备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析含答案

1、备战中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析含答案一、圆的综合1.如图1,已知扇形 MON的半径为 J2 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结 BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为y.(1)如图2,当AB±OM时，求证：AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.【答案】(1)证明见解析；(2) y x.(0 x 乏)；(3) x 9 件 x ,22【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OA

2、XBAM,即可得出结论;(2)OAOE(3)先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE=-1(J2 x),再判断出BD AE2OC 2DM“，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1)OD)± BM, AB± OM,/ ODM=/BAM=90°. / ABM+Z M=Z DOM+Z M, :'人 ABM=Z DOM . Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DM

3、BDME,AE=EM.AE OM=V2， .AE=1(拒 x).21. DE/AB,OAOC 2DMOEOD ODDMOAOD 2OEy xm(0<x72)111.(3) (i)当 OA=OC时. DM BM OC x .在 RtODM 中, 222OD,OM 2DM 2 yDM，OD1x22 1x2或x瓶八（舍）.22(ii)当 AO=AC时，则 /AOC=/ACO. / ACO> / COB, /COB=/AOC, . / ACO> / AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a. / CAO> / M , Z M=90&#

4、176; - a, . . a> 90° a, a>45 :/ BOA=2 490 : : / BOAW 90 °，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为 E 衣2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.2.如图，AB是半圆的直径，过圆心 。作AB的垂线，与弦 AC的延长线交于点 D,点E在OD 上 DCE B .（1）求证：CE是半圆的切线；2（2）右CD=10, tanB可，求半圆的半径.3【答案】（1）见解析；（2） 4 比3【解析】分

5、析：（1）连接CO,由 DCE B且OC=OB,导 DCEOCB ,利用同角的余角相等判断出/BCO+/ BCE=90,即可得出结论；（2）设AC=2x,由根据题目条件用 x分别表示出OA、AD、AB,通过证明AODACB）列出等式即可.连接/ DCB=180 -°Z ACB=90 .CO. / DCE+Z BCE=90. °.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 :OCX CE.OC是半径，.CE是半圆的切线.(2)解：设 AC=2x,.在 RtACB中，tanBACBCBC=3x. AB22x 3x13x.OD

6、XAB,/ AOD=ZACB=90.°/ A=Z A,.AODAACBlACAOABAD OAAD=2x+10,_2x_ 13x：13x22x 10解得x=8.,OA T 8 4 13.则半圆的半径为4,13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形3.如图，四边形 ABCD内接于。O,对角线AC为。的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点 E,点F为CE的中点，连接 DB, DF.(1)求证：DF是。的切线；(2)若 DB平分 ZADC, AB=历，AD : DE=4 ： 1,求 DE 的长.【答案】 见解析；(2) .5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形

7、的性质得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,进而得出答案.详解：(1)连接OD. OD=CD, . . / ODO/OCD.AC为。O 的直径， / ADO/ EDC=90 °.点 F 为 CE的中点，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切线.(2) AC 为。的直径，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z

8、 CDB,，Ab = ?C ,BC=AB=5 & 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE=,- AC2=AD?AE.AD AC设 DE为 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,1- 100=4x?5x, . x=石，1. DE= V5 -Aac2=ad?ae 是点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出 解题的关键.4.如图，已知 AB是。O的直径，点 C, D在。O上，BC=6cm,AC=8cm,Z BAD=45°.点E在 。外，做直线AE,且/

9、EAC=Z D.(1)求证：直线AE是。的切线.(2)求图中阴影部分的面积.B【答案】(1)见解析；(2) 25 504【解析】分析：(1)根据圆周角定理及推论证得/BAE=90,即可得到AE是。的切线;(2)连接OD,用扇形ODA的面积减去4AOD的面积即可.详解：证明：(1) .AB是。的直径，/ ACB=90 ,°即 / BAC+/ ABC=90 , Z EAC玄 ADC, / ADC=Z ABC, / EAC玄 ABC ./BAC+/EAC =90, °即 R BAE= 90° 直线AE是。O的切线；(2)连接OD BC=6 AC=8AB、62 82 10

10、OA = 5又 OD = OA/ ADO =/ BAD = 45/ AOD = 90 °SW = S扇形 ODA S AOD9015 55 5360225502(cm )4点睛：此题主要考查了圆周角定理和圆的切线的判定与性质，关键是利用圆周角定理和切 线的判定与性质，结合勾股定理的和弓形的面积的求法求解，注意数形结合思想的应用5.在平面直角坐标系 xOy中，点M的坐标为(xi, yi),点N的坐标为(x2, y2),且 xiw2, yiwy,以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的坐标菱形(1)已知点A (2, 0) , B (0, 2J3),则

11、以AB为边的 坐标菱形”的最小内角 为;(2)若点C (1, 2),点D在直线y=5上，以CD为边的 坐标菱形”为正方形，求直线 CD 表达式；(3)。的半径为 J2 ,点P的坐标为(3, m).若在。上存在一点Q,使得以QP为 边的 坐标菱形”为正方形，求 m的取值范围.I姝/5 -5 3【答案】(1) 60°； (2) y=x+1 或 y=-x+3； (3) 1Wm<域-5<1【解析】分析：(1)根据定义建立以 AB为边的坐标菱形”，由勾股定理求边长 AB=4,可得30度 角，从而得最小内角为60°(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45。，得D (4,

12、 5)或(-2, 5),易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=-x+3;(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1, PB=5,写出对应P的坐标； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4,同理可得结论.详解：(1)二.点 A (2, 0) , B (0, 23) , QA=2, OB=2 J3 ,在 RtAOB 中，由勾 股定理得：AB=亚(23)2 =4,/ ABO=30 °.四边形 ABCD是菱形，Z ABC=2Z ABO=60 °.,AB/ CD,Z

13、 DCB=180 - 60 °=120.以AB为边的 坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为：60。； (2)如图2.以CD为边的坐标菱形”为正方形，.直线CD与直线y=5的夹角是45 °.过点C作CH DE于E, .D (4, 5)或(-2, 5) , 直线CD的表达式为：y=x+1或y= x+3;(3)分两种情况：先作直线y=x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=x,如图3.0O 的半径为 J2 ,且OQ'D 是等腰直角三角形，-OD=>/2 OQ'=2,P'D=3-2=1 . aDDB是等腰直角三角形，PB=BD=1, P (0

14、, 1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5.ABP是等腰直角三角形，PB=5,，P (0, 5) , 当1前W5时，以QP为边的 坐标菱形”为正方形； 先作直线y=-x,再作圆的两条切线，且平行于直线y=-x,如图4. OO的半径为 收，且OQ'D是等腰直角三角形，-od=.2OQ'=2, BD=3- 2=1 . 4口口3是等腰直角三角形，P'B=BD=1, P' (0, -1),同理可得：OA=2,.AB=3+2=5. ABP是等腰直角三角形，.PB=5, P (0, - 5) , 当-5前W- 1时，以QP为边的坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范

15、围是1前W5或-5前w-1.5 -P点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P, Q的坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论 的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目.6.如图，4ABC是。的内接三角形，点D,E在。上，连接AE,DE,CD,BE,CE,/ EAC+-Z BAE=180 , °?B CD .(1)判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；(2)求证：ABEDCE;(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半径.EB【答案】(1) BE=CE理由见解析；(2)证明见解析；(3) 述.3【解析】

16、分析：(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得：/BCE+Z BAE=180,贝U/BCE=Z EAC,所以？E= CE，则弦相等；(2)根据SSS证明AB®4DCE;(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明RtA GB8 RtAHBO (HL),则/ OBH=3 0 ,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：(1)解：BE=CE理由：. /EAC+y BAE=180, / BCE+7 BAE=180,/ BCE=Z EAC,l ?E= CE，.BE=CE(2)证明：/ ?ab cd ,，AB=CD?e= Ce , Ae Ed， AE=ED 由(1)

17、得：BE=CE 在 ABE和ADCE中，AE DE .AB CD , BE CE2 .ABEADCE (SSS ;(3)解：如图，二.过。作 OG，BE 于 G, OHBC 于 H,BH= - BC=- X 8=4 BG=-BE, 2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 BEC 是等边三角形,BE=BC BH=BG, .OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=Z GBO=-/ EBC=30,°2设 OH=x,贝U OB=2x,由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=W3,3 .OB=2x=83 ,。的半径为 丝叵.33建点睛：本题是圆的综合题，

18、考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定 理、直角三角形30。的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的 结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键7 .问题发现.(1)如图,RtABC中，ZC=90°, AC= 3, BC= 4,点D是AB边上任意一点，则 CD的 最小值为.(2)如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,点 M、点N分别在BD、BC上，求 CM+MN的 最小值.(3)如图，矩形 ABCD中，AB=3, BC= 4,点E是AB边上一点，且 AE= 2,点F是BC边 上的任意一点，把 BEF沿EF翻折，点B的对应点为G,连接AG

19、、CG,四边形AGCD的 面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，请说明理由.B盟312【答案】(1) CD 一;(2) CM 5MN的最小值为.(3) 一252【解析】试题分析：(1)根据两种不同方法求面积公式求解；(2)作C关于BD的对称点C ,过C作BC的垂线，垂足为 N ,求C N的长即可；(3)连接AC ,则Szgagcd Svadc Svacg, GB EB AB AE 3 2 1,则点 G 的轨迹为以 E 为圆心，1为半径的一段弧.过 E作AC的垂线，与O E交于点G ,垂足为M ,由VAEM sVACB求得GM的值，再由S四边形AGCDSVACDSV

20、ACG求解即可.试题解析：(1)从C到AB距离最小即为过 C作AB的垂线，垂足为 D ,cCD AB AC BCSVABC ，4 12,55DN NAC BC 3CD AB(2)作C关于BD的对称点C，过C作BC的垂线，垂足为 N ,且与BD交于M ,则CM MN的最小值为C N的长，设CC与BD交于H ,则CH BD ,12 VBMCsVBCD，且 CH , 5一24CCB BDC , CC5VC NCsVBCD ,CNCC BCBD2P96 ,25一一. 96即CM MN的最小值为25(3)连接 AC ,则 %AGCDSVADCSVACG ,GB EB AB AE 3 2 1 , 点G的轨

21、迹为以E为圆心，1为半径的一段弧.过E作AC的垂线，与。E交于点G ,垂足为M , VAEM sVACB ,EM AE 一，BC ACAE BC 248 EM 一,AC55-83GMEM EG-1一，55S四边形 AGCD SVACD SVACG ,1 133 4-5一,2 2515一.2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知 识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题.8.如图，AB是。的直径，弦BC= OB,点D是AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC, OE于点F, G.(1)求/ DGE的度数；c 什 CF

22、 1- BF i(2)右=，求的值；OF 2 GF CFS1(3) iEACFB, ADGO的面积分别为S1, S2,若C= k，求一的值.(用含k的式子表OFS2示)7 S k2 k 1【答案】(1)/DG60; (2); (3)=-_k-1 .8 S2 k 1【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得/DGE的度数；(2)过点F作FH，AB于点H设CF= 1,则OF=2, OC= OB= 3,根据勾股定理求出 BF的 BF.长度，再证得 FG8 4FCB进而求得 的值；GF(3)根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式

23、子表示出5的值.S2【详解】解：(1)BC= OB=OC,/ COB= 60 ；“1 / CDB= ZCOB= 30 ,2. OC= OD,点E为CD中点,OEXCD,/ GED= 90 ；/ DGE= 60 ；(2)过点F作FHAB于点H 设 CF= 1 ,贝U OF= 2, OC= OB= 3 / COB= 60 °.OH= 1OF=1,2.HF=6oH=73, HB=OB- OH=2,在 RtA BHF 中，BF JhB2HF2 J7，由 OC= OB, /COB= 60°得：/OCB= 60°,又 / OGB= / DGE= 60°,/ OGB=

24、 / OCB, / OFG= / CFB,.-.FGOAFCB,OF GFBF CF2 GF=f , .7BF 7=-.GF 2过点F作FHAB于点H,设 OF= 1,则 CF= k, OB= OC= k+1,/ COB= 60 ；1 1.OH= -OF=-，2 2.HF= ,30H3, HB=OB-OH=k+1 ,在 RtBHF 中，BF= 4HB HFJk2 k 1，由(2)得：AFGOAFCB,.GO OF GO 1一，即 I 22 2CB BF k 1 k k 1.GO过点C作CP，BD于点P / CDB= 301 PC= - CD, 2点E是CD中点,1.DE= - CD,2PC=

25、DE,.DEXOE,S BFS2 = GOk2 k 1k_1_k2-k-1k2 k 1k 1圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股定理、数形结合的思想解答.9.如图1,在RtABC中，/ABC=90°, BA=BC,直线 MN是过点A的直线 CD，MN于点 D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段 DC, AD, BD之间有什么数量关系.经过观 察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作B已BD,交MN于点E,进而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 DC, AD, BD

26、之间的数量关系， 并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当 4ABD面积取得最大值时，若 CD长为1 ,请直接写 BD的长.【答案】(1) 近；(2) AD- DC=72BD; (3) BD=AD=72+1.【解析】 【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC, AD, BD之间的数量关系(2)过点B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O,证明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根据 BED为等腰直角三角形，得到 DE J2BD , 再根据DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点 时，4ABD的面积最大.

27、D在线段AB的垂直平分线上且在 AB的右侧在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH AH J2, 由BD AD即可得出答案.【详解】解：(1)如图1中，由题意： BAEW BCD ,，AE=CD, BE=BD ，CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= . 2 BD,DC+AD= 2 BD,故答案为22（2） AD DC V2BD -证明：如图，过点 B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CBDEBC,ABE CBD .BAEAOB 90 , BCD COD 90 , AOBBAE BCD ,ABE DBC .

28、又 AB CB ,CDBW AEB,CD AE , EB BD ,BD为等腰直角三角形， DE &BD .DE AD AE AD CD ,AD DC 72BD -(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点 D在线段AB的垂直平分线上且在 AB 的右侧时，4ABD的面积最大.图3此时DG±AB, DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH AH 衣， BD AD .2 1-【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线 和熟悉图形特性是解题的关键 .10. AB是。直径，在AB的异侧分别有定点 C和动点P,如图所

29、示，点 P在半圆弧 AB上运动(不与 A、B重合)，过C作CP的垂线CD ,交PB的延长线于D ,已知 AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求证：AC CD = PC BC ;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求 CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2) CD=14W2； ( 3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积350.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得 / PCD=/ ACB=90,可证ABJPCD,可得CP证.AC BC，即可得CD(2)由题意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的

30、长，由锐角三角函数可求PE的长,即可得PC的长，由AC?CD=PC?BCT求CD的值;(3)当点P在Ab上运动时，Svpcd1 , 4 PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23一1 一4一2.2Svpcd PCPCPC ,当PC取大时， PCD的面积取大，而 PC为直径时取233大，故可求解.【详解】证明：(1). AB为直径，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5, BC: CA=4: 3, ZACB=90

31、76;.BC=4, AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点 B作BEX PC于点E.点P是Ab的中点，/ PCB=45 ；且 BC=4CE=BE= _2 bc=2 2 / CAB=Z CPBBC .tan / CAB=AC. pe-3.2PE-2=tan Z CAB=-3PE.PC=PE+CE=32+2 2 =2.AC?CD=PC?BC14 2CD=31(3)当点P在AB上运动时，Sapcd= - >PC>CD,2由(1)可得：CD= 4 PC314 2 oSa pcd=PC PC = pC ,233当PC最大时，APCD的面积最大，22 50当PC为。直径时， PCD的最大面积

32、=-x2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.11 .如图，在 4ABC中，AB= AC,以AB为直径的。与边BC交于点D, DEX AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.求证：EF是。的切线；(2)若/C= 60 °, AC= 12,求?D 的长.(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的长.尺E C【答案】 见解析；(2) 2 ；兀竺.3【解析】分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,从而得到ZC=Z ODB,根据同位角相等，两直线平行

33、，得到OD/AC,从而得证OD, EF,即EF是。的切线；(2)根据中点的性质，由 AB=AC=12,求得定得到OBD是等边三角形，即 ZBQD=60P,1OB=OD=AB=6,进而根据等边三角形的判2从而根据弧长公式七届即可；(3)连接AD,根据直角三角形的性质，由在. DE -RtA DEC中，tanC - 2 设 CE=xMCE. AE 一 一DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的长，然后根据相似三DE角形的判定与性质求解即可 .详解：(1)连接 OD AB=AC . / ABC玄 C1) QD=OB . . / ABC=/ ODB，/C=/ ODB

34、.-.OD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。O的切线12) ) AB=AC=12 . OB=ODAB =6由(1)得：/ C=/ ODB=600在 RtDEC中，tanC 里 2 设 CE=xB DE=2x CE AB 是直径/ ADB=Z ADC=900 / ADE+/ CDE=9C0 在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9(5)AE -DE/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan ADE 2 AE=8,DE=4 则 CE=2.AC=AE+CE=10直径 AB=AC=10 贝U OD=OB=5.ODAEAODFAAEFOF OD

35、 口u BF 5 5 即：AFAEBF 10 810解得：BF=即BF的长为.33点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及 相似三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思 想的应用.12.对于平面直角坐标系 xoy中的图形P, Q,给出如下定义： M为图形P上任意一点，N 为图形Q上任意一点，如果 M, N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P,Q间的 非常距离”，记作d (P,Q) .已知点A (4,0) , B (0,4),连接AB.(1) d (点 O, AB) = ;(2)。半径为r,若d (OO, AB)

36、=0,求r的取值范围；(3)点 C( 3, -2),连接 AC, BC, OT 的圆心为 T (t, 0),半径为 2, d (OT, ABC),且0Vd <2,求t的取值范围.【答案】(1) 2亚；(2) 2& r 4； (3) 2强 2 t【解析】、52 或 6<r<8.(1)如下图所示，由题意得：过点。作AB的垂线，则垂线段即为所求;(2)如下图所示，当 d (OO, AB) =0时，过点。作OELAB,交AB于点E,则:OB=2, OE=2、,2,即可求解;(3)分。T在 ABC左侧、OT在4ABC右侧两种情况，求解即可.【详解】(1)过点。作ODLAB交AB

37、于点D,根据非常距离”的定义可知,/上-、-AB42 42-d （点 O, AB） =OD=-=-=242 ；(2)如图,当 d (OO, AB) =0 时，过点 O 作 OE± AB则 OE=2五,OB=OA=4,O O与线段AB的 非常距离”为0,2 五 r 4；(3)当OT在4ABC左侧时，如图，当。T与BC相切时，d=0,BC= 32 62 =3、. 5,过点C作CE! y轴，过点T作TF, BC则 TFH BEC,TF THBE BCTH即 2 =,6 3.5TH= .5, . HO/ CE, .BHOABEC, .HO=2,此时 T(-j5-2, 0);当d=2时，如图，

38、同理可得，此时T ( 2 J5 2 )；0<d <2,2 芯 2 t 曲 2;当。T在4ABC右侧时，如图,当 p=0 时，t=6 ,当 p=2 时，t=8.-.-0<d <2,，6<r<8；综上，2而 2 t 恋 2或6<r<8.【点睛】非常距离”的定义与直线与圆的位本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握置关系和分类讨论思想的运用.13.如图，AB是半圆。的直径，点 C是半圆。上的点，连接 AC, BC,点E是AC的中 点，点F是射线OE上一点.(1)如图 1,连接 FA FC,若 /AFC= 2/BAC 求证：FAIAB；(2)如图

39、2,过点C作CD，AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点 C重合)，连接FA, FG, FG与AC相交于点P,且AF= FG.试猜想/ AFG和/ B的数量关系，并证明；图1【答案】(1)见解析; 连接OG,若OE= BD, /GOE= 90 °,。的半径为2,求EP的长.(2) 结论：/GFA= 2/ABC.理由见解析； PE= 立6(1)证明 /OFA=/BAC,由 /EAO+/EOA= 90°,推出 Z OFA+Z AOE= 90°,推出 Z FAO= 90。即可解决问题.(2) 结论：/GFA= 2/ABC.连接FC.由FC= FG= FA,以F为圆心F

40、C为半径作OF,因为 AG AG ,推出 ZGFA= 2/ACG,再证明 /ACG=/ABC图2T 中，连接 AG,彳FHI± AG于H.想办法证明 Z GFA= 120 °,求出EF, OF, OG即 可解决问题.【详解】(1)证明：连接OC. OA=OC, EC= EA,OFXAC,FC= FA/ OFA= / OFC, / CF" 2/BAC,/ OFA= / BAC, / OEA= 90 ； / EAO+Z EOA= 90 ; / OFA+Z AOE= 90 °,/ FAO= 90 ；AFXAB.(2) 解：结论：/GFA= 2/ABC. 理由：

41、连接FC.OF垂直平分线段 AC,FG= FA, FG= FA,FC= FG= FA,以F为圆心FC为半径作 OF.Ag Ag ,/ GFA= 2/ACG,.AB是。的直径，/ ACB= 90 °, .CD± AB, / ABO / BCA= 90 °, / BCD+Z ACD= 90 °,/ ABC= / ACG/ GFA= 2/ABC.如图2 - 1中，连接 AG,彳Fhl±AG于H. . BD=OE /CDB=/AEO= 90 ° / B= / AOE .,.CDBAAEO (AAS), .CD= AE, EC= EA, .AC

42、= 2CD./ BAC= 30 : / ABC= 60 °, / GFL 120 : .OA=OB= 2, .OE= 1, AE=仃，BA=4, BD= OD= 1, / GOE= / AEO= 90 ; .OG/ AC,32,3DG , OG ,33AG JDG2 AD221 ,3 FG= FA, FHXAG,-.AH=HG=0，/AFH= 60。，3AH 2.7AF=,sin 603在 RtAEF中，EF= JAF2 AE2-,3八 八4 .OF=OE+EF=一,3. PE/ OG,.PE EF, , ,OG 0F-PE 3.亚 4，33PE= 3 .6【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三 角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题.14.已知：如图，以等边三角形 ABC一边AB为直径的OO与边AC、BC分别交于点 D、E,过点D作DU BC,垂足为F. (1)求证：DF为。的切线；(2)若等边三角形 ABC 的边长为4,求图中阴影部分的面积.【答案】（1）见解析（2）正 J23【解析】试题分析：（1）连接DO,要证明DF