第四章连续时间傅里叶变换

1、1 1系统的频率响应第四章第四章 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换主要内容主要内容连续时间傅立叶变换傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系傅立叶变换的性质2 2 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，本章要解决的问题有两个：信号，本章要解决的问题有两个：4.0 4.0 引引 言言1. 1. 对非周期信号应该如何进行分解？对非周期信号应该如何进行分解？2. 2. 什么是非周期信号的频谱表示？什么是非周期信号的频谱表示？3 3 4.1 4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换本节主要内容本节主要内容非周期信号傅里叶变换公式

2、推导非周期信号傅里叶变换公式推导傅里叶变换的收敛条件傅里叶变换的收敛条件常见信号的傅里叶变换常见信号的傅里叶变换4 4 包络的谱线间隔包络的谱线间隔 ，被采样的间隔越来越小，被采样的间隔越来越小 。一一. .从傅立叶级数到傅立叶变换从傅立叶级数到傅立叶变换 0T0100001022kTkaTTkTkakksinsinab(a)014TT(b) 018TT0020204040kaT0kaT0kaT0当当 周期矩形脉冲周期矩形脉冲: 1101, 0, / 2tTx tTtT 频谱系数为：频谱系数为：4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示5 5 周期趋近于无穷大时，即周期趋近于无穷大时，即 时，原

3、来时，原来的的周期方波就趋近于一个矩形脉冲周期方波就趋近于一个矩形脉冲，此时傅里，此时傅里叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里叶系数的采样间隔也越来越密集，因此，傅里叶系数更加趋近于包络函数。叶系数更加趋近于包络函数。0T非周期信号傅里叶表示的基本思想：非周期信号傅里叶表示的基本思想： 把非周期信号当作一个周期信号在周期任意把非周期信号当作一个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶表示式的极限特性。叶表示式的极限特性。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示6 6它在 时可以是有限的。周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个

4、矩形脉冲信号，即 txtx)()(tx:周期性矩形脉冲信号； tx:等于一个周期内的 ，具有有限持续期。)(tx dtetxaTtjkTTk000220，时当0T考查 的变化:kaT00T0T令由4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示7 7得即 j tXjx t edt表明：表明：1.而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络； 2.周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号周期信号的频谱系数，是与它对应的非周期信号 频谱的等间隔样本，并与之成正比。频谱的等间隔样本，并与之成正比。周期延拓后周期信号的频谱系数 dtetxaTtjkkT000lim00001

5、1kkaX jX jkTT非周期信号的傅立叶变换非周期信号的傅立叶变换)(令jX4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 具有频谱随频率分布的物理含义，因而称其为频谱密度函数。0000,00()limlimkkTTfaX jTaf8 8 ktjkktjkktjkkejkXejkXTeatx0000000211根据周期信号的傅立叶系数表示：当0T 时，002,dT0,k于是1( )()2j tx tX jed txtx)(傅里叶逆变换傅里叶逆变换dejXtxtj21)(此时4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 上式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续上式表明，非周期信号可以分解成无数多

6、个频率连续分布的、振幅为分布的、振幅为 的复指数信号之和。的复指数信号之和。djX219 9 和傅立叶级数的收敛条件一致，也有相应的两组条件：表明表明: :能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。能量有限的信号其傅立叶变换一定存在。1.1.平方可积条件平方可积条件二二. .傅立叶变换的收敛傅立叶变换的收敛 若2( )x tdt ，则 存在()X j4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 1( )()2j tj tX jx t edtx tX jed傅立叶变换对公式：傅立叶变换对公式：1010b. 在任何有限区间内， 只有有限个极值点，且 极值有限。( )x t c. 在任何有限区间内， 只有有限

7、个第一类间断点。( )x t 和周期信号的情况一样，当和周期信号的情况一样，当 的傅立叶变换存在，其傅的傅立叶变换存在，其傅立叶变换在立叶变换在 的连续处收敛于信号本身的连续处收敛于信号本身, ,在间断点处收敛于左在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生右极限的平均值，在间断点附近会产生GibbsGibbs现像。现像。( )x t( )x t2. 2. DirichletDirichlet 条件条件( )x t dt a. 绝对可积条件：( )x t注意：这些条件只是傅立叶变换存在的充分条件，这两组条件并不等价。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示1111三、三、 常用信号的傅

8、立叶变换：常用信号的傅立叶变换：例例1 1.( )( ),0atx te u t a实信号，求傅立叶变换，画出其模、相位特性图。0()atj tX je edt1221(), ()X jX jtgaa则模：相位：( )x tt01aa01/a()X j22a22aa()X j dtetxjXtj解:4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示0atj tteeaj1aj1212例例2.2.( ),0atx tea ，求其傅里叶变换。结论结论: :实偶信号实偶信号的傅立叶变换是的傅立叶变换是实偶函数实偶函数, ,如图如图示信号的频谱。示信号的频谱。 ()()X jX j则模：( )x tt1000(

9、) atj tatj tX je edte edt解：()0X j()X j2a1aaa0220112()atj tatj taX je edte edtajaja4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示1313例例3.3.( )( )x tt，求其傅里叶变换。 ()( )1j tXjt edt解： 这表明 中包括了所有的频率成分,所有频率分量的幅度、相位都相同。因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。0( ) tt()X j0( ) t( )h t( ) t14.1 非周期信号的表示非周期信号的表示1414例例4.4.求矩形脉冲的傅里叶变换

10、:111, ( ) 0, tTx ttT。111111111122()2()2()Tj tTSin TTSin TTX jedtTSaTTSincT解：将 中的 代之以 再乘以 ,即是相应周期信号的频谱。()X j0k01T011101000122()kSinkTTTaSa kTTTkT( )x tt1T1T10( )x tt12T12T10()X j01T12T12T()X j12 T14T脉宽变宽时4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示1515例例5.理想低通滤波器()X jWW10( )x ttW0W1 ( )()()2Wj tWSinWtWWWtx te dSaWtSinct1( )

11、()2j tx tX jed解：由1, () 0, WX jW，求其时域表达式。4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示16164.1 非周期信号的表示非周期信号的表示结论：信号在时域和频域之间有相反关系结论：信号在时域和频域之间有相反关系, ,即信号即信号在时域脉冲越窄在时域脉冲越窄, ,则其频谱主瓣越宽则其频谱主瓣越宽, ,反之亦然。反之亦然。对偶情况如下图所示对偶情况如下图所示: :1717分析：分析：1 1）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求；）不满足收敛条件，不能由傅立叶变换公式求； 2 2）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域）该信号在时域持续无限长，根据上例，在频域 可能

12、无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号；可能无限窄，即傅立叶变换可能是冲激信号； 3 3）用频域的一个冲激信号）用频域的一个冲激信号 ，求对应时域信号。，求对应时域信号。 可以想象，如果 ， 将趋向于一个冲激；反之时域无限长时，频域可能是个冲激。 例例6 6：求 的傅立叶变换 。 1x tXj 1122j tx ted 12FTx t 12FT 1( )()2j tx tX je d解：由傅氏反变换公式：，的时域信号为:4.1 非周期信号的表示非周期信号的表示 18184.24.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换 周期信号不满足收敛条件, 不能用4.1节非周期信号的傅立叶变换公式求其傅里叶

13、变换。 但是周期信号在时域的持续时间是无限长的，那么其频域可能是一系列的冲激，而原点处的冲激对应的是常数（课件4.1节例6所示），所以这里观察频移的冲激 对应的时域信号。02 1919频移的冲激信号：傅立叶反变换得： tjtjedetx0022102jX表明：周期性复指数信号的频谱是一个冲激。002Fjktek 00( )2()Fjktkkkkx ta eak 即周期信号的傅立叶变换为：即周期信号的傅立叶变换为：0()2()kkXjak 这表明这表明, ,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成, ,每一个冲激分别每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处位于信号各

14、次谐波的频率处, ,其强度正比于傅立叶级数系数其强度正比于傅立叶级数系数 。ka002Fjte 4.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换2020例例1 1：0001( )2jtjtx tSinteej00() ()()X jj ()X j00jj0求周期信号解解：的傅里叶变换。0()2()kkX jak 代入周期信号的傅立叶变换公式：4.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换1-111( )=022kk-x taaaajj的频谱系数 为：，其他例例2.2.0001( )cos2jtjtx ttee求1-11=02ka aa，其他，则00() ()()X j 的傅立叶变换。解解：()X

15、 j000例例2.2.0001( )cos2jtjtx ttee求的傅立叶变换。例例2.2.2121例例3.3.( )()nx ttnT求的傅立叶变换。22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT解：22 ()()kX jkTT 0()2()kkX jak 4.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换2222例例4.4.周期性矩形脉冲的傅里叶变换。周期性矩形脉冲的傅里叶变换。0()2()kkkX jaka 解：由，先求4.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换2323周期信号的傅立叶变换存在条件：周期信号不满足无穷时间内的绝对可积条件； 引入冲激信号后，周期信

16、号的傅立叶变换是存在的；周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激。4.2周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换24244.3 4.3 连续时间傅立叶变换的性质连续时间傅立叶变换的性质 讨论连续时间傅立叶变换的性质, 揭示信号时域、频域特性间的关系,同时掌握和运用这些性质，以简化傅立叶变换对的求取。 j jFFx tXy tY 一一. .线性线性如果 jb j b YaXtytax 则二二. .时移时移 jXtx如果00teXttxjj 则表明：信号的时移只影响表明：信号的时移只影响它的相频特性，其相频特它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。性会增加一个线性相移。4.

17、3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质2525三三. .共轭对称性共轭对称性 , jXtx如果 j- Xtx则证明： j dtetxXtj dtetxdtetxXtjtjj 1. 若 tx是实信号， txtx txFdtetxXtjj- 即得证。则jj-XX两边同取共轭在上述结论的基础上，有如下推论：4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质2626 用直角坐标表示实信号频谱jImjRejXjXXj-Rej-RejReXXX实部偶函数j-Imj-ImjImXXX虚部奇函数 用极坐标表示实信号频谱：jjjXjeXX则由j-j-jXXXjj-XX由由，傅里叶变换的实部和虚部分别

18、为：jj-XX得j-j-j XXX即相位是奇函数即模是偶函数jX4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质27272. 若 txtx信号是实偶函数，则 jdtetxXtj j- Xdexdtetxjtj表明：偶信号的傅里叶变换是偶函数对实信号j j- XXj X是关于的实偶信号结论：实偶信号的傅里叶 变换是实偶函数3. 若 txtx信号是实奇函数，则其傅里叶变换有()()X jXj*()()X jXj 结论：实奇信号的傅里叶变换是纯虚的奇函数对偶函数4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质j -jXX28284. 若实函数用奇、偶函数之和表示( )( )( )eox tx

19、 tx t由傅里叶变换的线性：对偶函数部分：傅里叶变换是一个实数对奇函数部分：傅里叶变换是一个纯虚的奇函数且有且有jjjoeXXX jeeXtxjRejXXejImjXjXo jooXtx4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质2929例:求 的频谱。( )u t( )( )( )eou tu tu t01( )21( )( )2eu tu tSgn t，10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt0( )0ttetf tet(其中0)提示：符号函数sgn(t) 可看作是下述函数在取极限趋近0时的一个特例:4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性

20、质性质解：3030解:实部的傅里叶变换为：由于虚部傅里叶变换为：信号的傅里叶变换为：4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3131四四. .时域微分与积分时域微分与积分()()x tX j( )()dx tjXjdt时域微分特性时域微分特性(提示：1( )()2j tx tX jed两边对 微分)t例：例：已知由时域积分特性可得( )u t 1( )()(0)()txdXjXj 时域积分特性时域积分特性若则1t 1dtettFtj提示：4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质1()j 3232五五. .时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换若( )()x tXj则1

21、()()x atX jaa当 时,有1a( )()xtXj 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其频域带宽相应压缩 a 倍，反之,信号在时域中压缩a倍，则其带宽相应扩展a 倍。其含义：信号的波形在时域中压缩a倍，即信号随时间变化加快a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，所以频谱展宽a倍。 从理论上证明了时域与频域的相反关系。4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3333时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3434六六. .对偶性对偶性 -xjtX2若若( )()x tXj则则证明证明4.3 连续时间连续时间傅立

22、叶变换傅立叶变换性质性质3535jFjF4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3636由对偶关系，可以方便地将时域的某些特征对偶到频域。例如：从时移到移频。由对偶性质 j 2-x tXX jtx ; e-0t-jxttjX20右边时移得再次对偶得 022x tX j0-j t- e ；由反转性质 j - ;x tXx tXj 0j t0ex tX j 这就是移频特性。4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3737七七. . 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理若 , jXtx则则表明：信号能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。表明：信号能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。

23、2 jX表示了信号能量在频域的分布，因而称其为表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量能量谱密度谱密度”函数。函数。4.3 连续时间连续时间傅立叶变换傅立叶变换性质性质3838 4.4 卷积性质 jXjXtxtxjXtxjtx21212211 ,X)(证明：设 dtxxtxtxty2121 dtedtxxdtetytyFtjtj 21一一. . 卷积性质卷积性质 12j txx tedtd交换积分次序则 jXjXdexjXj1212得证 12jxX jed3939 可以看出，频率响应控制着在每一个频率 上，输入傅里叶变换复振幅的变化。 例如频率选择性滤波器，在一定的频率范围内， 从而通带内

24、的各频率分量通过系统后，其分量不被衰减或变换；在阻带使 ,以消除该频率范围内分量。 x th tX jH j由卷积性质， j tHjh t edt系统频率响应: 1jH0jH4.4 卷积性质卷积性质Y j y t4040 用傅里叶分析法研究LTI系统时， 一般仅限于稳定系统，因为稳定系统的频率响应 才存在。()Hj二二. . 系统互联时的频率响应系统互联时的频率响应: : 1. 级联12( )( )*( )h th th t12()()()H jHjHj1()Hj2()Hj1( )h t2( )h t对不稳定系统的研究，在9章用拉普拉斯变换法讨论。4.4 卷积性质卷积性质2.并联:12( )(

25、 )( )h th th t12()()()H jHjHj2()Hj1()Hj+ +4141三三. LTI. LTI系统的频域分析法系统的频域分析法: : j tH jh t edt4.4 卷积性质卷积性质()()()Y jX jH j已知任意两个，可求第三个量，然后反变换求其时域表达。例例1515.已知LTI系统的单位冲激响应为 求已 知输入为 时系统的响应 。 0,h tt t x t解：解：0j ttt edt0j te0 j tY jX jH jX je 10 y tFY jx t t例例1616.已知微分系统 ，求系统频率响应 Y jY jj X jH jX j.H j( )()dx

26、 tj X jdt解：解：由微分性质 dx ty tdt y t4242例例1717.已知积分系统 ，求系统频率响应。4.4 卷积性质卷积性质 ty tx t dt解：解：由积分性质1( )()(0) ()txdXjXj 11 ()(0) ( ) ( )Y jY jX jXH jjX jj 例例1919.已知输入 和单位冲激响应 求输出。解解: ,0btx te u t b,0athte u t a 11, FTFTbtatx te u th te u tbjaj1 ()Y jX jH jbjaj111b a a jb j 1 ataty t e u te u tb a例例4.184.18参看

27、书参看书P225P2254343卷积性质： 时域卷积-频域相乘利用对偶性：利用对偶性：时域相乘时域相乘-频域卷积频域卷积 4.5 相乘性质: (调制性质) jXjXtxtxjXtxjtx2121221121 ,X)(相乘性质相乘性质幅度调制：幅度调制：两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信号 控制另一个信号的幅度。其中一个信号为载波载波，另一个是调制信号调制信号（有用信号）。4444 jXtxjtx2211 ,X)( 221122xjtXxjtX , 212214xxjtXjtX证明：已知根据对偶性由卷积性质得再次由对偶性相乘性质得证。 - jxjtXXtx24.5 相乘性质相乘性质: (调制

28、性质调制性质)两边同除以 ，并由反转性质可得244545例例1.1.复指数调制复指数调制000( )X,2 ( )jtjtx tjex t e ，求频谱。例例2.2. 正弦幅度调制，正弦幅度调制，其中解： 正弦幅度调制，等效于在频域将调正弦幅度调制，等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。制信号的频谱搬移到载频位置。求调制后信号 的频谱。)()()(tptstr0021jSjR002121jSjS由000tFjPcos)(4.5 相乘性质相乘性质: (调制性质调制性质)000( )X* 2 =Xjtx t ejj 解：4646例例3.3. 同步解调。从上例 中恢复出原信号 。频域滤波002

29、121jSjSjR0000111222S jS j 解：已知这里用正弦信号再次调制： 00021jRttrcos000tF cos tr ts4.5 相乘性质相乘性质: (调制性质调制性质)0024124121jSjSjS4747其中 用一个频率特性为 的系统，即可从 恢复出原信号。 jH tr1 2R jP j4.5 相乘性质相乘性质: (调制性质调制性质)4848例例4.4.中心频率可变的带通滤波器。1 X22XccY jjj tf1W22WccF jjj ecjtc-je tct2 ecjc0010000理想低通滤波器4.5 相乘性质相乘性质: (调制性质调制性质)4949 相当于直接用一个带通滤波器，从 中滤出的频率。表明整个系统相当于一个中心频率为 的带通滤波器，改变 即可实现中心频率可变。 jXcc0cc0c等效带通滤波器等效带通滤波器4.5 相乘性质相乘性质: (调制性质调制性质) 4.6 4.6 傅立叶变换性质与傅立叶变换对列表傅立叶变换性质与傅立叶变换对列表 (P234)(P234)505051515252 4.7 由线性常系数微分方程表征的系统 kkMkkkkNkkdttxdbdttyda00线性常系数微分方程描述的LTI系统：如何从上述微分方程，求出该系统的