学的功夫要用

12、在研究归纳法的教学上，当然，这样做决不能以淡化演绎法的教学做交换。 二、数学的真理性和数学基础中的裂缝 数学作为一门逻辑严密的科学，虽然都认为它是数学家心智自由的创造物，但是还没有任何一位严肃的自然科学家提出，数学的真理性必须经过实践的检验后，才能应用于其它科学领域。这不仅仅是因为数学植根于客观世界，深刻揭示了客观世界的必然规律，极大地推动了科学技术的进步。还因为数学理论是建立在逻辑的基础之上，根据逻辑规则进行演绎推理，形成了抽象的形式。逻辑是人类公认的对客观世界进行思维的正确方法和理论，数学中所反映的抽象结构、秩序和变化，是客观世界里最基本的概念和最本质的关系。所以，数学的本质具备了客观性和

13、真理性。 但是，数学自身并没有孤芳自赏，数学从来不忌讳自身的瑕疵。二十世纪初，巍然屹立的数学大厦的基础陆续发现了裂缝，最著名的就是罗素（Russell）悖论。于是，数学家们开始关注和审视数学基础的问题。 德国数学家康托（Cantor）在十九世纪下半叶创立了集合论，初期曾经遭到一些数学家的诘难。但是也有一些数学家们发现，从自然数和康托集合论出发，可能建立起数学理论的大厦。在1900年的国际数学家大会上，法国数学家庞加莱(Jules Henri Poincaré)就宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的逻辑严密性已经达到了”。 德国数学家希尔伯特(Dav

14、id Hilbert）一直坚信“人类理性提出的问题，人类的理性一定能够回答”的理念，他在大会上提出了二十三个数学问题，其中第二个就是关于确立数学体系的协调性，即无矛盾性。然而，仅仅过了三年，英国数学家罗素就在集合论里发现了漏洞，提出了罗素悖论。所有集合可以分为两类：第一类的集合以其自身为元素，即P=AAA，第二类的集合不以自身为元素，Q=AAA。显然PQ=。那么，集合Q作为元素，应该属于P 呢？还是 属于Q呢？ 若QP，那么根据第一类集合的定义，必有QQ，引出矛盾。若QQ，根据第二类集合的定义，QQ，还是矛盾。 罗素悖论被通俗地称为理发师悖论。某个城市里有一位理发师，他为且仅为城市里所有不给自

15、己刮脸的人刮脸。那么，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸。如果他给自己刮脸呢，他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 罗素悖论所涉及的只是集合论中最基本的概念和关系，简洁明了，却使集合论产生了悖论，这极大地震动了数学界。 这时，希尔伯特经过思考，提出了一个元数学方案，希望能构造一个有关自然数的有限公理系统，从若干公理出发，用逻辑演绎的方法，经过有限步骤将系统形式化，以克服悖论给数学带来的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法真理性的怀疑。继而建立起实数和分析的协调性方案，最后构建整个形式主义的数学体系。 这样就要求，数学

16、理论系统要满足独立性，还要满足完备性和协调性。独立性是指系统里的公理之间不能互相推出；完备性是指在系统里，一个命题一定是可以证明或者证伪的；协调性是指系统里不能存在矛盾。 希尔伯特的想法鼓舞了奥地利数学家哥德尔 (K.Gödel）。哥德尔 1930年获得博士学位之后，为了取得在大学的授课资格，必须要做一个数学研究课题，他就选择了研究希尔伯特的这个问题。他开始完全是沿着希尔伯特制定的方案路线，首先考虑建立自然数公理系统的协调性，然后再建立实数公理系统的协调性。然而，历史却开了一个玩笑，哥德尔得到的结论完全出乎意外。他在1931年1月发表了论数学原理及有关系统中的形式不可判定命题（I）一

17、文，向世人宣告了两个令人惊奇的定理，一举粉碎了希尔伯特的美丽构想，证明了自然数公理系统的协调性不能用有限步骤证明。 哥德尔第一不完备定理：任何包含了自然数的数学形式系统，如果是协调的，就是不完备的。 即一个没有矛盾的数学系统里面必定存在不可判定真假的命题。数学真理原来并不总是可以证明的。希尔伯特希望建立完备性数学系统的愿望落空了。 哥德尔第二不完备定理：任何包含了自然数的数学形式系统，如果是协调的，其协调性在这个系统内是不可证明的。 即一个数学系统里的无矛盾性不能用它自身的理论来证明。希尔伯特希望建立协调性数学系统的愿望也落空了。 这两个定理实际上表明，希尔伯特要构建的数学公理系统要么是不完备

18、的，要么是不协调的。它明白无误地向我们昭示了数学演绎推理方法的局限性。法国数学家外尔(Hermann Weyl)由此发出了幽默的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是协调的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种协调性。” 数学能够发现和正视自身的局限性，这恰恰表明了数学已经发展到了非常成熟的阶段。不过，要说明的是，不能证明自然数公理系统的协调性，并不是说这个系统就不是协调的，在一个更大的系统里就能证明它。事实上，它就被德国数学家根茨（G.Gentaen）在1936年使用蕴涵着非演绎逻辑的超限归纳法所证明。只是根茨用以证明自然数公理系统协调性的系统，却又不能在它自身的系统里得到证明。 建立一个协调

19、性的数学公理系统，是数学家们的美好愿望。策梅洛1904年发表的论文给出了选择公理（也称为策梅洛公理），他在1908年建立了第一个集合论公理系统，给出了外延、空集合、并集合、幂集合、分离、无穷与选择等公理，A.A.弗伦克尔和A.T.斯科朗又作了改进，增加了替换公理，冯·诺伊曼进一步提出了正则公理，后经策梅洛的总结构成了著名的集合论公理系统ZF，形成了公理集合论的主要基础。 1924年，波兰数学家巴拿赫和塔斯基运用选择公理证明了一个分球怪论：将一个三维实心球分成有限部分，然后通过旋转和平移重新组合，可以得到两个体积和原来相同的球。 如此违反常识的数学结论无疑增加了人们对选择公理的排斥。人

20、们希望用ZF系统里的其它公理证明选择公理是错的，从而把选择公理排除出去。可是，1940年哥德尔却出人意料地证明，ZF系统里的其它公理和选择公理并不矛盾，是彼此相容的。承认选择公理，就会出现分球怪论。而不承认选择公理，情况会更糟糕，平均每年会出现一个怪定理，例如连续函数会变得不连续，一个空间会有两个维数，不可测集变成了可测集等等。一向被誉为完美无缺的数学大厦竟存在着如此明显的矛盾。由此不难知道，人类思维之谜仅靠数学体系自身的逻辑是无法自圆其说的。 恰恰是数学家们指出，数学的理论体系并不就是绝对真理。真理是不惧怕批评和质疑的，任何拒绝批评和质疑的理论都是伪善的。数学竟然可以在一片莺歌燕舞的氛围里，

21、高举起自我批判的大旗，审视自身的缺陷，一旦发现了悖论，并不回避，立刻公布。这该是一种何等宽阔的理论胸襟和高贵的理论品质啊！由于数学自己都在质疑自己的逻辑基础，在数学教学实践中，我们就完全没有必要拘泥于数学教学形态的逻辑严密性，尤其是现在数学教材的编写，已经淡化了逻辑线索，每个教学模块之间的逻辑联系也是疏散的。在教学设计中，不要刻意渲染数学教学形态的逻辑严密性，重点要放在体现数学思维的教育价值上，关注情感态度价值观方面的教学，提高学生的数学素养并不取决于数学逻辑的严密性。数学教学的真谛是要体现出让学生经历感受、体验和思考的过程，通过自己的观察、实验、归纳、类比、概括等活动，建立起对数学的理解力，

22、经历“数学化”和“再创造”的数学思维过程，从根本上掌握数学的计算和证明方法。 三、数学是工具，也是文化 数学是科学的仆人，是打开科学之门的钥匙。这是说数学是一种技术，是一个工具。数学经过理论的抽象和概括，形成了独特的思想方法，在对人类生产生活实践和科学技术等方面进行定性描述和定量刻画中，数学技术显示出了巨大的威力，有着最为广泛的用途。普及数学知识，利用和发展数学技术，成为当今世界各个科学领域的一个主题。 早在1959年5月，数学大师华罗庚在大哉数学之为用的文章中就精辟地提到数学的各种应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。

23、宇宙空间存在许多有趣的问题，天文科学家利用数学模拟研究太阳和其它恒星的消亡过程。数学模型已经证实，太阳系在相当长的时间内是稳定的，至少在10亿年内不会消亡。太阳消亡的结果，是演化成一颗白矮星。当代最伟大的物理学家霍金(Stephen Hawking)用数学研究宇宙的黑洞现象，也取得了举世瞩目的成就。海王星是距太阳系最远的行星之一，它是在数学计算的基础上被发现的。1845年，英国数学家亚当斯经过计算，分析了天王星运动轨道没有按照数学规律分布，进而推断这是由于其它行星的引力而产生的。他把这个结果通报给了英国皇家天文台。天文台却将其束之高阁。 1846年，法国数学家勒威耶也计算出了同样结果，而且比较

24、精确地计算出了这颗行星的位置。德国天文台的伽勒博士按照他的计算结果，很快就找到了这颗新的行星海王星。数学在军事方面大有用武之地，第一次世界大战被称为化学战（弹药），第二次世界大战被称为物理战（原子弹），而海湾战争被称为数学战。 1990年海湾战争中，伊拉克军队点燃了科威特的数百口油井。这早在美军的预料之中，战争之前就让美国的太平洋-赛拉研究咨询公司利用数学方法进行研究。他们为此建立了模拟烟雾流体的数学模型，利用NS方程计算后得出结论：油气燃烧的烟雾将导致重大的污染，但是，还不至于对地球的生态和中东的经济系统造成损失。这就促成了美军下定了用武力打击伊拉克的决心。在研制核武器过程中，美国

25、研制MZ导弹的发射试验从原来的36次减少为25次，可靠性却从72提高到93。我国研制原子弹，试验次数仅为西方的110，从原子弹到氢弹只用了两年零八个月，重要原因之一就是有许多优秀数学家参加了工作。诺贝尔奖是不设数学奖的，但是，在诺贝尔奖获得者中有许多是数学家。发明X射线计算机层析摄影仪（简称CT）是二十世纪医学界的奇迹。美国数学家科马克（AMCormark）利用数学中的拉东积分变换解决了计算机断层扫描的核心理论问题，发现了人体不同组织对X射线吸收量的数学公式。英国的希斯菲尔德（CNHounsfield）根据这个原理制作出了第一台CT机。他们共同获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖。豪普特曼（H

26、Hauptman）也是一位美国数学家，他和卡尔勒（JKarle）在从事X 射线晶体学中的相角问题和矩阵理论的研究中，用统计数学方法分析晶体的衍射数据，经过大量的计算，推导出了衍射线相角的关系式，直接从衍射强度的统计中得到各衍射线相角的信息，建立了利用X 射线衍射测定晶体结构的数学理论和直接方法，一举解决了困惑了化学家 四十多年的难题。他们共同获得了1985年的诺贝尔化学奖。康脱洛维奇（Leonid Vitaliyevich Kantorovich）是前苏联的著名数学家，他以线性规划理论研究生产中的资源最优配置问题。怎样利用有限的资源取得最大的效益，它可以抽象为一个约束极值问题。康脱洛维奇发现可

27、以用Lagrange乘子法来处理，从而提出了一个新的经济学概念。他获得了1971年诺贝尔经济学奖。纳什(John Forbes Nash)是美国普林斯顿大学的数学家，他在对“非合作博弈均衡分析和博弈论”的研究中，用数学方法区分了合作对策和非合作对策，提出了非合作对策的所谓“纳什均衡”的概念，极大地改变了整个经济学的面貌。他获得了1994年诺贝尔经济学奖。1959年美籍法国数学家德布洛发表价格理论，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述，使公理化方法成为现代经济学研究的基本方法。一般经济均衡价格的存在问题是经济学界长期关注但悬而未决的问题。直到1954年，德布洛和另一位美国经济学家阿罗才第一次

28、利用凸集理论、不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。阿罗和德布洛先后获得1972年和1983年度诺贝尔经济学奖。有些数学家也有轻视数学工具性的倾向。哈代（ GHHardy）是英国著名的数学家，他推崇纯粹的数学，认为数学是永恒的艺术，对数学应用的工具性不屑一顾。他尤其认为数论和非欧几何的理论毫无实际用处。但是，哈代生前亲眼看到了质能方程在原子弹爆炸中的应用，看到了用数论理论编制的密码控制着导弹的飞行。1908年，他发表的一篇论文，就解决了群体遗传学中的一个实际问题。20世纪初，有些生物学家认为，在一个大的随机交配的群体中，某种遗传病在遗传过程中，会使患者越来越多。哈代利

29、用概率理论，证明了在无突变、无选择、无迁移、无遗传漂变的情况下，患者的分布是平稳的，不会随时间的变化而变化。差不多同时，一位德国医生温伯格（W. Weinberg）也得到了同样的结论。后来被称为哈代温伯格平衡定律。数学是科学的皇冠，这是说数学是一种文化。数学表现出的技术层面和应用方面的功能，那只是华丽的表象，数学理论的深度更多的是体现在文化和人文的维度上。唯有文化才能将数学与生命紧密联系。数学文化传达的是一种人文关怀，数学文化体现的是一种人类的理性精神，敢于质疑批判和善于探索求真。数学是人类智慧的创造活动，它对人的行为观念、精神心灵和价值观念都具有重大的影响，数学发生发展过程中所积淀的数学思维

30、方式、数学思想和数学理性品格，都成为人类文明发展史上优秀的文化遗产。数学的文化价值丰富多彩，数学对于客观事物的研究，是通过构建独立的模式，因而它有重要的思维训练功能，对于创造性思维的发展尤具重要意义。欧拉说过，数学是思维的体操， 数学是思维的科学，数学能够启迪人的智慧，发展人的思维。其他学科在培养思维的深度、广度和系统性等方面都是不能与数学相提并论的。数学是理性精神的圣地，数学思维高扬人类理性精神的旗帜，引领科学历史发展的方向。古希腊数学家开人类理性之先河，学习数学不再仅仅是现世生活的需要，而更重要的是为了陶冶情操、追求真理和训练心智。他们从数学研究中提炼出概括和简化的自然科学原则，创立了科学

31、思维的方式。柏拉图坚持让他的学生们研究几何学，并不是为了发掘几何学的实际应用价值，而是要发展人们的抽象思维能力，用于对人生和政治问题的哲学思考，从而奠定了西方哲学的理论基础。毕达哥拉斯研究数学的理念是世界是数组成的，亚里士多德直接将数学应用于研究具体事物的真实性上，从而奠定了物质科学的基础。数学具有明确的向善价值取向，在学习探究数学的过程中，数学醇厚的文化内涵可以净化人的心灵，让人执着追求真理，理性坚韧如山，务实学习知识，谦虚严谨似水。质疑与反思，创新与开拓，完善着人的高贵气质和品格。阿基米德面对侵略者的屠刀，研究数学面不改色心不跳。鲍耶面对数学权威的嘲笑和不屑，坚持自己创立的非欧几何理论不动

32、摇。数学既然兼有工具性和文化性的特征，在教学中我们就要将它们统一起来。如果数学课堂离开了数学文化的润泽，离开了数学精神的指引，呈现在学生面前的数学知识一定是沉寂的，毫无生气的。所以，课堂教学中必须全面体现数学斑斓的色彩和灵动的韵味，既要注重让学生进行形式训练，掌握知识和发展能力，熟练地模仿和练习，又要在数学课堂上传播数学文化，让学生去欣赏和领略数学撼人心魄的雄姿，让学生喜欢上美丽的数字、奇异的符号、简洁的公式和纯净的定理，感受数学丰富的方法、深邃的思想和智慧的理性光芒。 四、数学是发现的，也是发明的 所谓发现是指人们揭示出了客观事物原来就存在的规律。所谓发明是指人们创造出了客观上原来不存在的事

33、物。在数学发展史上，理性得去揭示蕴藏的数学规律可以称之为发现。独辟蹊径地去创造一种数学模式可以称之为发明。我们自然要考虑这样一个问题，数学中的概念、命题、公式、计算法则和证明方法以及各种数学理论体系，是发现的还是发明的? 这个问题并不容易回答的。宇宙上即使没有出现人类，世界上仍然存在着数学，勾股定理和费马大定理仍然成立，只是没有外显的表达形式而已。数学的存在是不以人的意识为转移的，数学好像只能被发现。另一方面，如果没有人类的思维活动，世界上就不会有现在这样的数学形态。尤其是现代数学的一些前沿学科，并不是建立在对客观世界的直接概括和抽象上，比如，非欧几何和群论，都是先提出一些最基本的概念和公理，

34、然后用逻辑演绎的方法推导出理论体系。假如公理增减一条或者更改一条，理论体系就会面目全非。这样看来，数学又好像是被发明的。还有一种现象，原来发明的数学形式，最后却变成了发现的数学形式，比如，黎曼几何原属于非欧几何的一个分支，后来被爱因斯坦用于广义相对论的研究，黎曼几何立刻就有了对应的客观模型，原来现代物理规律里就蕴藏着这个数学理论。实际上，数学既可以来自于对客观世界的概括和抽象，也可以来自于人类思维的心智创造。 从数学发展史来看，人们对数学的认识是与时俱进的。数学源于分配物品、丈量土地和计算面积、容积等生产生活实践，这个过程中产生的数学概念和数学研究的对象自然被认为是发现的。实际上，在 19世纪

35、以前，人们普遍认为数学凸显的是经验科学的特征，数学与客观世界之间的联系千丝万缕。19世纪中叶以后，随着非欧几何、抽象代数和集合论等数学学科的产生，数学向抽象、多元和高维发展，数学与客观世界之间的联系渐行渐远，显露出了演绎科学的特征。尤其是法国布尔巴基学派将其发挥到了登峰造极的地步。1939年，他们在法国巴黎出版了一套数学原理，这是一部关于现代数学博大精深的著作。这部著作将数学看成是关于结构的科学，数学的各个分支都是建立在代数结构、序结构和拓扑结构三种母结构之上的，不借助于任何直观，从集合论出发，行文逻辑严密，为数学建构起了清新的公理化的体系。这时，演绎推理的数学占据了数学研究的制高点，人们对数

36、学的认识更加深入，它研究的是量的关系和抽象的结构，是关于模式的科学。数学是发明的观点露出了端倪，出现在了灯火阑珊处。数学被认为是人类思维的自由创造物。 这样看来，数学的初期被认为是直接反映了客观世界中的数量关系和空间形式，是被发现的。古希腊数学家阿基米德（Archimedes）认为，数学关系的客观存在与人类能否解释它们无关。柏拉图主义认为，数学研究的对象都是客观存在的，数学家提出的概念不是创造，只是对客观存在的描述。而现代数学则被认为是人类纯思维的产物，是被发明的。当代数学直觉主义学派就特别强调，数学结构是人类主观创造的。他们的领袖克罗内克（Kronecker）认为，除了自然数是上帝创造出来的

37、之外，数学中的一切都是人类心灵的创造物。 其实，数学作为一个统一体，初期的数学和当代的数学只有层次上的不同，作为反映关系结构的模式是没有本质区别的。圆周率和对数肯定是被发现的，但是，发现圆周率和对数的过程不能不说是一个发明的过程。 实际上，数学作为人类诞生以来经验的积累，它的不同分支的理论都是从具有实际背景中经过抽象而形成的。纯心智的产物也具有形式上的客观性，数学理论的主要特征是创造性思维的产物，理论体系一旦形成，不仅是形式上的一种客观存在，在内容上的客观性也是不容否认的。在数学创立过程中，发明与发现是水乳交融，不分彼此的。数学理论的阐释和形式化过程，偏重于发明。揭示数学理论蕴涵的客观性及其关

38、系，则偏重于发现。 微积分是由牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leihniz）共同创立的。微积分的基本原理是客观存在的一种关系结构，不会是任何一位数学家精巧的有意设计。因此，可以说是他们发现了微积分。但是牛顿和莱布尼兹创立微积分的方式又是不同的，他们分别从运动学的瞬时速度和曲线的斜率引入了微积分。在创立过程中，他们还引进了不同的运算符号和语言体系，这明显又带有发明的意味。是不是也可以这样说，数学的本质规律是人们的一种发现，数学的表达方式是人们的一种发明。 发现的过程是发明，发明的结果是发现。 数学教学是对每个学生个体的教学，要让每个个体在学习数学的过程中，有意启发他们重复人类创立数学理论的过程

39、，掌握数学知识体系的途径不外乎发现和发明，不要偏废。让学生发现数学，老师只凭灌输不是好办法，要让他们有一个亲身体验发现的过程。更为重要的是让学生去发明数学，对每个模块的教学，能否尝试让学生去架构这个局部的数学体系，包括研究从何入手，研究怎样深入，用什么样的语言表达等等，都可以让学生去体验一下。 五、数学是抽象的，也是直观的 数学源自于客观世界，当它确定了原始概念和公理，就按照逻辑的法则去推理和演绎。理论体系形成后，它蜕蛹化蝶，不露一丝客观世界的痕迹，因此，数学成为运用逻辑演绎方式探究客观规律的唯一学科，形式化使得数学凸显出抽象性的特点，数学也因此成为研究一般抽象模式的理论。 数学是研究事物的量

40、和形的科学。事物如果具有相同的量和形，就可以用数学方法将其抽象成同一个模式去研究。数学概念正是从众多事物的共同属性中抽象出来的，因而数学必然是抽象的。随着数学概念的不断扩充和产生，还要继续对这些数学对象继续进行简化、整理和概括，进一步地进行抽象。数学的抽象过程，就是远离纷繁粗糙的客观世界和具体经验的过程。抽象往往使人们意想不到数学的客观情景，更难让人去体验或者感知数学的理论结构。 另一方面，数学既然源自于客观世界，最初的基本概念还是比较直观的。随着这些概念的进一步抽象，与客观世界的关系可能不再清晰，但是，也不可能不显露出直观的特质。数学的直观就是概念和证明过程未经充分地概括和逻辑推理就外显的数学本质。既然数学直观必然趋向于抽象，那么数学抽象中就一定蕴涵着直观。直观是抽象的基础，抽象是直观的升华。数学一定是直观和抽象的统一体。 非欧几何的理论全然是按照几何原本的逻辑结构建立的，它的抽象性大大超出人们的想象，呈现出的“直观”又完全是对欧式空间直观的颠覆，这在当时可以说是一种另类的抽象。为此，非欧几何的创立者们经历了炼狱般的煎熬。高斯惧怕倘若发表论文，一世英名将毁于一