2024北京十一学校初二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京十一学校初二（下）期中数学一、选择题（共16分，每小题2分）1.若直线经过第一、二、三象限，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.2.如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为()A. B. C. D.3.若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）A.2 B. C. D.4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5.直线一定经过点（）A. B. C. D.6.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（）A. B.C. D.7.二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：x0123y121则一元二次方程（，a，b，c是常数）的两个根，的取值范围是（）A.， B.，C.， D.，8.如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每小题2分）9.若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．10.关于x的方程的一个根为，则另一个根是_____；关于x的方程的两个根分别为、5，则的值为_____．11.已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是_____（填“＞”，“＝”“＜”）．12.用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是_____．（透光面积指的是整个矩形面积）13.在平面直角坐标系中，一次函数（k是常数，）与（m、n是常数，）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为_____．14.小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为26的正方形，和如图3所示的边长为4的正方形，则图1中菱形的面积为_____．15.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中，①；②；③若点在此抛物线上且，则或．④若点在此抛物线上，则；所有正确结论的序号是_____．16.学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如表所示：工序ABCDEFG所需时间/分钟99768113在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要_____分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要_____分钟．三、解答题（共68分，第17题每小题12分，第18-27题每题5分，第28题6分）17.解下列一元二次方程（1）；（2）；（3）（配方法）；（4）（公式法）．18.已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．19.已知函数．（1）若函数的图象平行于直线，求m的值；（2）若这个函数是一次函数，且与y轴的交点在x轴的下方，求m的取值范围．20.下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；3、连接AD，CD．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．证明：∵AB＝______，BC＝______，∴四边形ABCD是平行四边形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（________）．21.在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（1）求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；（2）将该抛物线向上平移个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．22.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值．23.如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．24.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到．（1）直接写出一次函数的解析式___________；（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出m的取值范围．25.定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．（1）下列方程是“差积方程”的是；①②③（2）若方程是“差积方程”，直接写出m的值；（3）当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．26.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．27.如图所示，四边形为正方形，F、G分别为边上的点，于G．（1）求证：；（2）在上截取，连接，O为的中点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段和的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系中，对于点P和正方形给出如下定义：若点P关于y轴的对称点到正方形的边所在直线的最大距离是最小距离的2倍，则称点P是正方形的“最佳距离点”．已知：点，．（1）当时，①点C的坐标是；②在，，，四个点中，是正方形的“最佳距离点”；（2）当时，点（其中）是正方形的“最佳距离点”，求n的取值范围；（3）点，，若线段上存在正方形的“最佳距离点”，直接写出a的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1.【答案】D【分析】本题考查一次函数的图象，根据直线所过象限，判断出的符号，再判断函数经过的象限，即可得出结果．【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限，∴，∴，∴函数经过一，三，四象限，故符合题意的只有选项D；故选D．2.【答案】D【分析】根据三角形中位线的性质得出，进而根据菱形的性质即可求解．【详解】解：∵，分别是，的中点，，∴，∴菱形的周长为，故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及三角形中位线的性质与判定是解题的关键．3.【答案】B【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，解关于m的方程，即可得出答案．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时方程有两个相等的实数解，时，无实数解，时，有两个不相等的实数解．4.【答案】B【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握的顶点坐标是是解题的关键．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故选B．5.【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象和性质，将解析式变形为，得到当时，，即可得出结果．【详解】解：∵，∴当时，，即直线一定过点；故选B．6.【答案】A【分析】设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此列出方程即可．【详解】解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：，故选：A．【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．7.【答案】D【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0．由表中数据可知：当时，对应的值在与之间或与之间，∴，时，y的值最接近0，∴，的取值范围是：，．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．8.【答案】B【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，∴，∴，∵，∴，∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选B．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9.【答案】﹣3【详解】∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，∴解得m=-3．故答案是：-3.10.【答案】①.②.【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系可得，即；根据根与系数的关系可得，即，据此可得答案．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．【详解】解：设方程的另一个根为，∴，∴；∵关于x的方程的两个根分别为、5，∴，即，∴，故答案为：；．11.【答案】＜【分析】本题考查了一次函数的性质，根据的，得出随的增大而减小，结合，进行作答即可．【详解】解：∵的，∴随的增大而减小，∵点，都在一次函数的图象上，且，∴，故答案为：＜．12.【答案】【分析】设窗的宽为，高为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．本题考查了二次函数的应用，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．【详解】解：设窗框的宽为m，高为，，，有最大值，即：当时，则做成宽为、长为时，才能使做成的窗框的透光面积最大，最大透光面积是，故答案为：2．13.【答案】【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据图象法求不等式的解集即可．【详解】解：由图可知，一次函数（k是常数，）与（m、n是常数，）的图象的交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方，∴即：的解集为：．故答案为：．14.【答案】5【分析】将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边即可．此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答．【详解】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，则根据正方形面积公式：，化简得：，菱形的面积，故答案为：．15.【答案】②③④【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴判断①，开口方向判断②，对称性，增减性判断③和④．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴对称轴为，∴；故①错误；∵抛物线的开口向下，∴；故②正确；∵，当时，，∴图象过，∵对称轴为直线，∴关于对称轴的对称点为：，∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，∵点在此抛物线上且，∴或；故③正确；∵点在此抛物线上，∴点关于对称轴的对称点为：，由图象可知：当时，；故④正确；故答案为：②③④．16.【答案】①.53②.27【分析】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G；乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，然后可得答案．【详解】解：由题意得：（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，甲学生工序D完成后接着做工序G，需要9分钟，乙学生工序完成后，做工序F，最后甲学生做工序E，需要9分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟），故答案为：53，27．三、解答题（共68分，第17题每小题12分，第18-27题每题5分，第28题6分）17.【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先移项再直接开平方解方程，即可作答．（2）先移项再运用因式分解法进行解方程，即可作答．（3）先把二次项系数化1，再移项，然后配方，再解方程，即可作答．（4）运用公式法解方程，即可作答．【小问1详解】解：，，解得．【小问2详解】解：，，，解得；【小问3详解】解：，，，∴∴，解得；【小问4详解】解：，，，解得．18.【答案】1【分析】根据方程的根的定义，得到m2﹣2m﹣3＝0，化简得m2﹣2m＝3，再化简原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5，将m2﹣2m＝3代入原式，从而求得原式的值．【详解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【点睛】本题考查了方程的根的定义，整式的乘法，掌握相关定义并进行正确的运算是解题的关键，解题中注意整体代入法的运用．19.【答案】（1）不存在m的值使函数的图象平行于直线（2）且【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移：（1）根据两直线平行，值相等，得到且，求解即可；（2）根据题意，得到且，进行求解即可．【小问1详解】解：∵函数的图象平行于直线，∴且∴无解，∴不存在m的值使函数的图象平行于直线；【小问2详解】∵这个函数是一次函数，且与y轴的交点在x轴的下方，∴且，解得：且．20.【答案】（1）见解析（2）CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．【小问1详解】解：如图，四边形ABCD即为所求．【小问2详解】证明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），

∵∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

故答案为：CD，AD，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】（1），图见解析（2）1【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移：（1）待定系数法求出函数解析式，列表描点，连线画出函数图象即可；（2）抛物线与x轴只有一个公共点时，此时公共点为顶点坐标，即新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行求解即可．【小问1详解】解：把，代入，得：，∴，∴；列表如下：123457117描点，连线画出函数图象如图：【小问2详解】∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的抛物线与轴只有一个公共点，∴只需向上平移1个单位，顶点变为，此时满足题意．故答案为：122.【答案】（1）见解析（2）或【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程：（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）因式分解法求出方程的解，根据方程有两个互不相等的负整数根，进行求解即可．【小问1详解】解：∵；∴方程总有两个实数根；【小问2详解】∵，∴，∴，∵方程有两个互不相等的负整数根，∴或．23.【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查了平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．（1）利用平行线和角的平分线，证明，继而判断四边形是平行四边形，结合得证．（2）由菱形的性质得，，，，由勾股定理可得：，在中，，在中，，即，求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，则，又∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【小问2详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，，由勾股定理可得：，∵，在中，，在中，，∴，即：，解得：．24.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据平移的规律即可求得；（2）先求出与的交点坐标．再结合当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则．【小问1详解】解：函数的图象向下平移2个单位长度得到，即一次函数为；故答案为：；【小问2详解】解：把代入，得到，∴函数与一次函数交点为，再把点代入，求得，如图，当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，所以．【点睛】本题考查了一次函数图象与平移变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．25.【答案】（1）①②（2）或，（3）【分析】（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解；（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；（3）根据求根公式求得，根据新定义列出方程即可求解．本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．【小问1详解】解：①，即，解得：，，是差积方程；②，即，解得，，是差积方程；③，即，解得：，，故③不是差积方程；故答案为：①②；【小问2详解】解：，即，解得：，，是差积方程，，即或．解得：或，【小问3详解】解：，解得：，，是差积方程，，即，即．26.【答案】（1），对称轴为直线；（2）【分析】本题考查二次函数的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，进而利用公式求得对称轴解析式；（2）求得C的坐标以及二次函数的最大值，求得与对称轴的交点即可确定t的范围．【小问1详解】把点，代入函数解析式，得：，解得：，∴；∴对称轴为直线；【小问2详解】∵，∴，∵，∴抛物线的顶点坐标为，∵直线与图象有公共点，∴的最大值为，当直线经过点时，设直线的解析式为：，把，代入，得：，解得：，∴，当时，∴．27.【答案】（1）见解析（2）①图见解析②，证明见解析【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．（1）根据正方形的性质及同角的余角相等，即可证明结论；（2）①根据题意补全图形即可；②连接并延长至点，使，证明，得到，再证明，推出为等腰直角三角形，即可得出结论．【小问1详解】证明：∵正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】①根据题意，补全图形如下：②，证明如下：连接并延长至点，使，∵为的中点，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，由（1）知：，∴，∵，∴，∵正方形，∴，，∴，∴，，∴，即：，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴．28