一维无线深方势阱

1、2.7 一维定态问题l在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger Schrodinger 方程来处理方程来处理一类简单的问题一类简单的问题一维定态问题。其好处有四：一维定态问题。其好处有四： l（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； l（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； l（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱 2 2 线性谐振子线性谐振子 3 3 一维势散射问题一维势散射问题l（3

2、3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； 1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱l（一）一维运动（一）一维运动 l（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 l（三）宇称（三）宇称 l（四）讨论（四）讨论（一）（一） 一维运动一维运动所谓一维运所谓一维运动就是指在动就是指在某一方向上某一方向上的运动。的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = VV(x,y,z) =

3、V1 1(x) + V(x) + V2 2(y) + V(y) + V3 3(z) (z) 形式，则形式，则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = E E = Ex x + E + Ey y + E + Ez z于是于是S-S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：当粒子在势场当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其中运动时，其 Schrodinger 方程为：方程为：),(),(),(222zyxEzyxzyxVH )()()(2)()

4、()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx ),(),(),(222zyxEzyxzyxV),()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ ),(),()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxd EzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX )(21)(21)(21322222221222 )()()(),(321zVyVxVzyxV 设设：)()()(),zZyYxXzyx （等等式式两两边边除除以以 )()

5、()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx 其中其中zyxEEEE )()()(),(zZyYxXzyx 令令：（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数 axaxxV|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简

6、化为：简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExVxdxdxExxVxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，表示， 其上的波函数分别为其上的波函数分别为 I I(x),(x),IIII(x) (x) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为：

7、2 2 xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC 2121)sin( 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd （3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件xIeC 1 从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。 .0),sin(,0IIIIIIxA 则解为：则解为：)(222EV 00lim)(1 IaIeCa 所所以以0 III 同同理理：-a

8、0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立； 2 2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。使用标准条件使用标准条件 3 3。连续：。连续： 2 2）波函数导数连续：）波函数导数连续： l在边界在边界 x = -ax = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：因为： l若若I I(-a)(-a) = = IIII(-a)(-a) ， 则有，则有，0 = A cos(-a + ) 0 = A cos(-a + ) l与上面波函数连续条件导出的结果与上面波函数连续条件导出的结果 A s

9、in(-a + )= 0 A sin(-a + )= 0 矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。续。, 0)sin()()( aAaaIII1 1）波函数连续：）波函数连续：.0),sin(,0IIIIIIxA. 0)sin()()( aAaaIIIII-a 0 aV(x)IIIIII0)sin(0)sin(aAaA )2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin( aAaAaAaA(1)+(2)3(0sin)cos( a)4(0cos)sin( a(2)-(1) 0cos0sina

10、0sin0cosa 两种情况：两种情况：1cos00sin. 则则I由（由（4 4）式）式0sin a ),2,1,0( nanna E222 因因nEananE 22222222222 所以所以xanAxAIIn sinsin 22222 anEn xanAIIn sin ),2,1,0( n讨论讨论 00sin00000 xAEnII ，时：时：当当xakAxakAknIIk sinsin 时：时：当当状态不存在状态不存在描写同一状态描写同一状态所以所以 n n 只取正整数，即只取正整数，即),2,1( n于是：于是： ,2,1sin0nxanAIInIIIIn xanA22sin 或或2

11、2228)2(anEn 于是波于是波函数：函数： xanAxanAxAxAIInIIIIn 212coscoscos)2sin(0211sin20cos. 则则II由（由（3 3）式）式0cos a ),2,1,0()21()21( nanna 222222228)12()21(22ananEn 所以所以类似类似 I I 中关于中关于 n = n = m m 的讨论可知：的讨论可知：),2,1 ,0( n 0sin0cosa )3(0sin)cos( a 奇奇数数。的的偶偶数数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222 综合综合 I I 、II II

12、 结果，最后得：结果，最后得：对应对应 m = 2 nm = 2 n对应对应 m = 2n+1m = 2n+1能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，围，在无限远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4 4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数 A Adxdxdxdx

13、IIIaIImaaIam2222| dxIImaa2| oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos|12sin|2222 （取取实实数数）得得：aAaA11|2 小结小结 由无穷深方势阱问题的求解可以看由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解出，解S S方程的一般步骤如下：方程的一般步骤如下：l一、列出各势域上的一、列出各势域上的S S方程；方程； l二、求解二、求解S S方程；方程； l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；能量本征值； l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。四、

14、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有正宇称称波函数具有正宇称（或偶宇称或偶宇称）；),(),(trtr 称波函数具有负宇称称波函数具有负宇称（或奇宇称或奇宇称）；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。（四）讨论（四）讨论一维无限深一维无限深 势阱中粒子势阱中粒子 的状态的状态,3,2,18.|,

15、2cos1;|,2sin1;|0222 nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn 其其能能量量本本征征值值为为：（2）n = 0 , E = 0, = 0，态不存在，无意义。，态不存在，无意义。 而而n = k, k=1,2,. xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin 可见，可见，n n取负整数与正整数描写同一状态。取负整数与正整数描写同一状态。（1 1）n = 1, n = 1, 基态，基态， 与经典最低能量为零不同，与经典最低能量为零不同， 这是微观粒子波动性的表这是微观粒子波动性的表 现，因为现，因为“静止的波静止的波”是没是没 有意义的。有意义的。aEn 822 （4 4）n n* *(x) = (x) = n n(x) (x) 即波函数是实函数。即波函数是实函数。 .|,2cos1;|,2sin1;|0)