在新课程背景下数学变式问题的设计的实践与研究

1、在新课程背景下数学变式问题的设计的实践与研究海南华侨中学 李红庆报告内容提要：摘要：本文依据顾泠沅教授的变式教学理论结合本人的高中数学研讨教学法的实践，提出了数学变式问题的设计的实践与研究的模式，并对数学变式问题的设计的实践与研究的思考维度进行了探讨关键词 数学变式 设计模式 思考维度 实践研究 一、数学变式问题设计的实践与研究模式二、数学变式问题设计的实践与研究几种思考维度 1多视角的发散性思考（1）约定条件不变，改变视角设计变式题：（2）改变约定条件，从多视角设计变式图：2对生活中一些优化问题的思考3圆锥曲线的相关性问题的思考4圆锥曲线的通性问题的思考5利用教材透露信息的思考6、思维的迁移

2、的思考结束语在新课程背景下数学变式问题的设计的实践与研究海南华侨中学 李红庆摘要：本文依据顾泠沅教授的变式教学理论结合本人的高中数学研讨教学法的实践，提出了数学变式问题的设计的实践与研究的模式，并对数学变式问题的设计的实践与研究的思考维度进行了探讨关键词 数学变式 设计模式 思考维度 实践研究 著名教育学家顾泠沅先生有一句朴素而富有哲理的名言“听懂的东西做出来，做出来的东西说出来”，在数学教学中怎样才能完成顾先生所提的“听懂做出说出”的过程呢？顾泠沅教授提出了变式过程模式，它永远是实施课堂有效教学的主题在新课程背景下数学变式问题设计的实践与研究，应是课堂有效教学的策略和方法的优先选项无论是高一

3、、二的新课教学，还是高三的复习备考教学，对数学变式问题设计的实践与研究，都应该引起高度的重视一方面它能培养学生灵活多变的思辨能力，另一方面又能帮助学生从整体上把握知识的内在规律让学生也能高屋建瓴，应用自如应对新课程的学习因此，在高中数学教学中要加强数学变式问题的设计的实践与研究本文从理论层面上谈谈数学变式问题设计的实践与研究的数学思想和理论基础，并从操作层面上谈谈数学变式问题设计的实践与研究几种思考维度 一、数学变式问题设计的实践与研究模式数学变式问题的设计的实践与研究依据和借鉴着顾泠沅先生的变式过程模式和先生变式教学的理论基础，结合本人长期从事的高中数学研讨教学法的研究成果和数学的分类思想、

4、化归思想、整体思想、特殊性与一般性的思辨性的思想创立了以问题的信息源为已知问题的探讨过程，推出数学变式问题设计的实践与研究模式，其模式的图解如下： 现用案例1说明以上图解案例1：问题的信息源来自2008年四川省高考理科数学试题：（2008四川高考题）设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解析：不难求出递推数列的形式是：已知，且 ，求数列的通项公式（）当时，由知于是，即，所以数列是等差数列，其首项为，公差为，则，得，即，所以是首项为1，公比为2的等比数列（）当时，由（）知，即;当时，由得，两边同加上，期待着数列成等比数列， ，即令 ，解得，代回式，得，所以，数列成等比

5、数列，且首项为，公比为，则 ，即，因此，数列通项公式为概念变式1（通式研究）：已知，递推关系式（，为非零常数），求解题步骤：（1）在递推关系式两边同加上，得，（2）期待着数列成等比数列，则令（），得，将它代入式，从而求出；特殊情形是时，递推关系可化为，所以数列成等差数列，从而求出数列的通项公式 概念变式2：已知，（，），（1）当时，求数列的通项公式；（2）当，且时，求数列的通项公式二、数学变式问题设计的实践与研究几种思考维度 1多视角的发散性思考案例2：问题的信息源：人教社A版必修4第141页例4，原题图如图32-1，已知扇形OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形

6、内接矩形记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积（1）约定条件不变，改变视角设计变式题：改变圆弧内接矩形的视角可以将本题改成如下变式：已知扇形是半径为，圆心角为的扇形（1）如图（甲），是扇形弧上的点，是扇形的内接矩形记，矩形的面积记为，求的最大值；（2）如图（乙），、是扇形弧上的两动点（），是扇形的内接矩形记，矩形的面积记为，求的最大值；（3）试比较与的大小，并说明哪种内接方式材料的利用率要高？原题图变式题（甲）图变式题（乙）图（2）改变约定条件，从多视角设计变式图：要想在一块圆心角为（），半径为R的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形ABCD，应怎样截取？并求出此时的矩形面

7、积图（丙）图（乙）图（丁）图（甲）解：当时，有两种截取情形，如图（甲）和（乙）；当时，也有两种截取情形，如图（丙）和（丁）情形1：如图（甲），设，在RtDOA中，在RtCBO中，所以，则矩形ABCD的面积即当时，矩形ABCD的最大面积为；情形2：如图（乙），矩形的边AB、CD分别圆弧的平分线（图中虚线）平行，由情形（1）知，矩形最大的面积为，由于，则，所以，即，所以在时，矩形ABCD的最大面积为情形3：如图（丙），由情形（1）和（2）知，矩形ABCD的面积最大值为，此时；情形4：如图（丁），设，则矩形ABCO的最大面积为当时，即时，；当时，即时， 2对生活中一些优化问题的思考 海南华侨中学有一

8、个标准的运动场，运动场内圈的周长为400米，两条平行的两端用半圆的圆弧相连接，直线的长为100米，为什么这样设计？它的数学根据是什么呢？ 如图，某学校一块绿化和健身景观地带，是由矩形的绿化区和两个半圆面的健身功能区构成，该绿化和健身景观区的区域的周长为，当矩形的长为时，这样的设计非常合理，你能举出这样设计的理由吗？解析：设计理由是使绿化（矩形）区域的面积最大设矩形的长为，宽为，矩形的面积为，则，所以当且仅当，即米时，因此，当矩形的长为时，绿化（矩形）区域的面积最大由此可见，绿化区的设计有内在的数学理由，当然也可能有其他理由再如：信息源：人教社A版必修二第124页的习题B组第3题，已知M与两定点

9、，的距离的比为，求点M的轨迹方程其实它提示了圆的一个定义：动点到两定点的距离的比是一常数（不为1的正数），则动点的轨迹是圆根据本例题，设计了变式题：“神州七号”着陆场选择在平坦而广袤的内蒙古大草原，假设在、两地各有一个搜救站，且两搜救站都可以独立完成打开返回舱且安全救护航天员的任务，站是由配备大型越野救护车队组成的搜救站，站是由救护直升机中队组成的搜救站已知、两地相距，直升机的速度是越野车的速度的倍，指挥部选择站、站（假定只派出一站）前去执行任务的标准是到达着陆点的时间最短求着陆点为时指挥部选择站和站去搜救时间相等，求“点”所在的曲线的轨迹方程，并指出着陆点在曲线上、曲线内、曲线外的指挥部应如

10、何选择搜救站？ 像这样的实际应用问题，与我们学生的生活现实比较贴近，从表面上谈的生活问题，但本质上看都是考查学生的基本不等式和基本概念，引导学生把从课本上所学到的知识运用到解决生活中的问题中去这种试题集知识与趣味为一体，有利于提高学生的数学应用意识和数学建模能力 3圆锥曲线的相关性问题的思考 （1） 原题：已知点A、B是抛物线上的不同的两点，O为坐标原点，若，则直线AB恒通过定点 变式题：已知点A、B是抛物线上的不同的两点，O为坐标原点，设直线OA、OB的倾斜角分别为、，若，则直线AB恒通过定点联系与本质：直线OA、OB的斜率的积的绝对值等于（2）原题：设线段C1C2是垂直于椭圆的长轴A1A2

11、，求直线A1C1和A1C2的交点P的轨迹方程事实上，点P的轨迹方程是变式题：设线段C1C2是垂直于双曲线（，）的实轴A1A2，求直线A1C1和A1C2的交点P的轨迹方程，并就，间大小关系讨论轨迹的形状联系与本质：椭圆通过变换成，同样，双曲线（，）通过（其中是虚单位）也变换成，这样都统一在“圆”的情形中，关于压缩与伸长和虚与实变换本文不想展开事实上，把双曲线方程写成：，则点P的轨迹方程为 4圆锥曲线的通性问题的思考圆锥曲线有很多性质都是具有普适性的，在教学中我们应从学科整体高度上加以把握，可以从教材上或资料中碰见的典型题目可能选择某个曲线作为背景，事实上，替换背景曲线性质还是存在的，从这个角度去

12、思考问题就能设计出相应的变式题特别是在设计文、理科具有类似背景而思维层次有所区别的试题时，这种思考问题的方式非常可行而且很有必要原题：已知椭圆：的离心率为，且经过点（）求椭圆的方程；（）是否存在经过点的直线，它与椭圆相交于，两个不同点，且满足（为坐标原点）关系的点也在椭圆上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由变式题：已知圆：经过点（）求圆的方程；（）是否存在经过点的直线，它与圆相交于，两个不同点，且满足（为坐标原点）关系的点也在圆上，如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 5利用教材透露信息的思考高考命题的教师不仅是命题高手，而且是搜索能手，他们关注着各地的试题走向，更

13、关注着教材透露的可利用的信息，近几年高考立体几何开始变脸了，考查数学思想方法与方程的试题在增加，考查求未知点、未知数的试题在2008年各省、市的高考试题中已经淋漓尽致地体现出来下面是应对高考试题的变式问题设计：信息源：人教社A版选修2-1第107页的例3，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是，且，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？变式题：已知点S是平面ABC外一点，且，求点S到平面ABC的距离解析：取AC的中点O，则，建立如图所示空间直角坐标系，得，则，设（），则，解之，代入得，因此，因为平面

14、ABC轴，则平面ABC的法向量，点S到平面ABC的距离是6、思维的迁移的思考信息源：人教（A）版必修4（118页，复习参考题A组3、4）中的两道习题，这两道题有一个共同点，通过向量的加法或减法法则运算，可以达到解题的目的但第4小题要反复运用加法或减法法则多次，式子运算相嵌复杂，容易造成错误，如果引入未知数向量，这个题就相当好解决了，就是由思维迁移来设计变式题原题：已知六边形为正六边形，且，分别用，表示向量、解析：本题要求的向量比较多，并且所要求的向量与给定的向量关系并不直接，如果引入未知数向量，那么问题就迎刃而解了设向量，由于，由三角形和就可列出二元一次方程组，解之：，这就相当有四个已知向量了

15、，其他向量就很容易求出了变式设计：如图，在中，已知，（1） 试用向量、表示向量；（2） 设，以、为基底，求向量；（3） 求证：和的重心是同一点解析：（1）由有， ；（2）设，由有，由（1）的结论类比， ，即 ，再由（1）结论类比，即，由、得， 所以（4） 设的重心为，的重心为，由三角形的重心的性质，容易得， ， ， ， ， ， ，所以和的重心是同一点通过化归思想还可得到具有挑战性变式题：如图，在中，已知，（）求证：和的重心是同一点第11页结束语：新课程的课堂教学提倡教与学互动，变式教学恰好是教与学互动的一种很好的形式，教师不仅要在教学中设计概念变式问题，也要有意识培养学生参与变式问题设计的思考维度研究活动中去，要激发学生的参与者积极性和采纳学生的变式设计变式教学是有效教学的一种很好的形式，对其效果的检验和归宿是看学生的应考水平和能力高考数学