2020-2021中考数学压轴题专题相似的经典综合题含答案解析

1、2020-2021中考数学压轴题专题相似的经典综合题含答案解析一、相似1 .设C为线段AB的中点，四边形 BCDE是以BC为一边的正方形.以 B为圆心，BD长为 半径的。B与AB相交于F点，延长 EB交。B于G点，连接 DG交于AB于Q点，连接(1) AD是。B的切线；(2) AD=AQ;(3) Bb=CF?EG【答案】(1)证明：连接BD,四边形BCDE是正方形，/ DBA=45 ； / DCB=90，即 DC± AB,.C为AB的中点，.CD是线段AB的垂直平分线，AD=BD,/ DAB=/ DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD, . BD为半径，.AD是。B的切线

2、(2)证明:BD=BG,/ BDG=Z G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,/ G=Z CDG=Z BDG= U / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 ,/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)证明：连接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / DBF=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF与 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄

3、E=90 ； RtA DCM RtA GED,cf a.即跖,又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)连接BD,要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证 明Z ADB=劣即可。 由正方形的性质易得 BC=CD, /DCB=/ DCA=', /DBC=/ CDB=I5' ,根据点 C为AB的中点可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=5'，贝U / / ADB=% ,问题得证；(2)要证 AQ=AD,需证/AQD=/ADQ。由题意易得 / AQD=:招"-/G , /ADQ=2- ZBDG,根据等边对等角可得/G=/BDG,由等角的

4、余角相等可得/ AQD=/ADQ,所以AQ=AD;(3)要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分别在三角形 DCF和三角形 GED中，连接 DF,用有两 对角对应相等的两个三角形相似即可得证。2.如图，AB是半圆 O的直径，AB= 2,射线 AM、BN为半圆 O的切线.在AM上取一点 D,连接BD交半圆于点C,连接AC过。点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点 F过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点 Q.(1)若AB4 4BFO,求 BQ 的长；(2)求证：FQ=BQ【答案】(1)解：/加0ABFC

5、 ,陛曲均为半圆切线, 炽一.；”.连接 ，则以 0A 必=璘, 四边形如应为菱形， . DQ / 朋, 以戈州均为半圆切线，DA II 旗,，四边形,!成为平行四边形.刖 AD - j| ,(2)证明：易得I丹被s ABF6 ,BF AB房=.一/凡是半圆的切线,.过&点作0A上4 由 J " 5则在献中，口6 - Rd +乐，. ts出按=能网户:A , 7BQ =解得： M ,211FQ = BF -初心业.卜愣=周【解析】【分析】(1)连接OP由AAB里ABFOT彳# AD=OB,由切线长定理可得 AD=DP, 于是易得 OP=OA=DA=DP根据菱形的判定可得四边形

6、 DAOP为菱形，则可得 DQ/AB,易 得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；BF AA(2)过Q点作QK，AM于点K,由已知易证得 A ADs a BFQ可得比例式.一不，可得 BF与AD的关系，由切线长定理可得 AD=DPQB=QP ,解直角三角形 DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据 FQ=BF-BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。3.(1)问题发现如图1,四边形 ABCD为矩形，AB=a, BC=b，点P在矩形 ABCD的对角线 AC上，RtA PEF的两条直角边 PE, PF分别交BC, DC于点M, N,当PM ± BC, PNLCD时，%=

7、(用含a, b的代数式表示).(2)拓展探究乃1在(1)中，固定点P,使4PEF绕点P旋转，如图2,阳的大小有无变化？请仅就图 2的 情形给出证明.(3)问题解决如图3,四边形 ABCD为正方形，AB=BC=a点P在对角线 AC上，M, N分别在 BC, CD上，PMXPN,当AP=nPC时，(n是正实数)，直接写出四边形PMCN的面积是(用含n, a的代数式表示)d【答案】(1) b(2)解：如图 3,过 P作 PG±BC于 G,作 PHXCDT H,E酰贝U / PGM=/ PHN=90 , / GPH=90PEF 中，/FPE=90/ GPM=Z HPN.PGMAPHNPM P

8、G而方由 PG/ AB, PH/ AD 可得,. AB=a, BC=bPG Ph PG a.因，即阳 b- 二一川九故答案为1(3)小，户【解析】【解答解：(1)四边形ABCD是矩形, ABXBC, .PMXBC, .PMCAABCCM BC b即 AB a四边形ABCD是矩形，/ BCD=90 ；. PMXBC, PN± CD,/ PMC=Z PNC=90 =Z BCD,四边形CNPM是矩形，.CM=PN,"a二一即 b故答案为z(3 ) PMXBC, ABXBC.PMCAABCPM 7当AP=nPC时（n是正实数）， 万一二J，PM= a 1 ? / （4:，四边形PM

9、CN的面积=N 1，",W故答案为：（n */.CM BC d【分析】（1）由题意易得 PMCsABC,可得比例式PM AB b,由矩形的性质可得CM=PN,则结论可得证；（2）过 P作PG± BC于G,作PHLCD于H,由辅助线和已知条件易得 PGMsPHN,PM PGPG a则得比例式 再一瓦 由（1）可得比例式 一而一兀 即比值不变；掰-:口C（3）由（2）的方法可得n J / ,则四边形 PMCN的面积="4.如图，在平面直角坐标系中， 。为原点，四边形 ABCD是矩形，点 A、C的坐标分别是 A （0,2）和C （2:0）,点D是对角线 AC上一动点（不

10、与 A、C重合），连结 BD,作， 交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形 BDEF.图（1）图（2）（1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点 D,使得 DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证：加 3 ；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用 的结论），并求 出y的最小值【答案】仆；3虫(2)解：存在，理由如下: .OA=2,OC=2A. tan/ACO/ ACO=30 ,Z ACB=60 °如图(1)中，当 E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC / DCE土 EDC=3

11、0,°/ DBC=ZBCD=60,°.DBC是等边三角形, . DC=BC=Z在 RtA AOC 中， / ACO=30 ； OA=2, .AC=2AO=4,.AD=AC-CD=4-2=2, 当AD=2时，ADEC是等腰三角形，如图(2)中，当 E在 OC的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有 CD=CE/ DBC=Z DEC=Z CDE=15,°/ ABD=Z ADB=75 :.AB=AD=2'-',综上所述，满足条件的 AD的值为2或20(3)如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。. A(0.2)和 C(23 ,0), 直线AC的解析

12、式为y=-33x+2,设 D (a, -33a+2),DN=-33a+2,BM=23-a / BDE=90 , ° / BDM+Z NDE=90 ,Z BDM+Z DBM=90 :/ DBM=Z EDN, / BMD=Z DNE=90 : .BMDADNE,1 . DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图（2）中，作DHI± AB于HoH 3图在 RtAADH 中，,. AD=x, ZDAH=ZACO=30,°2 .DH=12AD=12x, AH=AD2-DH2=32x,.BH=23-32x,在 RtBDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-3

13、2x2,3 . DE=33BD=3312x2+23-32x2,4 .矩形 BDEF的面积为 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y=33x2-23x+43,y=33x-32+35 .33>0,，x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1) 四边形AOCB是矩形，BC=OA=2, OC=AB为行,/ BCO=Z BAO=90 ;.B (3 , 2)【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出 BC AB的长，即可求解。(2)根据点 A、C的坐标，求出/ACO, /ACB的度数，分两种情况讨论： 如图(1) 中，当E在线段 CO上时， DEC是等腰三角形，观察图象可

14、知，只有ED=EC如图(2)中，当 E在 OC的延长线上时， DCE是等腰三角形，只有 CD=CE, /DBC=/ DEC=Z CDE=15，分另1J求出 AD的长，即可求解。(3) 如图，过点D作MNLAB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设 D (a,-3a+2),分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明 BMDADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DHXAB于H。设AD=x,用含x的代数式分别表示出 DH、BH的长，利用勾股 定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出 y与x的函数关系式，求出顶点坐 标，即可求

15、解。5.已知如图1,抛物线y=-5x2 - x+3与x轴交于A和B两点(点 A在点B的左侧)， 与y轴相交于点 C,点D的坐标是(0, - 1),连接BC AC(2)如图2,若在直线 AC上方的抛物线上有一点 F,当4ADF的面积最大时，有一线段MN= $ (点M在点N的左侧)在直线 BD上移动，首尾顺次连接点 A、M、N、F构成四 边形AMNF,请求出四边形 AMNF的周长最小时点 N的横坐标；(3)如图 3,将4DBC绕点 D逆时针旋转 a °(0V a之180°),记旋转中的 DBC为 DB' C'若直线B'直线AC交于点P,直线B'

16、C直线DC交于点Q,当4CPQ是等腰 三角形时，求CP的值.【答案】(1)解：:抛物线y=-占x2- J x+3与x轴交于A和B两点,0=一J - JX2 dJJ占x=2 或 x= - 4,A (-4, 0) , B (2, 0),- D (0, T),i直线AD解析式为y=-4x- 1(2)解：如图1,过点F作FHI± x轴，交AD于H,占 m2- -i m+3) , H ( m,|jJ i 13i.,. FH=- 5 m2- 4 m+3 - (- / mT) =- 8 m2 - J m+4,Sa adf=Sa afh+Sa dfh= 一 FH X 帕 xa|=2FH=2 (一百

17、m2 士 m+4) =- i m2m+8= / ( m+j) 2+ J , 2当m=- 3时，Sadf最大， E F (- J ,如图2,作点A关于直线BD的对称点Ai ,把Ai沿平行直线BD方向平移到 A ,且AlA2=退,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移得点M,此时四边形 AMNF的周长最小.AV. OB=2, OD=1, /tanZ OBD=)，.AB=6,在 RtABK 中，AH= 1 , AiH=:;.oh=oa- ah=824Ai (- 5, - 5 ),过 A2 作 A2PL A2H, / AiA2P=Z ABK, - AiA2= « , A2P=

18、2, AiP=1,A2 ( - 5 , - 5 )E 76F (- J, 3 )107 目，A2F的解析式为y= - x-百，,. B (2, 0) , D (0, T),直线BD解析式为y=- R x- 1， 联立得，x=-3, .N点的横坐标为:(3)解：.C (0, 3) , B (2, 0) , D (0, 1) .CD=4, BC= ", OB=2,BC边上的高为DH,1 1根据等面积法得，:BOX DH= CDX OBpt) X OB 4X2.DH= BC=上了，- A (-4, 0) , O (0, 3),.OA=4, OO=3,0A4 .tanZ AOD= 0c J

19、,当PC=PQ时，简图如图1,过点P作PG± CD,过点D作DHPQ,9 5x/7j a= 339 ?io a久73PC=5a= 339 ； 当PC=CQ时，简图如图2,过点P作PG± CD,. tanZ ACD= 设 CG=3a,则 PG=4a, .CQ=PC=5a .QG=CQ- CG=2a,PQ=2 a, .DQ=CD- CQ=4- 5a.PGQADHQ,CQ,QG,PQ,DQ 的长，由同的方法得出，PC=4- 3 ,设CG=3a,则PG=4a,从而得出 PGQsDHQ,同 的方法得出，PC的长； 当QC=PQ时，简图如图12臼过点Q作QG± PC,过点C作

20、CN± PQ, 设 CG=3a,贝U QG=4a, PQ=CQ=5aPG=3a,PC=6a.DQ=CD- CQ=4- 5a,利用等面积法得， CN< PQ=PC QGCN= a,.CQNADQH同的方法得出PC= 513 当PC=CQ时，简图如图4,过点P作PG± CD,过H作HD± PQ, 设 CG=3a,贝U PG=4a, CQ=PC=5a .QD=4+5a, PQ=4$,.QPGAQDH,同方法得出.CP= 13410 2制73246丽 J综上所述，PC的值为：3 -39 ； 4 - 万，7 万，二万一"【解析】【分析】(1)根据抛物线与 x

21、轴交点的坐标特点，把 y=0代入抛物线的解析式， 得出一个关于x的一元二次方程，求解得出x的值，进而得出 A,B两点的坐标；然后由 A,D两点的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式；(2)过点F作FH, x轴，交AD于H,根据函数图像上点的坐标特点，及平行于y轴的直线上的点的坐标特点，设出F,H的坐标，从而得出 FH的长度，S>aadf=Safh+Sidfh=- FH X Dx4-xa|二2FH,列出关于 m的函数解析式，再根据二次函数的性质，由顶点式得出当m=-J时，热adf最大，从而得出 F点的坐标；如图2,作点A关于直线BD的对称点Ai ,把Ai 沿平行直线BD方向平移到A2 ,

22、且AiA2=,连接A2F,交直线BD于点N,把点N沿直线BD向左平移 小得点M,此时四边形 AMNF的周长最小，进而求出点 A1, A2坐标， 即可确定出A2F的解析式和直线 BD解析式联立方程组即可确定出N点的横坐标；(3)根据C,B,D三点的坐标，得出 CD,BC,OB的长，BC边上的高为DH,根据等面积法 得/ MBCX DH=CDX OB从而得出 DH的长，根据 A,C两点的坐标，得出 OA,OC的长，根据正切 函数的定义得出tan/ACD= 4： 3 ;然后分四种情况讨论：当PC=PQ时，过点P作PG± CD,过点 D 作 DHXPQ,由 tan / ACD= 4 ： 3

23、,设 CG=3a,则 QG=3a, PG=4a, PQ=PC=5a, 从而由 DQ=CD - CQ 得出 DQ 的长，根据 PGQsDHQ , 得出 PG： DH=PQ： DQ,从而求出a的值，进而求出 PC的值； 当PC=CQ时，简图如图 2,过 点 P 作 PG± CD, tan Z ACD= 4 ： 3,设 CG=3a,贝U PG=4a,从而得出 CQ,QG,PQ,DQ的长， 由PGQsDHQ,同的方法得出，PC的长；当QC=PQ时，过点 Q作QGXPC,过 点C作CN, PQ,设CG=3a,贝U QG=4a, PQ=CQ=5a，从而得出 PG,PC,DQ的长，利用等面积 法得

24、，CN< PQ=PCQG从而得出 CN,由CQNDQH同的方法得出 PC的长；当 PC=CQ 时,过点 P 作 PG± CD,过 H 作 HDLPQ,设 CG=3a,贝U PG=4a, CQ=PC=5a 从而得出 QD,PQ 的长，由QPGsQDH,同方法得出.CP的长。6.在平面直角坐标系中，抛物线 V -右？/bx + C由H外与上轴的两个交点分别为A(-3, 0)、B (1, 0),与y轴交于点 D(0, 3),过顶点 C作CHI±x轴于点H.C不重合），当4ADE与（2）连结 AD、CD,若点 E为抛物线上一动点（点 E与顶点 ACD面积相等时，求点 E的坐标

25、；P向CD所在的直线作垂（3）若点P为抛物线上一动点（点 P与顶点C不重合），过点线，垂足为点 Q,以P、C Q为顶点的三角形与 4ACH相似时，求点 P的坐标.【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 丫 匚血、，抛物线过点 A(-3, 0),B(1, 0), D(0, 3), - 3b c = Cf a + b + t = 6 七二 3,解得，a=-1, b=-2, c=3,，抛物线解析式为卜二 工二 f + 3 ,顶点C (-1,4);(2)解：如图 1, A(-3, 0), D(0, 3),直线AD的解析式为y=x+3,设直线AD与CH交点为F,则点F的坐标为（-1, 2） .CF=FH

26、ADE与 ACD面积相等,分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点 E, 由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，直线EC的解析式为y=x+5,直线EH的解析式为y=x+1,分别与抛物线解析式联立，得(3)解：若点P在对称轴左侧(如图 2),只能是CPgACH,得/PCQ=/ CAH,PQ CHCQ - AH分别过点C、P作x轴的平行线，过点 Q作y轴的平行线，交点为 M和N,由CQMsQPN,PQ PN QN得 CQ HQ CM =2, / MCQ=45 °,设 CM=m ,贝U MQ=m , PN=QN=2m, MN=3m ,，P 点坐标为(-m-1 , 4-3m),将

27、点P坐标代入抛物线解析式，得 -向，J余?以4 3二1一小，解得m=3,或m=0(与点C重合，舍去).P点坐标为(-4, -5); 若点P在对称轴右侧(如图 )，只能是PCMACH,得/PCQ=Z ACH, PQ AH ;. .CQ CH ,延长CD交x轴于M ,M(3 , 0)过点M作CM垂线，交CP延长线于点F,彳FN工x轴于点N,PQ FM /.CQ CM 二， / MCH=45 ； CH=MH=4 ，MN=FN=2,，F点坐标为(5, 2), 1直线CF的解析式为y= 73 ,1 11 y= _7上吃联立抛物线解析式，得F / 次. 3 ,解得点P坐标为( 三，石),£ 33

28、综上所得，符合条件的P点坐标为(-4,-5), (5, 9 ).【解析】 【分析】(1)将A (-3, 0)、B (1, 0)、D(0, 3),代入y=ax2+bx+3求出即 可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点 C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,利用 ADE与4ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3)(3)分两种情况讨论： 点P在对称轴左侧；点P在对称轴右侧.7.(1)问题发现：如图，图正方形AEFG的两边分别在正方形 ABCD的边AB和AD上，连接CF.写出线段CF与DG的数量关系；写出直线CF与DG所夹锐角的度数.(2)拓展探究：如图，图将正

29、方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋车t的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利 用图进行说明.（3）问题解决如图， ABC和4ADE都是等腰直角三角形，/BAC=/ DAE=90； AB=AC=4,。为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接 OE,则在点D的运动过程中，线段 OE的长的最小值.（直接写 出结果）【答案】（1）CF=忑DG,45匚（2）解：如图：C * 力 连接AC、AF在正方形 ABCD中，延长 CF交DG与H点， 1ZCAD= - Z BCD=45 二，设 AD=CD=a 易得 AC= . a= . AD,同理在正方形 AEFG中，/ FAG=45 = ,AF='

30、- AG,二 /CAD=/ FAG,二 /CAD-/ 2=/FAG-/ 2,: /1 = /3 AC AA又：,万一元, ACAF DAG, CF AC|玳=、用,| cf= . DG;由CA。DAG,，： /4=/5,:'|/ACD=/ 4+/6=45 二,I ：I / 5+/6=45 二,J Z5+Z 6+Z 7=135 二，在ACHD中，/CHD=180二-135二=45匚，：（1）中的结论仍然成立（3） OE的最小值为S .A0-Ea 6x【解析】【解答】（3）如图：由 / BAC=/ DAE=90 口，可得 / BAD=Z CAE又 AB=AC,AD=AE,可得BA4 4CA

31、E, : ZACE=Z ABC=45 二,又 1 /ACB=45、, *：|/BCE=90 二，即 CEL BC,根据点到直线的距离垂线段最短， ：OE± CE时，OE最短，此时 OE=CEAOEC为等腰直角三角形，1:'OC=- AC=2,由等腰直角三角形性质易得，OE=、» , - OE的最小值为万.【分析】（1）易得 CF= %EdG45 口 ；（2）连接 AC、AF在正方形 ABCD中，可得 CF 叫 CA。DAG, 历 疝*=事,: CF乩 DG,在 4CHD 中，/ CHD=180-135 二二45 二，（1）中的结论是否仍然成立；（3） OE±

32、; CE时，OE最短，此时 OE二CEAOEC为等腰直角 I三角形，OC=-AC=2可彳导OE的值.8.如图1,以DABCD勺较短边 CD为一边作菱形 CDE项点F落在边AD上，连接 BE,交AF于点G.图1图2郅（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由;(2)延长DE,BA交于点H,其他条件不变，风 如图2,若/ADC=60°,求的值；国如图3,若/ ADC=a (0° <oc <90,直接写出 也的值.(用含”的三角函数表示)【答案】(1)解：BG =理由如下：四边形，做Z是平行四边形，AB / la , AB CD .四边形加/是菱形,. |仪 / &q

33、uot;，8 二 EF.Ah / 助，AB = EF .又.ZAGB - NFGB ,. | J.Mg AFEGBG 属(2)解：方法1 :过点4作/阕，交麻I于点步，.AB II CL |/君产=/猊。=疝丁 | .G / Ah ,上泗=用歹 上就口，姓 60,J出应是等边三角形。%；三昼 DC MG 1蒸一哀一三方法2：延长EL , 交于点心,.四边形山用为菱形，.-./即产=/郎=60° 四边形”次名为平形四边形,.|入1跖= /3 = 招1,9 / 道"而=,代=.叱| .609ZH = 180 -上曲W-4=/8i” -时即 ，“出战为等边三角形.HB 班 /执,

34、X.EGD = /出*, ZEDG 上金.皿S '酶,& EG.而一艰由（1）结论知DG GE.而一应一HB 珈DC DG 1 BH 班 i如图3,连接EC交DF于O,HS3四边形CFED是菱形, .EC，AD, FD=2FQ设 FG=a, AB=b,贝U FG=a, EF=ED=CD=b3RtA EFO 中，cos a =,OF=bcos ,aDG=a+2bcos , a过H作HMAD于M, / ADC=Z HAD=Z ADH= % .AH=HD,AM L、h . AM= - AD= - ( 2a+2bcos )(=a+bcos , aRtA AHM 中，cos a 助， a

35、 + bees 白.AH= clos a , a + 2/jcos 日M十加。号¥1 b +面=CUE。=cos a【解析】【分析】(1)利用菱形和平行四边形的性质可得出AB/CD/ EF, AB=CD=EF再利用平行线的性质可证得 /ABG=/ FEG然后利用 AAS可证得AB8 4FEG由全等三角 形的性质可证得结论。(2)过点G作GM / BH ,交DH于点M ,易证GMEsBHE 得出对应边成比例，求出MG与BH的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG,即可解答；连接EC交DF于O,利用菱形的性质可得出EC!AD, FD=2FQ设FG=a, AB=b,可表示出

36、FG, EF=ED=CD=b RtA EFO中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG,过 H作HMLAD于 M,易证 AH=HD, AM=a+bcos %再在 RtAAHM中，利用锐角三角函数的定义 求出AH的长，继而可得出 DG与BH的比值，可解答。9.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动, ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以 BE为边向BE的右侧作等边三角形 BEF,连接CF.B AB图1图2(1)如图1,当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等， 请你找出来，并证明；(2)当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形 ABFC的

37、面积为一万求AE 的长；(3)如图2,当点E在AC的延长线上运动时，CR BE相交于点D,请你探求ECD的面积&与4DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；罔(4)如图2,当4ECD的面积S= 8时，求AE的长.【答案】(1)解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有 ABE?CBF.由图 1 知，4ABC与AEBF都是等边三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,/ CBF=/ ABE=60-Z CBE ABE?A CBF.(2)解：由(1)知点E在运动过程中始终有 ABE?CBF,因四边形BECF的面积等于三角形 BCF的面积与三角形 BCE的面积之和

38、,小 ,又四边形ABFC的面积是四边形 BECF的面积等于 4ABC的面积，因4ABC 的边长为四边形BECF的面积为R3S 出附.J ,在三角形 ABE中，因Z A=60 ； .,边AB上的高为 AEsin60 ,11a/3|jS/诋=-AB 悲siW =- X 2 X AE = TP.二二-./ ,则 AE=-.解：5： S -.由图 2 知，4ABC与4EBF都是等边三角形，AB=CB BE=BF /ABC=/ EBF=60 ,又/CBF=Z ABE=60 + /CBE, .ABE?ACBF"槌=”点，.二腌=5皿，5欣，则5硒 . 5J标-'3 ,贝U 另二事(4)解

39、：由(3)知25=事,即5® 3匕刖-猾,i - - 5金药-由8 得心 , AABE?ACBF,AE=CF / BAE=/ BCF=60 ,°又/BAE=Z ABC=60,得 / ABC=/ BCF, . CF/ AB,贝U 4BDF 的边 CF 上的高与 ABC 的高 相等，即为同则 DF= 3 ,设 CE=x 则 2+x=CD+DF=CD+ ,. CD=x1，ICD Ch Xx在 ABE中，由CD/ AB得，AB 掂，即 24，一，2化简得 Jr7 x - Xi 6 x :. x=1 或 x=- J （舍），即 CE=1,AE=3.【解析】【分析】（1）不难发现ABE

40、?CBF,由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SA洌定三角形全等；（2）由（1）可得ABE?CBF,则53褥 5d围，则四边形ABFC=Sj应+ S四山现ECF5校” 5既+ 5而="样+ S破,由四边形 ABFC的入/3面积为事 和等边三角形 ABC的边长为2,可求得4ABE的面积，由底 ABX AEsin60；构造 方程可解出 AE. （ 3）当E在 AC的延长线上时，ABE?CBF依然成立，则 3梭=5修，即 山做 1 5版5/踮-战+ 5国 由等量关系即可得答案. （4 ） 由 （3 ） 可求出4FBD 的面积，由 ABE74CBF, 则 AE=CF , /BAE=/ B

41、CF=60=Z ABC,则CF/AB,则对于 BDF的边CF上的高等于 ABC的高，则可求CD CE出DF的长度；由AE=CF可设CE=x且CD/AB可得/加 上:,代入相关值解出 x即可.10.如图，AB为 的直径，C为00上一点，d为BA延长线上一点，（1）求证：DC为0 0的切线;（2）线段 DF分别交 AC, BC于点E, F且|上tEF二/尸，C0的半径为 5,S111B -n,求CF的长.【答案】（1）解：如图，连接 OC,:AB为9 0的直径， : 一ACU 二4二第，：088,.：5 = /BC0,:'JACD B| ? : JICD 上加。，二 ZACD , 4CA

42、-缈"，即"D - 的.：DC为。0的切线3 AC(2)解：|仁咖1 £ KB中，曲-1，一 一二M*： AC 6 B( 8 上ACD 4 /ADC 上©JE ：/ CADs ECD,AC AD 6-9 BC 一，设AD 聂，0 的，Rl J OCD 中，0C?，=。巾，于小不衣尸二。为尸，36工"1舍或7 ,：“ 5EF = /丁| UACB =如 口 ? ?. : CE <H ,设 CF a ,:* /CEF =上班口 , 4DE ?TFE - 5 ' 4DF , : HE JBDF ,I ： .冬。二T ? Z CEDs B

43、FH,CE BF| * " 5 一而a8 一鼻*30J£匆4 XJO -f- 3X a- Tl-r|， ，.：CF 臼【解析】【分析】(1)要证DC为。O的切线，需添加辅助线：连半径OC,证垂直，根据直径所对的圆周角是直角，可得出/ BCO + / OCA = 90。，再利用等腰三角形的性质，可得出/ B = / BCO ,结合已知，可推出 Z OCD=90,然后利用切线的判定定理，可证得结 论。(2)根据已知圆的半径和 sinB的值，可求出 AB、BC的值，再证明 ACAD s BCD,得出 对应边成比例，得出 AD与CD的比值，利用勾股定理求出 AD、CD的长，再利用/

44、 CEF=45 去证明CE = CF ,然后证明 CEDs BFD,得出对应边成比例，求出 CF的长。1,2),( 3, 2),点11.如图，在 RtABC中，/C=90°,顶点A、C的坐标分别为(-B在x轴上，点B的坐标为(3, 0),抛物线y= - x2+bx+c 经过 A、C 两点.(1)求该抛物线所对应的函数关系式；忖(2)点P是抛物线上的一点，当 Sapab= 7 Saabc时，求点P的坐标；J秒后，点M(3)若点N由点B出发，以每秒5个单位的速度沿边 BC CA向点A移动,也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段 BO向点O移动，当其中一个点到达终点时 另一个点也停止移动

45、，点N的移动时间为t秒，当MNLAB时，请直接写出t的值，不必写出解答过程.【答案】(1)解：将点A ( 1, 2) , C (3, 2),代入抛物线y=-x2+bx+c中，,-i - b c - 2 b - Z得- 9，况*-，解得7:瓦 ，抛物线 y= - x2+2x+5.(2)解：二.点 A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2),BC±x 轴，AC=4, BC=2,IIS a a&c =-AC X BC =- X 4 X 2 = 4 9o设直线 AB为y=mx+n,* J= 一将点A (-1,2) , B (3,0),代入可得'功，力 0 ,解得

46、 / ，直线AB为y=设点P (x,片，子5),过点 P作PN±x轴，交直线 AB于点M,则M (x, .PM=X45 +27 -5 + yfT/则点(3)解：当b ","3时，如图1,点N在BC的线段上，BN=5'，BM= '3 ,. MNXAB,/应 ' 掰加 9。： 又. A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2), .AC/x 轴,BC/ y 轴,/ ACB=90 ；|/俄I- /蚁；=/，.|/您=,飞也|又 / MBN=Z ACB=90 , BNM-A CAB,BM= / ADN=/ ACB=90 , °Z DAN=/ CAB, .ADN>A ACB, / BDM=Z ACB=90，/ DBM=Z CAB, .BDM-AACB,1 6t - - - -r - Jr 则16解得一彳5 16 r - - 综上，【解析】【分析】(1)将点A (T, 2) , C (3, 2),代入抛物线y=-x2+bx+c中，联立方程组解答即可求出