计量之联立方程组模型

1、1第六章联立方程组模型Simultaneous Equations Models2第一节基本介绍一，古典回归中我们假设解释变量x和干扰项是不相关的，本章我们将放开这一假设。 在现实中，x和不相关的假设很难维持，此时需要联立方程组模型来解决。 最典型的例子是需求和供给函数模型。3 假设需求函数为： q= +p + 需求的变动分两种情况：沿着需求曲线的变动及需求曲线的移动（changes along the demand curve and shift of the demand curve),前者是由于价格的变动导致的，后者是影响需求的其他因素变化时所导致的，例如收入的增加时，会导致需求曲线向右

2、移动，反之则向左移动。 4 在需求函数模型中，影响需求变化的其他因素如收入、偏好及其他商品价格等均包括在干扰项中。 当影响需求的其他因素变化时，会发生变化，从而导致需求曲线的移动 一般情况下，需求的变动会根据供给曲线的形状的不同而产生不同的结果5 几种变化 q D2 S D1 p1 p2 p6 q D1 D2 S p1 p2 p 7 q S D1 D2 p8 前两个图中，即当供给曲线为向上倾斜以及水平时，影响需求的因素变化，例如收入增加时，干扰项发生变化，需求曲线向右移动，我们发现价格也因此发生了变化。 表明干扰项和解释变量不是不相关的9 因此, 供给曲线的形状对需求的研究具有重要的作用，研究

3、需求函数时，也要将供给函数一起考虑进去，这样的模型就是联立方程组模型。二，联立方程组中的标准化问题例如在上面的需求函数中，q= +p + 也可以写成 p= +q + , 分别将上面两个模型称为以q和p为标准化的方程。有时，两个方程不能互换。互换的条件是 和不能等于零10三，内生变量和外生变量 联立方程组模型中变量被分为两类：一类是 内生变量（Endogenous Variables),即由模型决定的变量，也被称为联合决定变量。另一类是外生变量(Exogenous Variables),是由外部因素决定的变量，也叫事先确定变量，因此和误差项是不相关的。11 例如：需求函数模型：q=a1+b1p+

4、c1y+ 1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2R+ 2，q为数量，p为价格，y为收入，R为降雨，其中y、R为外生变量，q、p为内生变量12第二节联立方程组模型的识别问题 一，所谓识别问题指联立方程组模型的参数是否可以估计，如果通过一定的方法得到参数的一致估计量，就称该方程是可以识别的。如果能得到参数唯一的一组估计值，我们称其是完全可识别的。如果得到不止一组估计值，称之为过度识别。无法得到参数的估计值时，称为不可识别。下面我们介绍判断联立方程组模型是否可识别的几种方法。13间接最小二乘法（Indirect Least Squares，ILS)使用前面的例子：需求函数模型：q=a1+b1p+c

5、1y+ 1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2R+ 2，将上述模型中p和q来分别Y和R表示，求解得到：q =(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y-(c2b1/b2-b1)R+误差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y-(c2/b2-b1)R+误差14 最初的需求函数和供给函数模型被称为结构方程（Structural equations) 根据标准化的方程被称为约简方程（Reduced form equations) q=1+2y+3R+v1 P= 4+5y+6R+v215 1= (a1b2-a2b1/b2-b1) 2= (c1b2/b2-b1) 3=

6、 -(c2b1/b2-b1) 4= (a1-a2/b2-b1) 5= (c1/b2-b1) 6= -(c2/b2-b1) 我们通过间接最小二乘法得到了结构方程所有参数的唯一一组估计值，16 估计约简方程，可以得到结构方程的参数， b1hat= 3hat/ 6hat b2hat=2hat/ 5hat c1hat=-5hat(b1hat - b2hat) c2hat= 6hat(b1hat - b2hat) a1hat= 1hat- b1hat 4hat a2hat=1hat- b2hat 4hat 这种方法由于是通过约简方程间接得到原来模型即结构方程的参数估计值，因此被称作间接最小二乘法.我们把

7、这种得到唯一一组解的情况称为完全可识别。下面我们再看一下其他的情形17假设：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+ 1，供给函数模型：q=a2+b2p+ 2，约简方程为：q =(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y+误差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+误差181= (a1b2-a2b1/b2-b1)2= (c1b2/b2-b1)3= (a1-a2/b2-b1)4= (c1/b2-b1)因此可以得到：b2hat=2hat/ 4hata2hat=1hat- b2hat 3hat但是无法得到需求函数的参数估计值即a1 b1 c1供给函数是完全可识别的

8、，需求函数不可识别19再假设：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+ d1R+ 1，供给函数模型：q=a2+b2p+ 2，约简方程为：q =(a1b2-a2b1/b2-b1) (c1b2/b2-b1)y (d1b2/b2-b1)R+误差P=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y + (d1/b2-b1)R+误差20得到b2hat=2hat/ 5hatb2hat=3hat/ 6hat对应的a2hat=1hat- b2hat 4hat也有两个解，供给函数是过度识别，需求函数依旧不可识别21例题1，根据美国19221941年猪肉供给和需求建立下列模型：需求函数模型：q=a1+b1p+c

9、1y+ 1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2Z+ 2，其中z是影响猪肉生产的事先确定的变量。估计的约简方程为：q=0.0026 0.0018y +0.6839Zp= -0.0101 +1.0813y 0.8320Z22 b1hat= 3hat/ 6hat =-0.6839/0.8320=0.8220 b2hat=2hat/ 5hat =-0.0018/1.0813 =-0.0017 c1hat=-5hat(b1hat - b2hat) =-1.0813(-0.8220+0.0017) =0.887023 c2hat= 6hat(b1hat - b2hat) =-0.8320(-0.8220

10、+0.0017)=0.6825 a1hat= 1hat- b1hat 4hat =0.0026-(-0.8220*-0.0101)=0.0057 a2hat=1hat- b2hat 4hat =0.0026-(-0.0017*-0.0101)=0.0026所以结构方程为：q=-0.0057-0.8220p+0.8870y （需求函数）q=0.0026-0.0017p+0.6825Z （供给函数24练习1，结构方程为：y1t=a1+b1y2t+c1x1t+1ty2t=a2+b2y1t+c2x2t+ 2t估计的约简方程为：y1t 4+3x1t+8x2ty2t 2+6x1t+10 x2t求结构方程的

11、参数25识别的必要条件阶的条件（Order condition)假设g是联立方程组模型中的内生变量的个数，k是所要判断的方程中所缺少的变量的个数（包括内生变量和外生变量），判断的规则如下：1，如果k=g-1，该方程是完全可识别的；2，如果kg-1，该方程是过度识别的；3，如果kg-1, 该方程是不可识别的;26使用前面使用过的例子来判断例子1，两个内生变量，所以g-11，每个方程均缺少一个变量，所以k=g-1，都是完全可是别的，例子2，两个内生变量，g-1=1,需求函数，没有缺少变量，k01,所以是不可识别的。供给函数，缺少一个变量，k=g-1，所以是完全可识别的。27 例子3，内生变量两个，

12、g-1=1,需求函数没有缺少变量，0g-1，所以是过度识别。判断的结果和我们前面使用间接最小二乘法判断的结论相同。但是阶的条件的判断方法比间接最小二乘法简单得多。28识别的充分必要条件秩的条件(rank condition)我们用表示某变量在该方程中出现，0表示没有出现，例如：假设有三个内生变量y1,y2,y3, 三个外生变量 z1,z2,z3，我们可以表示成下表：方程 y1 y2 y3 z1 z2 z3 1 0 0 * 2 0 0 0 3 0 029识别的规则如下：1，考察哪一行（即判断哪一个方程)，就删掉哪一行；2然后把这一行中元素为零所对应的列选择出来，组成一个新的行列式；3，如果在新的

13、行列式中，有g-1行和列不全为零；即g-1g-1的非零行列式那么该方程就是可以识别的。30例如，先看方程1，0所对应的列组成的行列式为： 0 0 已知g-12，应至少有22的非零行列式，上式不满足条件，所以该方程是不可识别的。31方程2，新的行列式为 0 0 0 该方程是可以识别的方程3， 新的行列式为： 该方程也是可以识别的32阶的条件不仅判断方程是可识别的，还阐明方程是完全可识别的还是过度识别，而秩的条件只能说明方程是否是可识别的。33第三节 联立方程组的估计问题 联立方程组的估计方法分为：1，对单个方程的估计方法，又称有限信息法；2，系统方程估计法，又称完全信息法，我们只讨论第一种方法，

14、即我们的估计将一个方程一个方程的进行。一，间接最小二乘法（略)二, 工具变量法34二，工具变量法（the instrumental variables method, IV法） 所谓工具变量是指与误差项无关但是与解释变量有关的变量， 例如模型y= x +因为解释变量和干扰项是相关的，所以不能直接使用最小二乘法，但是如果我们能找到一个变量例如z，z与无关，但是与x相关，即Cov(x,z) 0,cov(z, ）=0,我们就可以得到参数的一致估计量35cov(z, ）=0，所以根据样本所对应的为：1/n z =0 1/n z(y- hat x )=0 hat= zy/ zx= z ( x +) /

15、zx= + z / zx1/n z 1/n zx36 上式在n趋于无穷时，等于0。所以通过工具变量，我们得到了参数的一致估计量。 下面我们来介绍如何选择工具变量。37 工具变量的选择有两种方法：1，用所要估计的方程之外的外生变量作为改方程的工具变量；2，使用yi的拟合值作工具变量。 下面我们分别介绍工具变量估计参数的方法。38三，两阶段最小二乘法（ the Two- Stage Least Squares Method, 2SLS)步骤如下：1，估计约简方程，得到内生变量yi的拟合值。2，用相应的内生变量的拟合值代替等式右侧的内生变量，然后再使用最小二乘法。工具变量法合两阶段最小二乘法的不同在

16、于，前者使用内生变量的拟合值作为工具变量，二后者把内生变量的拟合值作为解释变量。39两种方法的共同之处在于，都可以得到参数的一致估计量。下面我们来证明这一结论。40第四节最小二乘估计的结果 考虑简单的凯恩斯收入决定模型 消费函数： ( 1) Ct=0 + 1Yt + t 收入恒等式 (2) Yt= Ct + It 将(1)式代入(2)式 Yt= 0 + 1 Yt + t +It41 (3) Yt= 0 / 1- 1 + It / 1- 1 + t/ 1- 1 (4) E(Yt) = 0 / 1- 1 + It / 1- 1 (3)-(4) Yt - E(Yt) =t/ 1- 1 Cov(Yt

17、t)=EYt - E(Yt) t E(t) =E(t2)/1- 1 =2 /1- 1 42 2是0的,所以Yt t的协方差不等于零. 按照简单回归公式(OLS): 1 hat= 1 +yt t /yt2, yt为离差. E(1 hat) = 1 +E yt t / yt2 第二项不等于零,所以最小二乘估计的结果是有偏的.43 我们可以看到, 1 hat的概率极限也不等于它的真值.不管样本多么大, 1 hat都是有偏误的. n趋于 无穷大时, Plim(1 hat) = 1 +plim(yt t /n)/plim(yt2/n) 随着n的增大, Y和的样本协方差将逼近总体真实的方差,而Y的样本方差也将逼近其总体方差.44 Plim(1 hat) = 1 +plim(yt t /n)/plim(yt2/n) = 1 +2 /1- 1 / 2 y45作业1结构方程为：y1t=a1+b1y2t+