（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点20以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题（教师版）

1、（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点20以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题（教师版）三年真题重温】1.【2011新课标全国理，20】在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线() 求的方程；() 为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值2.【2011 新课标全国文，20】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上() 求圆的方程；() 若圆与直线交与，两点，且，求的值3.【2010新课标全国理，20】设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程.4.【2010新课标全国文，20】设

2、,分别是椭圆E：+=1（0b1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，成等差数列。（）求（）若直线的斜率为1，求b的值。 5. 【2012新课标全国文理】（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值。 【命题意图猜想】1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理科一般以椭圆或抛物线为背景，而文科一般以椭圆为背景进行综合考查，由于双曲线的弱化，故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑.在2011年理科高考试题以求曲线的轨迹为抛物线为背景，结合导

3、数的几何意义考查最值问题，而在2010年以椭圆为背景，结合等比数列考查曲线的离心率和方程，故以椭圆还是以抛物线为背景有隔年的命题特征，2012年高考文理为同一道题目，以抛物线和圆相结合进行考查，猜想2013年很可能以椭圆为背景，考查探索性问题或定值、定点等问题；2011年文科试题以抛物线为背景，考查圆的方程，在2010年以椭圆为背景考查椭圆的定义和弦长公式等内容，难度比理科要低。猜想2013年文科试题以椭圆为背景考查椭圆的几何性质或方程.2.圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数

4、学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化3.从近几年高考来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，主要以解答题的形式出现，考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程，其关键是找到与任意点有关的等量关系轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求预测2012年高考仍将以求曲线

5、的方程为主要考点，考查学生的运算能力与逻辑推理能力【最新考纲解读】1圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质(4)了解圆锥曲线的简单应用(5)理解数形结合的思想2曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想【回归课本整合】1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.注意：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨

6、迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹。2直线和椭圆的位置关系（1）位置关系判断： 直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到的形式（这里的系数A一定不为0），设其判别式为，（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；（3）相离：直线与椭圆相离；(2弦长公式：（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦

7、问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.3.与焦点三角形相关的结论椭圆上的一点与两焦点所构成的三角，通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，设,则在椭圆中，有以下结论：(1)，且当即为短轴端点时，最大为；（2）；焦点三角形的周长为； (3)，当即为短轴端点时，的最大值为；4.直线和抛物线的位置关系（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组，消掉y，得到的形式，当，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴并行，此时与抛物线只有一个交点，当设其判别式为，相交：直线与

8、抛物线有两个交点；相切：直线与抛物线有一个交点；相离：直线与抛物线没有交点.注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,，则有,.（3） 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点,反之亦成立.5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标.建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点.没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标

9、系.2、现(限)：由限制条件，列出几何等式.写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确.3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式.要注意同解变形.5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.【方法技巧提炼】1.直线与椭圆的位置关系 在直

10、线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.2.如何利用抛物线的定义解题（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；（2）求最值问题：主

11、要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.3.求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标(

12、x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.4.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知

13、识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.

14、所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实

15、数,等于已知三点共线；（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；（8）给出,等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三

16、角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线。7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量8解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的

17、关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理。【考场经验分享】1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y轴上4直线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行5在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中，x，y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”6.作为解答题

18、的倒数第二个，试题的难度较大，也体现在计算量上尤为明显，同学们解题时往往会思路，但是算不对，对此，建议如下：（1）第一问保证其准确性，如求轨迹方程，曲线方程，或者几何性质等，因为第二问往往以第一问为基础，故第一问要舍得花时间去验证一下；（2）对于第二问，往往就是曲线与直线联立，建立方程组，得到判别式，韦达定理，等这些都已成立模式，故根据题意能够顺利得到这些关系，即使思路无法进行，也要准确的放在卷面上，一般它们都要占到部分分数；（3）如果涉及到直线方程的探索，特别注意斜率不存在的情况，有时一些定值定点问题，可以通过这种特殊情况直接得到.【新题预测演练】1.【江西师大附中、鹰潭一中2013届四月高

19、三数学】已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围.2. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；（2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。3.【南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的

20、焦距为2，且过点.求椭圆的方程；若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点（）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；（）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 4【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分） 如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且已知椭圆D：的焦距等于，且过点( I ) 求圆C和椭圆D的方程； () 若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补5.【陕西省宝鸡市2013届高三3月份第二次模

21、拟考试】（本小题满分14分）如图，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，线段的中点分别为,是面积为的等边三角形。求该椭圆的离心率和标准方程；设圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点做存在斜率的直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由。6.【河北省唐山市20122013学年度高三年级第一次模拟考试】已知椭圆C1：和动圆，直线l:y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B.(I)求r的取值范围；(II )求|AB|的最大值，并求此时圆 C2的方程. 7.【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】已知直线l1：4x:3y6=0和

22、直线l2：x，.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(I )求抛物线C的方程；(II)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且AA1，BB1都垂直于直线l2，垂足为A1，B1，直线l2与y轴的交点为Q，求证：为定值。8.【2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）3月】已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点.求椭圆的方程；是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由. 9.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】已知椭圆

23、的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.(I)求椭圆的方程;(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.10.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】(本题满分14分) 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且（）求椭圆的离心率；（）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；（）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围11.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】（本小题满分13分）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为直线与y轴交于点，与椭圆C交于相异两点