江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文

1、江西师范大学0*届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文高*作用The Effect on *题目：含中文题目、外文题目学生基本信息：学生姓名、学号、所在学院、所学专业。指导教师基本信息：指导教师姓名及职称。完成时间：毕业设计（论文）定稿时间姓 名： * * * 学 号： * 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师：* * * （副教授）完成时间：200*年*月*日 4页眉：江西师范大学09届学士学位毕业论文高*作用标题字体：黑体、三号程*【摘要】“以例外证明规律”是人们共所周知的格言在数学的发展史上，反例与证明占有同等重要的地位，对于一个正确的猜想或

2、数学命题需要严密的证明，*作用及其重要性内容字体：宋体、小四号【关键词】多项式 矩阵 线性空间 反例字体：宋体、四号、粗体边框：黑体方头括号摘要字数：200-400字左右，关键词个数：约3-5个The Effect on*标题字体：Times New Roman、三号Cheng Shuilian字体：Times New Roman、小四号【Abstract】The proverb “use exception to prove the rule” is well-known to all. In the history of mathematics, the counterexample an

3、d the certificate hold the equally important* *according to the authors experience of studying the advanced algebra curriculum. 【Key words】multinomial matrix vector space counterexample 英文摘要另起一页，内容应与中文摘要相同。英文“摘要”单词统一为“Abstract”,英文“关键词”词组统一为“Key words”。 字体：Times New Roman、四号、粗体边框：黑体方头括号目录1 引言12 反例可以加

4、深对概念、性质的理解2理工科建议采用该种格式 2.1矩阵运算性质中的反例22.2线性相关概念的理解33 反例可以帮助对定理的理解和掌握7 3.1多项式中的*7 3.1.1*中的反例8 3.1.2*中的反例94 反例可以帮助对定理条件的分析104.1关于多项式的反例114.2 关于集合、数学归纳法的反例114.3 线性变换中的反例125 反例可以判定定义中条件的独立性13 5.1 线性空间公理化定义13 5.2 例子146 小结15参考文献16致谢16题序和标题间空1格，不加标点，黑体字三号 1 引言题序和标题间空1格，不加标点，黑体字四号美国有位数学家曾说过：“冒着过于简单的风险，我们可以说数

5、学是由两大类证明和反例组成，而数学的发现也是朝着这两个主要目标提出证明和构造反例”事实上数学的真理知识就是在提出命题、肯定和否定命题的过程中发展的，由于数学中有些命题来自经验的归纳或是由少数特例提出的猜想；有些命题是从某个角度或某个侧面的推测而提出来的，并非每个命题都一定正确，所以对命题的正确性必须严格地加以证明，要肯定一个命题必须在题设条件下，对所有可能的情形证明结论为真；要否定一个命题，只要举出符合题设条件而结论不真的例子反例就可以了对于高等代数的命题来说，给出证明和构造反例同样重要，以下选择了高等代数中部分命题反例构造进行分析以帮助对这些命题的深刻理解2 反例可以加深对概念、性质的理解2

6、.1 矩阵运算性质中的反例正文字号为小四号，字体为宋体，行间距为固定值20。正文字数不少于5000字。 我们知道线性代数中很多问题都可以归结为矩阵问题（比如：坐标变换、二次型、线性方程组、线性变换等）来解决，所以矩阵是线性代数的一个重要工具在定义了矩阵及其运算后，为了加深对矩阵概念和性质的理解，我们通常用数的运算作对比，对于相同的性质就可以联系起来理解，而对于不同性质就可以举反例来加深印象 根据矩阵的加法、乘法、数乘等运算的定义可知，矩阵的运算和数的运算有很多相同之处，也有很多的不同之处，以下给出一些矩阵的特殊之处（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般 有意义，不一定有意义一般来说，有意义，当时，

7、没有意义 和都有意义，但它们的阶数不一定相等一般来说，与都有意义，当时，它们的阶数不等 和都有意义且阶数也相等，也不一定等于例如设，则，可见由以上三点可知矩阵乘法不满足交换律由于矩阵乘法不满足交换律而导致矩阵对加法有左、右分配律两条运算性质；幂的运算也具有数乘运算的性质（如一般不成立），又线性变换用矩阵来研究，因此就很容易记住线性变换的运算也相应不满足此性质但是当成立，而是的一个公因式时，一定是的最大公因式定理2（艾森施坦因Eisenstein判别法） 设是一个整系数多项式，如果有一个素数使得： （）不整除； （）； （）不整除那么在有理数域上是不可约的若对于某一多项式找不到这样的素数，那么可

8、能在有理数域上可约，也可能不可约反例 对于多项式与来说，找不到一个满足判别法条件的素数，但显然前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项式不可约所以Eisenstein判别法不是对所有整系数多项式都能应用的，因为满足判别法中条件的素数不总存在3.2 线性方程组中的反例定理3 （1）如果向量组有一个部分组是线性相关的，那么这个向量组也是线性相关的（2）线性无关向量组的任一个部分组都是线性无关的但反之不成立反例 在中向量组是线性相关的，但是它的任一个真部分组都是线性无关的，而且这个向量组也说明了即使一个向量组的任一个真部分组都是线性无关的，它本身也可能是线性相关的定理4 等价的向量组必有相同的秩，

9、但有相同秩的向量组未必等价反例 向量组与向量组的秩都是2，但不能由线性表示，也不能由线性表示，即它们不等价定理5 （1）如果非齐次线性方程组有唯一解，则其导出组只有零解；反之不成立，即当方程组只有零解时，方程组可能无解（2）若有无穷多解，则必有非零解，反之也不成立引用他人研究成果或结果必须明确加以说明。反例 取为阶可逆矩阵，为的系数阵，显然，因此无解，但由的系数阵的秩为列满秩知必有唯一零解左顶格，黑体，三号 参考文献：1大学数学系几何与代数教研室前代数小组 高等代数（第三版）M北京：高等教育出版社，20032王萼芳高等代数教程（上、下）M北京：清华大学出版社，19973张禾瑞，郝炳新高等代数（

10、第三版）M北京：高等教育出版社，19834谢昌云，谢淑翠，高军安线性代数释疑解惑M陕西：陕西科学技术出版社，20005魏战线，李换琴，魏立线线性代数自学指导与习题精解M西安：西安交通大学出版社，20016徐仲，陆全，张凯院，吕全义，陈芳，袁志杰高等代数导教导学导考（北大第二版M西安：西北工业大学出版社，19997朱一心，海进科，刘蕊，范兴亚线性空间公理化定义研究及反例J首都师范大学学报（自然科学版），2004，25（3）：1-9序号：数字外加方括号；内容：作者，刊名，出版地，版次，出版时间，引用页码范围。若是电子文献，要求有主要责任者，电子文献题名电子文献及载体类型标识.电子文献的出处或可获得地址、发表或更新日期；数量：至少10篇参考文献， 内含1-2篇外文参考文献。8涂松生论反例的作用与构造方法J广西民族学院学报（自然科学版），2000，6（2）：141-1429倪淑琪关于高等代数中反例的研究J安庆师范学院学报（自然科学版），2004，10（2）：52-5310徐言超简析高等代数有关定理的条件反例J莱阳农学院学报，2004，21（1）：81-8