2007苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一试卷(浙江省)

1、竞赛数学情况调查测试卷2005年8月27日一、选择题(每题6分，共36分)x21、函数y =(x R, x丰1)的递增区间是()x 1(A) 2,)(C) i ,02、方程 2002x+ 2003x + 2004x = 2005x x(A) 0 个(B) 1 个(B) ( a ,0或2, + s)(D) ( a ,1 2或2 +)2006的实根个数为()(C) 2个(D)至少3个3、 f(x) = asinx + bx + c?ln(x + px2 + 1) + 4 (a,b,c 为实数)，且 f(lglog 310)= 5,那么f(lglg3)的值是()(A) 5( B) 3(C) 3( D

2、)随 a,b,c而变n4、 假设函数f(x) = a2sin2x + (a 2)cos2x的图象关于直线x =三对称，贝V a的值等于()(A)2或 2( B) 1 或1( C) 1 或2( D) 1 或 2coa a cosyacoa 3 cosy5、+ = 1，贝U COSa + cos 3 的值等于()cos( aacos (3 y)(A) 1( B) 2(C),2(D) ¥6、在数列an满足，a1 = 2+ . 3, an+ 2(1 an) = 1 + an，贝U a2005 的值为()(A) 2 +3( B) 23( C)3 2(D) 2 3二、填空题(每题9分，共54分)

3、7、在厶 ABC 中，3sinA + 4cosB= 6,4sinB + 3cosA = 1,那么/C 的度数为 ax8、 函数y=的反函数图象关于点(一1,4)成中心对称，那么实数a=xa 19、一个4元集合S的所有子集的元素和(空集的元素和认为是零)的总和等于16040，贝U S的元素之和等于10、假设 3f(x 2005) + 4f(2005 x) = 5(x 2005)，对所有实数 x 成立，那么 f(x)的解析式是 f(x) = .11、 函数 f(x) = . 2x2 3x + 4+ x2 2x的最小值是 .12、 正整数n不超过2005,并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么

4、，这样的正整数n有个.三、解答题 (每题 20 分，共 60 分)13、函数 y= sinx + asin2xcosx.(1 )当sinx = 1时，求y的值； (2分)18 分(2)假设函数的最大值为1,求实数a的取值范围14、n2(n > 4)个正数排成 n行n列ana12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3na41a42a43a4nan1an2an3ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，ail + a22 + + ann.13 十 ©a24= 1, a42= , a43=，求 S=8 1615、某公司离火车站 4

5、0千米，有 12名该公司的职员出差， 须从公司出发赶到火车站， 他们步行的速度为 4 千米时，当时公司仅有一辆同时可送 4 人的轿车，其速度为 52 千 米时 . 要求在 3 小时内将 12名职员送到车站， 还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车 站买票 . 试问第一批职员最早能比 3 小时提前多少时间赶到车站 .江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷(参考答案)(x 1)2+ 2(x 1) + 111、B 原函数即为y = (x 1) + 2,由对勾函数x Ix I的增减性立知选B.2、 B原方程即为I00! + 2005 + 2004 =x 2006，考查两个函数y =200

6、2 x2003 x 2004 x2002 + 2003 + 2004和y= x 2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象200520052005B.有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选igig3，故3、C 容易判断 f(x) + f( x) = 8，且 lglog 310 = lglg10lg3有 f(lglog 310)+ f(lglg3) = 8,从而 f(lglg3) = 3.选 C4、C 函数 f(x) = a2sin2x + (a 2)cos2xnrn的图象关于直线 x = 对称，那么f( 8)应取得函数的最大值或最小值。所以，cnna2sin( x 2) +

7、 (a 2)cos(石 x 2) = ±.a4+ (a 2)2，由此解得a= 1或一2.选C3cos a+ 2+ cos a 5、 A由题意得3cos a aacos 3 + + cos 31=2,即+ 3cos a+ 23cos a acos 3 + 1，用余弦的和与差公式展开并利用合分比定理，可得acos 3 23cos a cos 23 sin a sin ?asin 3 sin?"_，即332sin1sin_2_cos 3 cosl2acos a cos 3 = 4sin ?sin2 36、C首先易得anM 1,COS a32sin1sin1Q .故cos 3=(1

8、 cos a )(1 cos 3 )，故 cos a+ COS 3 = 1.选 A1 + an r否那么有0= 2的矛盾。所以有an+ 2=，贝y an+4 =1 an1 + an+ 21 an+ 21 + an1 + 1 an1 + an1 _1 an1-a?从而我们可得1an+4 = =an+ 41a，an为周期为8周期数列.故a200512 + ,3：.j' 3 2.选 C_ 1 _=a250x 8+ 5= a5= a4+ 1= = a17、30° 或 150 °两式平方相加，得9 + 16+ 24(si nAcosB + sin BcosA) = 37,即有

9、124sin(A + B) = 12,所以 sinC = 2，故/ C = 30° 或 150°8、3 反函数关于点(一1,4)对称，那么原函数关于点(4, 1),又原函数即为1y= 1-，由平移规律立得其对称中心为(a+ 1, 1)，与(4, 1)比拟得a= 3.x a 19、 2005在求所有子集元素和总和的时候，集合的每一个元素都被重复求和计算23 =8次，故集合S的元素之和为16040 = 2005810、 一 5x 令t = x 2005，那么原函数方程就变为 3f(t) + 4f( t) = 5t，对此式中以一t 代 t 得3f( t) + 4f(t) = 5t

10、,由两式消去 f( t)可得-7f(t) = 35t，故 f(t) = 5t, 即卩 f(x)= 5x.11、 2 原函数的定义域为(一R ,0 U 2, + )，且在(一 ,0上为增函数，在2, + ) 为减函数，又f(0) = 2, f(2) = . 6>2，所以原函数的最小值为2.12、 6 可以计算出 1 + 2+ 3+ - + 62= 1953, 1 + 2+ 3 + + 63= 2022，这样看来，2005 最多可表示为62个连续正整数的和。下面分3种情况说明：(1)假设n表示为62个连续正整数的和，那么满足要求的 n只有一个为1953 (因为2 + 3+ 4+ 63= 20

11、22>2005); ( 2) 假设n表示61个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m，那么由m+ (m + 1) + + (m +60)=61(2m + 60)2=61(m + 30)< 2005可得 mW 2,从而满足要求的n 有两个：1 + 2 + +61 = 1891和2 + 3+- + 62= 1952; (3)假设n表示60个连续正整数的和，设其中最小的正整数为m,那么由m + (m + 1) + + (m+ 59) =( J) = 30(2m + 59)W 2005 可得 mW 3,从而满足要求的62= 1950.n 有二个为：1+ 2+ + 60= 1830, 2 +

12、 3+ 61= 1890 及 3 + 4 + +综合(1) (2) ( 3)得满足要的正整数 n共有6个，它们为：1953、1891、1952、1830、 1890 和 1950.13、(1)显然，当 sinx = 1，时 y= 1(2)由(1 )知，函数值中必有1，从而问题就是求使对任意 x，总有sinx + asin2xcosx 1, 即g = sinx + asin2xcosx 10成立的a的取值范围。令 t = sinx (t 1,1),那么g = sinx + a(2si nxcos2x) 1 = sinx + 2asi nx(1 si n2x) 1 = 2at3 + (1 + 2a

13、)t 1=(t - 1)( 2at2 2at+ 1)0,即 2at2 + 2at 10 在 t 1,1时由t 1 0恒成立知，问题即要求使2at2 2at+ 1结合a<0得，2 < av 01综合上述1、2、3,得所求a的取值范围为2,1414、设第一行数的公差为d,各列的公比为q,那么第二行的公差是 dq,第四行的公差为dq3,于是，由题设得出方程组a24 = (an+ 3d)q= 13 1 a42 = (an + d)q = &133a43=8+dq = 16因为n2个数均为正数，可知只能有1Ian=± 2' 1I d=± 2q=±

14、 11an = d= q =2从而，对于任意1 k n,有k 1akk = a1kq= an+ (k 1)dqk 1S= 1 丄 2 +3 22 2 2这类数列的求和，我们通常用错位相减法，给11两边乘以一可得恒成立的a的取值范围。1)当a= 0时,10显然满足题意1)210在t 1,1时恒成立，故有2)当a>0时，2 1即为t2 +1-(t1(-2a242a1 211(1 )2(-)0242a结合a>0得，10a-43)当a<0时，即为 t2+1-2at -121+丄4 2a> 0在t 1,1时恒成立，故有1 -S 2(1) - (2),得 12 212212n12*

15、 12n11 1(1 -)2、2n' n21m n2 2A，车站称为B。显然，职员必须分为 3批乘车，每批4人，按乘 不在车上的职员让他们在到达火车站之前保持步故可求得15、把出发地称为车先后分别称他们为甲组、乙组、丙组。 行前进。假定轿车把甲组送到离 A的x千米处，然后返回接乙组。当轿车接到乙组后，把乙组x和y的值。z千米，那么有送y千米，再返回接丙组，显然整个过程决定于设在3小时内从公司到火车站至少须乘车z 40 z5243,解得z91。这说明乙，丙两组至少乘车距离为39191千米。为了使甲组极早赶到火车站,3应使乙、丙两组尽量减少乘车距离，所以，乙、丙两组乘车距离均为2)当轿车送出甲组x千米之后返回，当接到乙组时,已耗时2x52 491y